《《高等数学》例题解析-第十四讲 多元函数的偏导数与全微分》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《高等数学》例题解析-第十四讲 多元函数的偏导数与全微分(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四讲:多元函数的偏导数与全微分 1一、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1 设2(,)f xy xyxyy 则( , )f x y= (A) A (2x)xy B2xyy C(2x)xy D2xxy 解: (,)()f xy xyxy y 1() ()(2)xyxyxy ( , )()2xf x yxy 2 21coslim1xxyoey2xy= (D) A 0 B 1 C 1e D 2e 解:22cos( , )1xeyf x yxy在点(1,0)连续 221coscos0lim11 1 0xxyoeyexy2e 3设( , )f x y在点00(,)xy处有偏导数存在,则00
2、,)00(,)lim(2hof xhxh yyfh=(D) A 0 B00(,)xfxy C002(,)xfxy D003(,)xfxy 解:原式=0000(2 ,)(,)lim22hof xh yf xyh 000(,)(,limho0)f xh yf xyh =0000002(,)(,)3(,)xxxfxyfxyfxy 4( , )zf x y偏导数存在是( , )zf x y可微的 (B) A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D无关条件 解:若( , )zf x y可微,则,zzxy存在, 反之成立,故偏导数存在是可微必要条件 5函数xyze在点(1,1)的全微=(C) dzA B
3、2()e dxdy()xyedxdyC ( e dxdy) Ddx dy解:在(1,1) (xydzeydxxdy)()dze dxdy 6已知22( , )( )x yx yyx且 ( ,1)z xx,则zx= (A) A 21 2xyx B22xy C 21xx D212xyx 解: (1)2( ,1)1( )z xxxx 2( )1xxx (2)222( , )1z x yx yyxx (3)21 2zxyxx 2二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 7 2222221(0)zRxyrRxyr 的定义域是 解: 22222200Rxyxyr定义域2222( , )RDx y rxy
4、 8 设( , )(1)arcsinxf x yxyy则( ,1)xfx= 解: (1) ( ,1)0f xx(2) ( ,1)( )1xfxx9 设ln(1)xzy则(1,2)dz= 解: (1,2)(1,2)111zxxyy (1,2)113yx (1,2)(1,2)1()zxyy xy6 (1,2)1136dzdxdy 10设,66()zf xy( )f u可微,则zy= 解:6666()()yzfxyxyy) 665566( 6)6(fxyyy fxy 11在点(1,1)处,当,32ux y0.010.02x y 时的全微分是 解:(1,1)32duxy 当 0.02,0.01xy 时
5、,其微分= 3 0.022 0.010.04 12设( ,)uf x xy xyz,f可微,则ux= 解:1231uffyfyzx 3 12fyfyzf 三、计算题(每小题 8 分,共 64 分) 13已知2(34 )zxyfxy2,若时,0y zx求zx,zy 解: (1)2(3 )xxfx 211(3 )3393fxxx 故有211( )93f xxx (2)21423493zxyxyxy 2101(34 )39yxy (3)2108(34 ),(34 )339zzxyxyxy 14 求2(1)arctanyyzx exx在点 (1, 0)处的一阶偏导数,全微分 解: (1)2( ,0)(
6、 ,0)2z xz xxxx 故有(1,0)2zx (2)(1, )(1, )yyzyzyeey 故0(1,0)1zey (3)(1,0)2dzdxdy 15设(1)xzxy,求zx,zy, dz 3解: (1)lnln(1)zxx y (2)1ln(1)1zxxyyx zx y (1)ln(1)1xzxxyxyyxxy 12(1)(1)1xxzxxyxxxyy dz 2(1)(ln(1)11xxyxxyxydxxyxydy 16设(,)y xzfx y,求zx,zy, dz解: (1)1221zyffxxy 1221yffxy (2)1221zxffyxy 1221xffxy (3)1221
7、()ydzffdxxy 1221()xffdyxy 17 设,(sin )xzf eyf可微,求dz 解法(1) :(sin )sinxxyzfeyeyfx (sin )cosxxyzfeyeyfy (sincos)xdze fydxydy 解法(2) : (sin ) (sin )xxdzfey d eysinsinxxfydee dy sincosxxfydxeydy e 18 设(2, sin )zfxy yx,其中f有二阶连续偏导数,求2zx y 解: (1)122cozsffyxx (2)211122( 1)sinzffxx y 42cosxf2122cos( 1)sinx y ff
8、x 2112cos2sin cos2xffyxxf 121221(2sincos )xyx fff 19设 1()()zf xyyxyx,其中f,都有二阶连续偏导数,求2zx y 解: (1)2111zffyyxxx (2)2211zyfxffx yxxx x yyfy 20 设 ,( , ,)yuf x y xef有二阶连续偏导数,求2ux y 解: (1)12310yufffx e (2)2111201uffx y 133yyfxee f 31323301yyefffxe 231213323yyye ffxe fe fxef四、综合题(每题 10 分,共 20 分) 21 若可微函数( )
9、f u满足( )( )uf uf ue,计算()xyxyefx 解:原式()()xyxyyef xyefxyy ( ()()xyyef xyfxy( )( )uf uf ue xyxyyeey原式 注:另法:( )duuuf ueee duc ()()uxeucf xyexyc y 原式()xyxyeexycx ()0xycyyx 22 设 22(,)xyzf xye f有二阶连续偏导数,求2zx y 解: (1)122xyzfxfeyx 122xyxfyef (2)211122( 2 )xyzx fyfex yx 2xyyyef+2122( 2 )xyxyyefyfex =21112242x
10、yxyxyxyfx efeyex f 3y 2221222xyxyy fexyef 51221ff(2)2222()()xxyxxyze eeeexeex22(1)xyzexyfx y 211224xyxyfxyef2()xyxyeeee221222xyxyef由轮换对称性知, 222()xyxyzeeyee2211(1)4xyxyexyfxyfxyef2222122xyxyef(3)2220()()xyxxyxyzeeeeyx yeeee 五、证明题(每小题 9 分,共 18 分) 23设 22()xzxy其中可微, 故有222222()zzzxyx y 选做题 证明211zzzx xy yx证明 满足cosxzey2222zzxy=0 证明: (1)22zxxx(2)220( 2 )2zyxy证:cosxzeyx,( sin )xzeyyxy 22cosxzeyx,22( cos )xzeyy(3)2212112xzzxxx xy y故有2222coscos0xxzzeyeyxy21zxx24设ln()xyzee,证明 222222()zzzxyx y 解: (1),xyxyxzezeyxeeyee