《《高等数学》例题解析-第十四讲 多元函数的偏导数与全微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》例题解析-第十四讲 多元函数的偏导数与全微分（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四讲：多元函数的偏导数与全微分 1一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 设2(,)f xy xyxyy 则( , )f x y= （A） A (2x)xy B2xyy C(2x)xy D2xxy 解： (,)()f xy xyxy y 1() ()(2)xyxyxy ( , )()2xf x yxy 2 21coslim1xxyoey2xy= （D） A 0 B 1 C 1e D 2e 解：22cos( , )1xeyf x yxy在点（1，0）连续 221coscos0lim11 1 0xxyoeyexy2e 3设( , )f x y在点00(,)xy处有偏导数存在，则00
2、,)00(,)lim(2hof xhxh yyfh=（D） A 0 B00(,)xfxy C002(,)xfxy D003(,)xfxy 解：原式=0000(2 ,)(,)lim22hof xh yf xyh 000(,)(,limho0)f xh yf xyh =0000002(,)(,)3(,)xxxfxyfxyfxy 4( , )zf x y偏导数存在是( , )zf x y可微的 （B） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D无关条件 解：若( , )zf x y可微，则,zzxy存在， 反之成立，故偏导数存在是可微必要条件 5函数xyze在点（1，1）的全微=（C） dzA B
3、2()e dxdy()xyedxdyC ( e dxdy) Ddx dy解：在（1，1） (xydzeydxxdy)()dze dxdy 6已知22( , )( )x yx yyx且 ( ,1)z xx，则zx= （A） A 21 2xyx B22xy C 21xx D212xyx 解： （1）2( ,1)1( )z xxxx 2( )1xxx （2）222( , )1z x yx yyxx （3）21 2zxyxx 2二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7 2222221(0)zRxyrRxyr 的定义域是 解： 22222200Rxyxyr定义域2222( , )RDx y rxy
4、 8 设( , )(1)arcsinxf x yxyy则( ,1)xfx= 解： （1） ( ,1)0f xx（2） ( ,1)( )1xfxx9 设ln(1)xzy则(1,2)dz= 解： (1,2)(1,2)111zxxyy (1,2)113yx (1,2)(1,2)1()zxyy xy6 (1,2)1136dzdxdy 10设，66()zf xy( )f u可微，则zy= 解：6666()()yzfxyxyy) 665566( 6)6(fxyyy fxy 11在点（1，1）处，当，32ux y0.010.02x y 时的全微分是 解：(1,1)32duxy 当 0.02,0.01xy 时
5、，其微分= 3 0.022 0.010.04 12设( ,)uf x xy xyz，f可微，则ux= 解：1231uffyfyzx 3 12fyfyzf 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分） 13已知2(34 )zxyfxy2，若时，0y zx求zx，zy 解： （1）2(3 )xxfx 211(3 )3393fxxx 故有211( )93f xxx （2）21423493zxyxyxy 2101(34 )39yxy （3）2108(34 ),(34 )339zzxyxyxy 14 求2(1)arctanyyzx exx在点 （1， 0）处的一阶偏导数，全微分 解： （1）2( ,0)(
6、 ,0)2z xz xxxx 故有(1,0)2zx （2）(1, )(1, )yyzyzyeey 故0(1,0)1zey （3）(1,0)2dzdxdy 15设(1)xzxy，求zx，zy， dz 3解： （1）lnln(1)zxx y （2）1ln(1)1zxxyyx zx y (1)ln(1)1xzxxyxyyxxy 12(1)(1)1xxzxxyxxxyy dz 2(1)(ln(1)11xxyxxyxydxxyxydy 16设(,)y xzfx y，求zx，zy， dz解： （1）1221zyffxxy 1221yffxy （2）1221zxffyxy 1221xffxy （3）1221
7、()ydzffdxxy 1221()xffdyxy 17 设，(sin )xzf eyf可微，求dz 解法（1） ：(sin )sinxxyzfeyeyfx (sin )cosxxyzfeyeyfy (sincos)xdze fydxydy 解法（2） ： (sin ) (sin )xxdzfey d eysinsinxxfydee dy sincosxxfydxeydy e 18 设(2, sin )zfxy yx，其中f有二阶连续偏导数，求2zx y 解： （1）122cozsffyxx （2）211122( 1)sinzffxx y 42cosxf2122cos( 1)sinx y ff
8、x 2112cos2sin cos2xffyxxf 121221(2sincos )xyx fff 19设 1()()zf xyyxyx，其中f，都有二阶连续偏导数，求2zx y 解： （1）2111zffyyxxx （2）2211zyfxffx yxxx x yyfy 20 设 ，( , ,)yuf x y xef有二阶连续偏导数，求2ux y 解： （1）12310yufffx e （2）2111201uffx y 133yyfxee f 31323301yyefffxe 231213323yyye ffxe fe fxef四、综合题（每题 10 分，共 20 分） 21 若可微函数( )
9、f u满足( )( )uf uf ue，计算()xyxyefx 解：原式()()xyxyyef xyefxyy ( ()()xyyef xyfxy( )( )uf uf ue xyxyyeey原式 注：另法：( )duuuf ueee duc ()()uxeucf xyexyc y 原式()xyxyeexycx ()0xycyyx 22 设 22(,)xyzf xye f有二阶连续偏导数，求2zx y 解： （1）122xyzfxfeyx 122xyxfyef （2）211122( 2 )xyzx fyfex yx 2xyyyef+2122( 2 )xyxyyefyfex =21112242x
10、yxyxyxyfx efeyex f 3y 2221222xyxyy fexyef 51221ff（2）2222()()xxyxxyze eeeexeex22(1)xyzexyfx y 211224xyxyfxyef2()xyxyeeee221222xyxyef由轮换对称性知, 222()xyxyzeeyee2211(1)4xyxyexyfxyfxyef2222122xyxyef（3）2220()()xyxxyxyzeeeeyx yeeee 五、证明题（每小题 9 分，共 18 分） 23设 22()xzxy其中可微， 故有222222()zzzxyx y 选做题 证明211zzzx xy yx证明 满足cosxzey2222zzxy=0 证明： （1）22zxxx（2）220( 2 )2zyxy证：cosxzeyx，( sin )xzeyyxy 22cosxzeyx，22( cos )xzeyy（3）2212112xzzxxx xy y故有2222coscos0xxzzeyeyxy21zxx24设ln()xyzee，证明 222222()zzzxyx y 解： （1）,xyxyxzezeyxeeyee
