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1、数字信号处理习题解答第1章 时域离散信号与时域离散系统2 给定信号: 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形, 标上各序列值; (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列; (3) 令x1(n)=2x(n2), 试画出x1(n)波形; (4) 令x2(n)=2x(n+2), 试画出x2(n)波形; (5) 令x3(n)=x(2n), 试画出x3(n)波形。 解解: (1) x(n)序列的波形如题2解图(一)所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)x(n)=第1章 时
2、域离散信号与时域离散系统(3) x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位,再乘以2, 画出图形如题2解图(二)所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位,再乘以2, 画出图形如题2解图(三)所示。 (5) 画x3(n)时, 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180), 然后再右移2位, x3(n)波形如题2解图(四)所示。 题2解图(一)题2解图(二)第1章 时域离散信号与时域离散系统题2解图(三)题2解图(四)3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的, 确定其周期。(1)解解: (1) 因为=, 所以, 这是有理数, 因此是周期序列, 周期T=14第1章
3、 时域离散信号与时域离散系统5 设系统分别用下面的差分方程描述, x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性非时变的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)解解: (1) 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n) 故该系统是非时变系统第1章 时域离散信号与时域离散系统 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2) a Tx1(n)=ax1(n)
4、+2ax1(n1)+3ax1(n2) bTx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。第1章 时域离散信号与时域离散系统6 给定下述系统的差分方程, 试判定系统是否是因果稳定系统, 并说明理由。 (2) y(n)=x(n)+x(n+1)解: 该系统是非因果系统, 因为n时间的输出还和n时间以后(n+1)时间)的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示, 要求
5、画出y(n)输出的波形。题7图第1章 时域离散信号与时域离散系统解解: 解法(一)采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) =x(m)h(nm)第1章 时域离散信号与时域离散系统y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5解法(二)采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(
6、n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式, 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)第1章 时域离散信号与时域离散系统8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况, 分别求出输出y(n)。 (1) h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)(2) h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)(3) h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解: (1) y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y(n)对于m的非零区
7、间如下:0m3n4mn 根据非零区间, 将n分成四种情况求解: 第1章 时域离散信号与时域离散系统 n7时, y(n)=0最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图(1)所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) = 2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图(2)所示y(n)=题8解图(1)题8解图(2)第1章 时域离散信号与时域离散系统(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y(n)对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时,
8、y(n)=0 0n4时, =(10.5n1)0.5n=20.5n第1章 时域离散信号与时域离散系统 n5时最后写成统一表达式: y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j), 式中, f=20 Hz, j=/2。(1) 求出xa(t)的周期;(2) 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样, 试写出采样信号 的表达式;(3) 画出对应 的时域离散信号(序列)x(n)的波形, 并求出x(n)的周期。 解解: (1) xa(t)的周期为第1章 时域离散信号与时域离散系统(2)(3) x(n)的数字频率=0.8, 故, 因而周期N
9、=5, 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。第1章 时域离散信号与时域离散系统题13解图14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为(1) 求出该滤波器的单位脉冲响应; (2) 如果输入信号波形如题14图所示,试求出y(n)并画出它的波形。解: (1) 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替, 得到该滤波器的单位脉冲响应, 即第1章 时域离散信号与时域离散系统(2) 已知输入信号, 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为表表示了用列表法解卷积的过程。 计算时, 表中x(k)不动, h(k)反转后变成h(k), h(nk)则随着n的加大向右滑动, 每滑动一次, 将h(nk
10、)和x(k)对应相乘, 再相加和平均, 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化, 使波形变化缓慢。 题14图第1章 时域离散信号与时域离散系统第2章 时域离散信号和系统的频域分析5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示, 不直接求出X(ej), 完成下列运算或工作: (1)(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n);解解(1)(4) 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分, 即题15图第2章 时域离散信号和系统的频域分析按照上式画出xe(n)的
11、波形如题5解图所示。题15解图6 试求如下序列的傅里叶变换:第2章 时域离散信号和系统的频域分析解:(2)8 设x(n)=R4(n), 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n), 并分别用图表示。 解解:第2章 时域离散信号和系统的频域分析题8解图xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析13 已知xa(t)=2 cos(2f0t), 式中f0=100 Hz, 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样, 得到采样信号和时域离散信号x(n), 试完成下面各题: (1) 写出的傅里叶变换表示式Xa(j); (2) 写出和x(n)
12、的表达式; (3) 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解:(1) 上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数函数,它的傅里叶变换可以表示成: 第2章 时域离散信号和系统的频域分析(2) (3) 式中第2章 时域离散信号和系统的频域分析式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中, 指数序列的傅里叶变换仍然不存在, 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。第2章 时域离散信号和系统的频域分析14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2n u(n)(2) 2nu(n1)(3) 2n u(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)解(1) (2
13、)第2章 时域离散信号和系统的频域分析(3) (4) ZT(n)=1 0 |z| (5) ZT(n1)=z1 0|z|(6)第2章 时域离散信号和系统的频域分析15 求以下序列的Z变换及其收敛域, 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad解(1)由z41=0, 得零点为由z3(z1)=0, 得极点为 z1, 2=0, 1第2章 时域离散信号和系统的频域分析零极点图和收敛域如题15解图(a)所示, 图中, z=1处的零极点相互对消。题15解图第2章 时域离散信号
14、和系统的频域分析(2)零点为极点为极零点分布图如题15解图(b)所示第2章 时域离散信号和系统的频域分析16 已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解: X(z)有两个极点: z1=0.5, z2=2, 因为收敛域总是以极点为界, 因此收敛域有三种情况: |z|0.5,0.5|z|2, 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 (1)收敛域|z|0.5: 令第2章 时域离散信号和系统的频域分析n0时, 因为c内无极点,x(n)=0;n1时, c内有极点 0 , 但z=0是一个n阶极点, 改为求圆外极点留数, 圆外极点有z1=0.5, z2=2, 那么第2章 时域离散信号和系统的频
15、域分析(2)收敛域0.5|z|2:n0时, c内有极点0.5, n2:n0时, c内有极点 0.5、 2,n0时, 由收敛域判断, 这是一个因果序列, 因此x(n)=0; 或者这样分析, c内有极点0.5、 2、 0, 但0是一个n阶极点, 改求c外极点留数,c外无极点, 所以x(n)=0。 最后得到第3章 离散傅里叶变换3 已知长度为N=10的两个有限长序列: 做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n), 循环卷积区间长度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图(a)、 (b)、 (c)所示。题3解图第3章
16、离散傅里叶变换14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n对每个序列作20点DFT, 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么?解解: 记fl(n)=x(n)*y(n),而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27, f(n)长度为20。 由教材中式()知道f(n)与fl(n)的关系为第3章 离散傅里叶变换只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n),所以 f(
17、n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n1918 用微处理机对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F50 Hz, 信号最高频率为 1 kHz, 试确定以下各参数: (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最大取样间隔Tmax; (3) 最少采样点数Nmin; (4) 在频带宽度不变的情况下, 使频率分辨率提高1倍(即F缩小一半)的N值。 第3章 离散傅里叶变换解解: (1) 已知F=50 Hz, 因而(2)(3)(4) 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间扩大1倍, 即为0.04 s, 实现频率分辨率提高1倍(F变为原来的1/2)。第4章 快速傅里叶变换1 如果某通用单片计算
18、机的速度为平均每次复数乘需要4 s, 每次复数加需要1 s, 用来计算N=1024点DFT, 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢?照这样计算, 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时, 估计可实现实时处理的信号最高频率。 解解: 当N=1024=210时, 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N(N1)=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为第4章 快速傅里叶变换快速卷积时, 需要计算一
19、次N点FFT(考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存)、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。 所以, 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为所以, 每秒钟处理的采样点数(即采样速率)第4章 快速傅里叶变换应当说明, 实际实现时, fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率, 而且在采用重叠相加法时, 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关, 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 第5章 时域离散系统的网络结构1. 已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。
20、解解: 将原式移项得将上式进行Z变换, 得到第5章 时域离散系统的网络结构 (1) 按照系统函数H(z), 画出直接型结构如题1解图(1)所示。题1解图(1)(2) 将H(z)的分母进行因式分解: 第5章 时域离散系统的网络结构按照上式可以有两种级联型结构: 画出级联型结构如题1解图(2)所示。 题1解图(2)第5章 时域离散系统的网络结构图(3) 将H(z)进行部分分式展开: 第5章 时域离散系统的网络结构图根据上式画出并联型结构如题1解图(3)所示。题1解图(3)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计5 已知模拟滤波器的系统函数如下: (1)(2)试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为
21、数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法(1)按脉冲响应不变法设计公式, Ha(s)的极点为第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计将T=2代入上式, 得(2)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计或通分合并两项得 用双线性变换法(1) 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计8 题8图是由RC组成的模拟滤波器, 写出其系统函数Ha(s), 并选用一种合适的转换方法, 将Ha(s)转换成数字滤波器H(z), 最后画出网络结构图。解解: 模拟RC滤波网络的频率响应函数为显然, Ha(j)具有高通特性, 用脉冲响
22、应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。 所以应选用双线性变换法。 将Ha(j)中的j用s代替, 可得到RC滤波网络的系统函数: 题8图第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计用双线性变换法设计公式, 可得H(z)的结构图如题8解图所示。 题8解图第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计3 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n), 判断是否具有线性相位, 求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解: 对FIR数字滤波器, 其系统函数为所以其单位脉冲响应为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计由h(n)的取值可知h(n)满足: h(n)=h(N1n) N=5所以, 该FIR滤波器具有第一类
23、线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计幅度特性函数为 相位特性函数为5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器, 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为 (1) 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n); (2) 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式, 确定与N的关系; (3) N的取值有什么限制?为什么?第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计解解: (1) 直接用IFTHd(ej)计算: 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 而(n)对应于一个线性相位全通滤波器: Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 (2) 用N表示h(n)的长度, 则h(n)=hd(n)RN(n)=为了满足线性相位条件: h(n)=h(N1n)要求满足(3) N必须取奇数。 因为N为偶数时(情况2), H(ej)=0, 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求, N应满足:, 即N40。 取N=41。