差商及其性质

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1、n n 4.1 4.1 差商（均差）及性质差商（均差）及性质差商（均差）及性质差商（均差）及性质n n1 1 差商（均差）差商（均差）差商（均差）差商（均差）n n已知已知已知已知y y =n n函数表函数表函数表函数表n n则则则则 在在在在n n上平均变化率分别为：上平均变化率分别为：上平均变化率分别为：上平均变化率分别为：n n n n即有定义：即有定义：即有定义：即有定义：n n定义为定义为定义为定义为f f( (x x) )n n的差商的差商的差商的差商n n4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式n n定义定义定义定义4 4n n为函数为函数为函数为函数n n在在在在n n的的

2、的的一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商（一阶一阶一阶一阶均差均差均差均差）；）；）；）；n n称为称为称为称为y y =n n在点在点在点在点n n的的的的二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商（二阶均差二阶均差二阶均差二阶均差）；n n （3 3）一般由函数）一般由函数）一般由函数）一般由函数y y=n n的的的的n n1 1阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的n n阶阶阶阶差商。差商。差商。差商。n n称为函数称为函数称为函数称为函数y y=n n在在在在n n点的点的点的点的n n阶差商阶差商阶差商阶差商（n n阶均差阶均差阶均差阶均差）。n n，称，

3、称，称，称n n（1 1）对于）对于）对于）对于 n n的一阶差商表，再作一次差商，即的一阶差商表，再作一次差商，即的一阶差商表，再作一次差商，即的一阶差商表，再作一次差商，即n n（2 2）由函数）由函数）由函数）由函数y y=n n即即即即n nn n1 1阶阶阶阶n n差商差商差商差商n n2 2 基本性质基本性质基本性质基本性质n n定理定理定理定理5 5n n（2 2）k k 阶差商阶差商阶差商阶差商n n关于节点关于节点关于节点关于节点n n是对称的，或说是对称的，或说是对称的，或说是对称的，或说n n均差均差均差均差与节点顺序无关，与节点顺序无关，与节点顺序无关，与节点顺序无关，

4、即即即即n n例如：例如：例如：例如：n n共共共共6 6个个个个n n的线性组合，的线性组合，的线性组合，的线性组合，即即即即n n的的的的k k阶差商阶差商阶差商阶差商n n是函数值是函数值是函数值是函数值n n（1 1）n n分析分析分析分析 ：n n当当当当k k =1=1时时时时, ,n n ( (1 1) )可用归纳法证明。可用归纳法证明。可用归纳法证明。可用归纳法证明。(2)(2)利用利用利用利用(1)(1)很容易得到。只证很容易得到。只证很容易得到。只证很容易得到。只证(1)(1)n n证明：证明：证明：证明：n n（1 1）当）当）当）当k k =1 =1时时时时, , (0

5、 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 n n表表表表2.42.4n n3 3 差商表差商表差商表差商表n n 计算顺序计算顺序计算顺序计算顺序: :同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列n n 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。n n4.2 4.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式n n已知已知已知已知n n函数表（函数表（函数表（函数表

6、（4.14.1）, , n n由差商定由差商定由差商定由差商定义义及及及及对对称性，得称性，得称性，得称性，得 n n1 1 牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导n n将将将将(b)(b)式两式两式两式两边边同乘以同乘以同乘以同乘以, ,n n抵抵抵抵消消消消n n抵抵抵抵消消消消n n抵抵抵抵消消消消n n(d)(d)式两边同乘以式两边同乘以式两边同乘以式两边同乘以n n, ,把所有式子相加把所有式子相加把所有式子相加把所有式子相加, ,得得得得n n,(c),(c)式两边同乘以式两边同乘以式两边同乘以式两边同乘以n n记记 n n- - 牛顿插值

7、多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式n n- - 牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项n n可以可以可以可以验证验证 n n，即，即，即，即 满满足插足插足插足插值值条件条件条件条件, , 因此因此因此因此n n可得以下可得以下可得以下可得以下结论结论。 n n定理定理定理定理6 6n n n n则满足插值条件则满足插值条件则满足插值条件则满足插值条件n n的插值多项式为：的插值多项式为：的插值多项式为：的插值多项式为：n n（牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）n n其中，其中，其中，其中，n n- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛

8、顿插值多项式牛顿插值多项式n n- - 牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项n n2 2 n n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系n n由由由由n n次插值多项式的唯一性，则有次插值多项式的唯一性，则有次插值多项式的唯一性，则有次插值多项式的唯一性，则有n n, , 牛顿插值牛顿插值牛顿插值牛顿插值多项多项多项多项式式式式n n与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式n n都是次数小于或等于都是次数小于或等于都是次数小于或等于都是次数小于或等于n n的多项式的多项式的多项式的多项

9、式, ,n n只是表达方式不同只是表达方式不同只是表达方式不同只是表达方式不同. .n n?n n 因为因为因为因为n n 而而而而 的基函数可为的基函数可为的基函数可为的基函数可为: :n n已知已知已知已知 函数表函数表函数表函数表n n牛顿插值牛顿插值牛顿插值牛顿插值多项式系数多项式系数多项式系数多项式系数n n牛顿插值牛顿插值牛顿插值牛顿插值多项式系数多项式系数多项式系数多项式系数n n牛顿插值牛顿插值牛顿插值牛顿插值多项式系数多项式系数多项式系数多项式系数n n阶导数存在时，阶导数存在时，阶导数存在时，阶导数存在时，由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性由插值多

10、项式的唯一性有余项公式有余项公式有余项公式有余项公式n nn n+1+1阶差商函数阶差商函数阶差商函数阶差商函数n n导导导导数数数数n n其中其中其中其中n n且且且且n n为为包含包含包含包含n n区区区区间间. .n n依依依依赖赖于于于于n n则则则则n n 阶差商与导数阶差商与导数阶差商与导数阶差商与导数n n的关系为的关系为的关系为的关系为n n其中其中其中其中n nn n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系n n定理定理定理定理7 7n n计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤: :n n(2) (2) 用秦九韶算法或着用秦

11、九韶算法或着用秦九韶算法或着用秦九韶算法或着说说用嵌套乘法用嵌套乘法用嵌套乘法用嵌套乘法计计算算算算 . .n n3 3 牛顿插值多项式计算次数牛顿插值多项式计算次数牛顿插值多项式计算次数牛顿插值多项式计算次数( (当当当当k k =n n 时时时时) )n n(1) (1) (1) (1) 计算计算计算计算差商表差商表差商表差商表( (计算计算计算计算 的系数的系数的系数的系数) ) (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 n n除法次数除法次数除法次数除法次数( ( ( (k k = = = =n n):):):):n n(2) (2) 用秦九

12、韶算法或着用秦九韶算法或着用秦九韶算法或着用秦九韶算法或着说说用嵌套乘法用嵌套乘法用嵌套乘法用嵌套乘法计计算算算算 . .n n乘法次数乘法次数乘法次数乘法次数: : : : n nn n优点优点优点优点: : : :n n(1)(1)(1)(1)计算量小计算量小计算量小计算量小, , , ,较较较较 L L- - - - 插值法减少了插值法减少了插值法减少了插值法减少了3-43-43-43-4倍倍倍倍. . . .n n(2)(2)(2)(2)当需要增加一个插值节点时当需要增加一个插值节点时当需要增加一个插值节点时当需要增加一个插值节点时, ,只需再计算一项只需再计算一项只需再计算一项只需再

13、计算一项, ,即即即即n n n n- - 递推公式递推公式递推公式递推公式n n( ( ( (适合计算机计算适合计算机计算适合计算机计算适合计算机计算).).).).n n乘除法次数大约为乘除法次数大约为乘除法次数大约为乘除法次数大约为: : : :n n4 4 两函数相乘的差商两函数相乘的差商两函数相乘的差商两函数相乘的差商 n n定理定理定理定理8 8（两函数相乘的差商）（两函数相乘的差商）（两函数相乘的差商）（两函数相乘的差商）n n n n n n显然显然显然显然公式成立。公式成立。公式成立。公式成立。n n n n事实上，事实上，事实上，事实上，n n n n n n一般情况，可用

14、归纳法证明。一般情况，可用归纳法证明。一般情况，可用归纳法证明。一般情况，可用归纳法证明。 # #n n设设设设n n证明：证明：证明：证明：n n阶差商为阶差商为阶差商为阶差商为n n5 5 重节点差商重节点差商重节点差商重节点差商 n n（通过差商极限定义）（通过差商极限定义）（通过差商极限定义）（通过差商极限定义） n n定义定义定义定义5 5 ( (重节点差商重节点差商重节点差商重节点差商) )n n n n若若若若 , ,n n的节点的节点的节点的节点x xi i( (i i=0=0，1 1，n n) )n n定理定理定理定理7 7中中中中n n互异，有了重节点差商的定义，该式中的节

15、点可以相同。互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。 n n说明：说明：说明：说明：n?n n则定义则定义则定义则定义 n n类似的有类似的有类似的有类似的有n n其中其中其中其中 n n- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式n n- - 牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项n n4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式n n牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式n n5 5 重节点差商重节点差商重节点差商重节点差商 n n定义定义定

16、义定义5 5 ( (重节点差商重节点差商重节点差商重节点差商) )n n若若若若 , ,n?n n则定义则定义则定义则定义 n n类似的有类似的有类似的有类似的有n n证明：证明：证明：证明：n n(2)(2)首先首先首先首先, ,由定义由定义由定义由定义n n泰勒展开泰勒展开泰勒展开泰勒展开式式式式n n 1 1、理解理解理解理解差商定义差商定义差商定义差商定义n nP.P.85 85 7 7n n作业作业作业作业: :n n 3 3、会用会用会用会用牛顿插值多项式解简单题目。牛顿插值多项式解简单题目。牛顿插值多项式解简单题目。牛顿插值多项式解简单题目。n n 2 2、掌握掌握掌握掌握牛顿插

17、值公式牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式n n其中，其中，其中，其中，n n- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式n n- - 牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项牛顿插值余项n n课本课本课本课本P.P.3737例例例例 3 3n n编程编程编程编程: :一、一、一、一、 Lagrange Lagrange 插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式n n， k = 0, 1 ,k = 0, 1 , , n , n . . . .n n 复习：复习：复习：复习：n n过过过过n n +1+1个节点个节点个节点个节点，满足插值条件：，满足插值条件：，满足插值条件：，满

18、足插值条件：L L j j( ( x xj j)= y)= yj j(j=(j=0 0, ,1 1, , , n, n ) )的的的的n n次插值次插值次插值次插值n n或或或或n n插值插值插值插值n n基函数基函数基函数基函数n n含义直观含义直观含义直观含义直观n n形式对称形式对称形式对称形式对称n n优点：优点：优点：优点：n n计算量计算量计算量计算量大大大大n n缺点：缺点：缺点：缺点：n n乘除法次数：乘除法次数：乘除法次数：乘除法次数：n n多项式多项式多项式多项式L Ln n( (x x) )：n n二、二、二、二、列维尔列维尔列维尔列维尔( ( ( (NevilleNeville) ) ) )方法与埃特金方法与埃特金方法与埃特金方法与埃特金( ( ( (AitkenAitken) ) ) )方法方法方法方法n n改进的方改进的方改进的方改进的方法法法法n n 列维尔方法列维尔方法列维尔方法列维尔方法: :n n 埃特金算法埃特金算法埃特金算法埃特金算法n n计算量：计算量：计算量：计算量：n n较较较较L L L L插值减少了插值减少了插值减少了插值减少了 . . . .