《复变函数与积分变换PPT教学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换PPT教学课件（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 XXX哈尔滨工业大学（威海）使用教材与参考教材使用教材与参考教材使用教材：复变函数与运算微积 孙振绮等编，机械工业出版社，1996 参考教材：复变函数与积分变换 苏变萍编，高等教育出版社复变函数论 钟玉泉编 高等教育出版社第一节第一节 复数复数 区域和边界区域和边界一、复数及其代数运算二、复数的几何表示三、复数的乘幂和方根四、平面和区域4一、复数及其代数运算一、复数及其代数运算对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :虚数单位的特性虚数单位的特性:61.复数的定义复数的定义7 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别相等分别相等
2、. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.即即 ,则则即即 ,则则8共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部互为相反数的两个复数称实部相同而虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数为共轭复数. .92.复数的代数运算复数的代数运算(1). 两复数的和与差两复数的和与差:(2). 两复数的积两复数的积:例例1 1解解10(3). 两复数的商两复数的商:复数的运算满足复数的运算满足加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律乘法交换律乘法交换律乘法结合律乘法结合律加法对乘法的分配律加法对乘法的分配律11共轭复数的性质共轭复数的性质:12例例2 2解解13例例3
3、3解解14例例4 解解15例例5 解解16由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小.17三、小结三、小结 本课学习了复数的有关概念、性质及其运本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算. 重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点它是本节课的重点.二二 复数的几何表示复数的几何表示1、复平面、复平面2、复数的模、复数的模4、复数的三种表示形式及相互转化
4、、复数的三种表示形式及相互转化3、复数的辐角、复数的辐角5、复球面、复球面191. 复平面复平面202. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显然下列各式成立显然下列各式成立21 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致. .223. 复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.23辐角主值的定义辐角主值的定义:大家想一想，辐角主值是否唯一？大家想一想，辐角主值是否唯一？ 辐角主值怎么求？辐角主值怎么求？辐角怎么求？辐角怎么求？24252627利用直角坐标与极坐标的关系利用直
5、角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍4 4. .复数的三种表示及其相互转化复数的三种表示及其相互转化28例例3 3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为29指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为30故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为3132例例5 5解解(三角式三角式)(指数式指数式)33课堂练习课堂练习34 根据复数的几何
6、意义，我们知道根据复数的几何意义，我们知道, 很多平很多平面图形能用复数形式的方程面图形能用复数形式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形来确定它所表示的平面图形.下面给出几个具下面给出几个具体实例体实例35例例6 6解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为3637例例7 7 求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解38化简后得化简后得39课堂练习课堂练习40例例8 8 指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图并作图解解
7、41是角形域是角形域,是一原点为中心，是一原点为中心， 为半径的为半径的圆的外部圆的外部42表示到表示到1, 1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,圆环形区域43注意注意 通常在求轨迹或者画图时，可以先利通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。用辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。当该方法不适用时，可以将当该方法不适用时，可以将 代入，从而代入，从而将复条件将复条件(关于关于 的的)转化为关于转化为关于 的实条件，的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断利用平面解析几何的知识进行判断课堂练习课堂练习445 5、复球面、复球面
8、(1) 南极、北极的定义南极、北极的定义45 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.(2)复球面的定义复球面的定义我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而球因而球面上的北极面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无
9、穷大 的几何表示的几何表示.46(3) 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.4748思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?49思考题答案思考题答案否否. .它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .
