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1、第八章 离散信号付里叶变换8.1 引言n为了让计算机能够处理信号分析方面的问题，人们开始研究离散付里叶变换。n离散付里叶变换DFT后来又衍生出快速付里叶变换FFT。n离散付里叶变换的基础上，处于信息压缩的考虑，又出现了离散余弦变换DCT（将在MPEG压缩部分介绍）n其实离散付里叶变换可以看成是连续付里叶变换的一种推广。8.2 离散周期信号的付里叶级数8.3 离散信号的离散时间付里叶变换DTFT1、离散时间付里叶变换的概念2、离散时间付里叶变换举例时域频域幅度谱频域相位谱时域频谱3、离散时间付里叶变换的性质n1）线性n2）时移n3）频移n4）差分n5）频域微分4、周期离散信号的离散时间付里叶变换
2、240-2-4w0w0 +2w0 +4w0 -2w0 -42n举例：n如图2/52/52-2X（ ）123123123nX(n)幅度谱相位谱8.4 从连续付里叶变换出发看离散时间付里叶变换n对离散信号x(n)，可以看成是用周期为Ts的连续采样信号T(t)对某连续信号x(t)进行采样，即乘积。n从频谱上看，离散信号的离散时间付里叶变换应是T(w)与X(w)的卷积。x(t)tT(t)tTs02Tsnf(n)Ts02Tsn而乘积后的频谱为两信号频谱的卷积并除以2，如下图T(w)w2/Ts-2/Ts04/Ts-4/Ts-2w0-w0 w0 2w02/Tsn不防设x(t)具有如下频谱：n则卷积后x(n)
3、的频谱为：X(w)wdX1(w)w2/Ts-2/Ts04/Ts-4/Tsd/Tsn如果令采样间隔为1，则卷积后x(n)的连续付里叶频谱如图：X1(w)，X()W， 2 -20 4 -4dn可见x(n)的连续频谱X1(w)等于离散频谱X() ，连续的理论与离散的理论实际上是统一的。n问题：如果采样的周期不为1会怎样？n可见，当采样间隔Ts不为1时，x(n)离散付里叶变换的频谱X()是其连续付里叶频谱X1(w)在频率轴上做伸缩后的结果。n也就意味着，离散付里叶变换得到的频率坐标对应连续频率轴上的坐标为：w= /Ts。n另外，=频率对应的是采样前连续信号x(t)（即离散信号x(n)的包络）的高频点（
4、频率值为/Ts）。 这是因为X()是以2为周期的函数， X()从到2 的部分与X() 从- 到0的频谱是相同的。图例:X(t)t连续付里叶变换X(w)wX(n)tX1(w)w连续付里叶变换采样间隔为22/2X(n)t离散付里叶变换采样间隔为2X()= X1(/2)2n上面得到的就是离散时间付里叶变换的反变换。n可见从反变换方面，离散时间付里叶变换与连续付里叶变换的理论再次统一。8.5 离散付里叶变换DFT及快速付里叶变换FFT1、频域离散化n由此可以看出，对离散周期（周期为N）信号而言，对其付里叶变换在频域内的频谱只需要记N个频点的值即可。n那么对非周期离散信号呢？要想将离散非周期（时域有限）
5、信号的频谱离散化，方法有一个，做周期延拓。如下图：n例如：-2-1012nX(n)-2-1012n周期延拓2、DFT3、FFT及蝶形算法nDFT尽管解决了频域离散化的问题，但运算量很大。n后来发明了蝶形算法，用来计算DFT，此方法又被称为快速付里叶变换FFT。n用图解表示如下：N/2点的DFTn为偶数N/2点的DFTn为奇数G(0)G(1)H(0)H(1)x(0)x(2)x(1)x(3)X(0)X(1)X(2)X(3)n下图被称为一个蝶形运算单元G(0)H(0)X(0)X(2)n画成图如下：x(0)x(2)x(1)x(3)x(4)x(6)x(5)x(7)GG1(0)GH1(0)HG1(0)HH
6、1(0)GG1(1)GH1(1)HG1(1)HH1(1)G2(0)G2(2)H1(0)H1(2)G2(1)G2(3)H1(1)H1(3)X(0)X(2)X(4)X(6)X(1)X(3)X(5)X(7)n算法总结：n从概念上讲，N点FFT一次分解成2个N/2点的FFT，对这两个N/2点的FFT可以分别再分解成两个N/4点的FFT，直到最终的FFT点数为2点。这就是FFT的核心。nx(0), x(1), x(2) ,x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)的8点FFT可以分解成：x(0), x(2), x(4), x(6)和x(1), x(3), x(5), x(7)两个4点的FF
7、Tnx(0), x(2), x(4), x(6)的4点FFT又可以分解成：x(0), x(4), 和x(2), x(6)的2点FFTnx(1), x(3), x(5), x(7)的4点FFT又可以分解成：x(1), x(5), 和x(3), x(7)的2点FFT8.6 总结n这一章我们首先介绍了离散周期信号的付里叶级数，与连续周期信号不同的是，离散周期信号的付里叶级数不是无限项，而是有限项，项数等于离散周期信号的周期N。n从离散周期信号的付里叶级数出发，我们推导了离散非周期信号、周期信号的离散时间付里叶变换DTFT以及反变换。离散信号的离散时间付里叶变换DTFT的特点是周期性，其周期为2。其反
8、变换也是在2周期内积分。n然后我们从连续信号采样的原理验证了连续付里叶变换和离散付里叶变换的统一性，这里需要指出的是，当采样间隔为1时，连续信号采样的连续付里叶变换实际上就是连续信号采样的离散时间付里叶DTFT变换，而当采样间隔Ts不为1时，离散付里叶变换是连续付里叶变换经过伸缩后的结果。n最后我们介绍了离散付里叶变换DFT及快速付里叶变换FFT，FFT是DFT的快速算法。对原信号做周期拓展可使其变成周期信号，DFT实际上是该周期信号的离散时间付里叶变换DTFT，不过只取了一个周期。DFT从数值上讲是对原信号的离散时间付里叶变换（DTFT）频谱的采样。DFT有一个特点，一个N点的DFT可以分解成两个N/2点的DFT，依据这一特点，产生了蝶形算法（FFT），使DFT的运算复杂度大幅度降低，不仅使DFT得到了实际应用，而且通过DSP芯片可以实现实时处理。
