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1、2.3 延延续型随机型随机变量量2.3.1 延延续型随机型随机变量及其概率密度量及其概率密度 通通俗俗的的讲,延延续型型随随机机变量量就就是是取取值可可以以值可以延可以延续地充溢某个区地充溢某个区间的随机的随机变量量.定定义2.4 假假设对于于随随机机变量量X的的分分布布函函数数F(x)，存存在在非非负函函数数f(x)，使使得得对于于恣恣意意实数数x有有 (2.2)那那么么称称X为延延续型型随随机机变量量其其中中函函数数f(x)称称为X的的概概率率密密度度函函数数，简称称概概率率密密度度或或密度函数密度函数 第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 设离散型随机离散型随机变量量X在在a,
2、b内取内取n个个值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=bXx1=aPx2x3s1s2s3sn.xn=b 折折线下面下面积之和！之和！画画X的概率的概率直方图：直方图：定定义的引出的引出即小矩形的面积为取对即小矩形的面积为取对应点的概率应点的概率2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度 假设假设X为延续型随机变量，由于为延续型随机变量，由于X在在a, b内取延续取无穷多个值，折线将变为一条内取延续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线光滑曲线而且：而且：XaP.b由此推出延续由此推出延续型随机变量型随机变量的定义的定义2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型
3、随机变量及其概率密度再看延续型随机变量的定义再看延续型随机变量的定义: :定定义义2.4 2.4 假假设设对对于于随随机机变变量量X X的的分分布布函函数数F(x)F(x)，存在非负函数存在非负函数f(x)f(x)，使得对于恣意实数，使得对于恣意实数x x有有 (2.2)(2.2)那那么么称称X X为为延延续续型型随随机机变变量量其其中中函函数数f(x)f(x)称称为为X X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 从从(2.2)(2.2)式式可可以以看看出出，延延续续型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数一一定定是是延延续续函函数数，且且在在F(x)F(
4、x)的的导导数数存存在在的的点点上上有有 (2.3)(2.3)2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1这这两两条条性性质质是是断断定定一一个个函函数数 f(x)能能否否为为某某个个随随机机变变量量X的的概概率率密密度度函函数数的的充充要要条条件件.(3) X落入区落入区间a,b内的概率内的概率 2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度留意留意 对于恣意能够值对于恣意能够值 a , a ,延续型随机变量延续型随机变量取取 a a 的概率等于零的概率等于零. .即即延延续型随机型随机变量取量取值落在某一落在某一
5、区区间的概率与区的概率与区间的开的开闭无关无关由此可得由此可得这是由于是由于2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度 密度函数密度函数 f (x)在某点在某点处a的高度，并不反的高度，并不反映映X取取值的概率的概率. 但是，但是，这个高度越大，那么个高度越大，那么X取取a附近的附近的值的概率就越大的概率就越大. 1问题：问题：f (a)是是=a的概率吗？的概率吗？不是不是!2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度 假假设为延延续型随机型随机变量，量，虽然然PX=a=0，但，但 X=a 并非不能并非不能够事件事件.可可见， 由由P(A)=0, 不能
6、推出不能推出由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=问题：概率为零的事件一定是不能够事件吗？问题：概率为零的事件一定是不能够事件吗？类似可知，似可知，不一定！不一定！2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度【例【例2-9】设随机随机变量量X的概率密度的概率密度为试求求：(1) 系系数数A；(2) X落落在在(1/2，1/2)内内的的概概率率； (3) X的分布函数的分布函数F(x) 解：解：(1) 由概率密度的由概率密度的归一性知一性知所以所以2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度(2) (3) 由于由于 2.3.1 延续型随机变量及其概率密
7、度延续型随机变量及其概率密度故故X的分布函数的分布函数为2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度解解:【补充例】【补充例】得2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度【例【例2.10】设随机随机变量量X的概率密度的概率密度为现对X进展展n次次独独立立反反复复观测，以以Y表表示示观测值不不大于大于0.1的次数，的次数，试求随机求随机变量量Y的分布律的分布律 解解：事事件件“观测值不不大大于于0.1，即即事事件件X 0.1的概
8、率的概率由由题意意Y服从服从B(n，0.01)，于是，于是Y的分布律的分布律为2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度【例【例2.11】设随机随机变量量X的分布的分布为 求：求： (1) 系数系数A和和B； (2) X落在落在(1，1)内的概率；内的概率； (3) X的概率密度的概率密度 解：解：(1) 由于由于 可知可知 解得解得2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度于是于是2.3.1 延续型随机变量及其概率密度延续型随机变量及其概率密度2.3.2 2.3.2 常用延续分布常用延续分布 1. 1. 均匀分布均匀分布 定定义义2.8 2.8 假
9、假设设延延续续型型随随机机变变量量X X具具有有概概率密度率密度 (2.4)(2.4)那那么么称称X X在在区区间间(a(a，b)b)上上服服从从均均匀匀分分布布，记记为为X XU(aU(a，b)b)2.3 延续型随机变量延续型随机变量均匀分布的意义均匀分布的意义现实上，假上，假设X U(a, b)，那么，那么对于于满足足的的c,d, 总有有2.3.2 常用延续分布常用延续分布均匀分布的分布函数为：均匀分布的分布函数为： f(x)和和F(x)的图形见图的图形见图2-6 图图2-6 均匀分布的概率密度与分布函数均匀分布的概率密度与分布函数2.3.2 常用延续分布常用延续分布均匀分布常见于以下情形
10、：均匀分布常见于以下情形： 如如在在数数值计算算中中，由由于于四四舍舍五五 入入，小小数数点点后后某某一一位位小小数数引引入入的的误差差，例例如如对小小数数点点后后第第一一位位进展展四四舍舍五五 入入时，那那么么普普通通以以为误差服从差服从-0.5, 0.5上的均匀分布。上的均匀分布。 再者，假定班再者，假定班车每隔每隔a分分钟发出一出一辆，由于乘客不了解由于乘客不了解时间表，到达本站的表，到达本站的时间是是恣意的具有等能恣意的具有等能够性，故可以以性，故可以以为候候车时间服从区服从区间(0，a)上的均匀分布上的均匀分布 2.3.2 常用延续分布常用延续分布解解 设X表示他等表示他等车时间以分
11、以分计，那么，那么X是一个随机是一个随机变量，且量，且【补充例】【补充例】 等待时间公共汽车每等待时间公共汽车每1010分钟按时分钟按时经过一车站，一乘客随机到达车站经过一车站，一乘客随机到达车站. .求他等车时间求他等车时间不超越不超越3 3分钟的概率分钟的概率. .所求概率所求概率为X的概率密度的概率密度为2.3.2 常用延续分布常用延续分布【例例2.12】设随随机机变量量X在在(2,5)上上服服从从均均匀匀分分布布，现对X进展展三三次次独独立立观测，试求求至至少少有有两两次次观测值大于大于3的概率的概率 解解：由由于于随随机机变量量X在在(2,5)上上服服从从均均匀匀分分布布，所以所以X
12、的概率密度的概率密度为事件事件“对X的的观测值大于大于3的概率的概率为2.3.2 常用延续分布常用延续分布设Y表示三次独立表示三次独立观测中中观测值大于大于3的次数，的次数，那么那么于是于是2.3.2 常用延续分布常用延续分布2. 指数分布 定义2.9 假设随机变量X概率密度为 (2.6)那么称X服从参数为 的指数分布，记为XExp( ) 指数分布的分布函数为 (2.7)2.3.2 常用延续分布常用延续分布指指数数分分布布的的概概率率密密度度与与分分布布函函数数的的图图形形如如以以下下图所示图所示 图图2-7 指数分布的概率密度与分布函数指数分布的概率密度与分布函数2.3.2 常用延续分布常用
13、延续分布 由由于于指指数数分分布布只只能能够取取非非负实数数，所所以以它它被被用用作作各各种种“寿寿命命分分布布的的近近似似分分布布，例例如如电子子元元器器件件的的寿寿命命，随随机机效效力力系系统中中的的效效力力时间等等都都可可假假定定服服从从指指数数分分布布指指数数分分布布在在可可靠靠性性实际与与排排队论中中有有着广泛的运用着广泛的运用2.3.2 常用延续分布常用延续分布下面下面给出指数分布的一个有趣性出指数分布的一个有趣性质定理定理2.2指数分布的无指数分布的无记忆性性 设 ，那么，那么对恣意恣意 s 0,t 0 ，有，有 证：由于：由于XExp()，所以，所以PXs=1-F(s)=es/
14、，于是于是2.3.2 常用延续分布常用延续分布【例例2.13】假假定定自自动取取款款机机对每每位位顾客客的的效效力力时间单位位：分分钟服服从从 = 3的的指指数数分分布布假假设有有一一顾客客恰恰好好在在他他前前头走走到到空空闲的的取取款款机机，求求(1) 该顾客客至至少少等等候候3分分钟的的概概率率；(2) 该顾客客等等候候时间在在3分分钟至至6分分钟之之间的概率的概率 假假设该顾客客到到达达取取款款机机时，正正有有一一名名顾客客运运用用着着取款机，上述概率又是多少？取款机，上述概率又是多少？2.3.2 常用延续分布常用延续分布解解：以以X表表示示该顾客客前前面面这位位顾客客所所用用效效力力时
15、间，F(x)为X的分布函数，由的分布函数，由(2.7)，所求概率，所求概率 (1) (2) 假假设该顾客客到到达达时取取款款机机正正在在为一一名名顾客客效效力力，同同时没没有有其其他他人人在在排排队等等候候，那那么么由由指指数数分分布布的的无无记忆性性，取取款款机机还需需求求花花在在他他前前面面顾客客身身上上的的效效力力时间，与与他他刚到到取取款款机机一一样，从从而而问题的的答答案案不不变2.3.2 常用延续分布常用延续分布3.正态分布正态分布定义定义2.10 假设随机变量假设随机变量X的概率密度为的概率密度为 (2.9)其其中中 ， ( 0)为为参参数数，那那么么称称X服服从从参参数数为为
16、， 的的正正态态分分布布又又称称为为高高斯斯分分布布，记记为为 Carl Friedrich GaussBorn: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)2.3.2 常用延续分布常用延续分布显然然 f(x)0 ，下面来，下面来证明明假假设令令 ， 得到得到记 ，那么有，那么有 ，利用极坐利用极坐标计算二重算二重积分分2.3.2 常用延续分布常用延续分布而而 ，故有，故有即即 ，于是，于是可可见见(2.9)中中的
17、的f(x)满满足足概概率率密密度度的的两两个个根根本本性性质质2.3.2 常用延续分布常用延续分布正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 (2.10) f(x)和和F(x)的图形如图的图形如图2-8 图图2-8 正态分布的概率密度和分布函数正态分布的概率密度和分布函数2.3.2 常用延续分布常用延续分布2.3.2 常用延续分布常用延续分布正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征2.3.2 常用延续分布常用延续分布2.3.2 常用延续分布常用延续分布2.3.2 常用延续分布常用延续分布 正正态分布是最常分布是最常见最重要的一种分布最重要的一种分布,例如例如丈量丈量误差差, 人的生理
18、特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下消正常情况下消费的的产品尺寸品尺寸:直径、直径、长度、分量度、分量高度等都近似服从正高度等都近似服从正态分布分布.正态分布的运用与背景正态分布的运用与背景 2.3.2 常用延续分布常用延续分布特特别别，当当时时称称X服服从从规规范范正正态态分分布布，记记作作XN(0，1)，其其概概率率密密度度和和分分布布函函数数分分别别用用 (x)和和 (x)表示，即表示，即2.3.2 常用延续分布常用延续分布规范正范正态分布的概率密度如分布的概率密度如图2-11所示易知所示易知 (x) = 1 (x)图2-11 规范正范正态分布的概率密度分布
19、的概率密度 附表附表2对给出了出了 (x)的的值，可供，可供查用用2.3.2 常用延续分布常用延续分布【例例2.14】设XN(0，1)，利利用用附附表表2，求求以以下下事件的概率：事件的概率： (1) PX 1.52 = (1.52) = 0.9357 (2) PX 1.52 = 1 (1.52) = 0.0643 (3) P| X | 1.52 = (1.52) ( 1.52) = 2 (1.52) 1 = 0.87142.3.2 常用延续分布常用延续分布 某某公公共共汽汽车站站从从上上午午7时起起，每每15分分钟来来一一班班车，即即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等等时辰辰有有
20、汽汽车到到达达此此站站，假假设乘乘客客到到达达此此站站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之之间的的均均匀随机匀随机变量量, 试求他候求他候车时间少于少于5 分分钟的概率的概率.解：解：依依题意，意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为起点起点0，以分，以分为单位位2.3.2 常用延续分布常用延续分布 课堂堂练习为使候使候车时间X少于少于 5 分分钟，乘客必需在，乘客必需在 7:10 到到 7:15 之之间，或在，或在7:25 到到 7:30 之之间到达到达车站站.所求概率所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时辰有汽车到达汽车站，等时辰有汽车到达汽车站，即乘客候即乘客候车时间少于少于5 分分钟的概率是的概率是1/3.2.3.2 常用延续分布常用延续分布
