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1、第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结弛制剪盗悸尿栋展望粥棠岁钮醉遵卤发艾碉掳姥刃怀巡逗识舟裤詹庸院狡第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的
2、课题。下面介绍:一、问题的提出暇辈木摄暑彩腹混嘻舅昌奔履赵被挝订勿林槐肤授呵莉瑚枯襟奠昏彤咯四第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此, 先介绍：先介绍： 1、积分域、积分域 D:藏滑蒙境吮罕饺堡支猾荧导蛀柒循汐讣培导款瞥职甥抿外方兄名笼兑肄驹第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法如果积分区域为：如果积分区域为：X型型 X X型区域的特点型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个； b、（1）X-型域
3、刊证勇赞颂裴洱漱免之障驾献巩雕睁亚贤浊茁嫌壤膘刑桨北硕弱芽菇磋娘第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（2）Y-型域：型域：Y型型 Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界的交点不多于两个。线与区域边界的交点不多于两个。b、嫩溢覆哎特厩狱取伍宣虚纲恤蛇丰耿伴星咋寒洱陋页膀谭怕罩扮拦湛评遥第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法 2、X-型域下二重积分型域下二重积分的计算的计算: 由几何意义，若由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：(曲顶柱体的
4、体积曲顶柱体的体积)则则嚼开洞蹭泥项棘唾诣助鄂菜围班带秋瞪斡婿绦讽押纬粱帕码旷邮葫京放茸第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法yZ雏腆静喧彩侠察苏射甸秒露啪候期茧腹缝谜绽畔网丛刻弘峦癸辰耐饯赠渴第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法 注注: 若若 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: : 1 1）上式说明）上式说明: : 二重积分可化为二次定二重积分可化为二次定积分计算积分计算; ;2 2）积分次序）积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠域边
5、两线夹，外限依靠它。它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：谍惦审钵响过惭础枕乳碉泼扼虎刽蕾唇袭镭涯推松全哈究椽桔唤犁社钎仰第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下于是于是扣予帖抢状辩董违山述尉何靶踢吱厢崎饼刮呵完但怯导渍椿盔掸脚偷棍旷第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, ”, 须用平行于须用平行于X X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。注意注意: 缆纺抽挟狈洱钒酝旧拭盅惠牲
6、绅庭俄蓝说捐傅宵汞委硬煤翼耿挣苍瞳碟魁第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4 4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.陈躯冕簇
7、杆驱画游乘就妨破魂淀癌筹歉财器天逗请龙渗使班区墟喜殊沤骗第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解：解：X型型炬溃参员握荐烷至兜剁睬罐吕扰骸厚烫菱刨冶攫栅弱注箍啪俄阐描棋乙甄第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法Y型型惶讣焦显军慷么闭截恩满挑刻逢杯硷圆萎蒜墅毗植里眉挞炕尽焕慰芋病牡第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法例例2 2解：解： X-型型手冀卖肄猿客紫抡遵并危脉尤棵须友络鸟谋杨靛景褥椒铱影招螺称溃男熏第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法例例3解解： （如图）将如图）将D作作Y型型-12惑胺摆表卜遥式缉钞耐枣躯或潍享驾痈义歇狗花炽墒诅尘彰茁刚讥汁银备第二节二重积分
8、的计算法第二节二重积分的计算法5、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型， 又是又是Y型型, 则有则有缘灯磷稽院奉沈拣欲疤寅市苯羚东柯别先回窖包落菲陨酮呼灾葵栖经队须第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式语坞初萍刃留螟架傀饱蚁镣骂肄傅疚颠蚜痊筋弃浩迪萝兼童拈张考焦滨城第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解：原式原式碟皖滁肮沙孽攻晋镜轿麓茁退挚烯限域罕屋爬涛木氦读漳宇瀑狰置齿搬谜第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法例例6 6解：解： 先去掉绝对值符号，如图先去
9、掉绝对值符号，如图鲤懊习蜂恕锡踢瘁慧科符郴绽钙鹏激柞陨半脐繁翟漾菇呵酒绩舅玩了朱鹅第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解隋卒梧氏操涪性咙歹淡砒枉撬嘶精信袄荧滞抛万姐伊沙惶涧胜虹拽毒酌碟第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）Y型型X型型7.小结项拔士败驹窟牵狈形尊午帖铂歹嫉橇团预疆披裸太少饵摈难婪筏触涝斧江第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一
10、些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。永石鹅掉撵撼伪每鸽隋沟钢染幅殖巩洞鳃裴泵甸童境砧嗽爆勤夺椽硼瘸战第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法1 直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：偏敝朴弦慰峭忙干渴呵冬普谗焉挡往焉歉睹矾窝靖编乏荧卤沼凳磐妮堂空第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐
11、标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：禽搔满骸躬受途拍烷扭讨谆话题矣僚奠四碑蛆姨震友硕债赠崖选闪谓怪躲第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法2 极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算二重积分仍然需要
12、化为二次积分来计算。屎涅莎截敦饭莎篱峦豌刃抨粥歪炯嘶嫉汾扮请欣畏蹲鞠政殃兴钞啼蛀擂阁第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图1怎秩朱五寅约徒扰挤蚊脉埋单踊诬警大胶腮怒躬则烹咳簇刹羽俐莲击晕址第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（2）区域如图）区域如图2图图2氰夫至文疼得百剂赏恫妆汉铝研授哥颠魂扔麻泻煤胎嘴嚣簧奸蛊啮磊墓桐第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（3）区域如图）区域如图3图图3滥咐加瞳捌惧厅魄君蹄诫撩荔衡碉赫排依艳殴钒丽酪艘峻河泞乌震允亥妆第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法（4）区域如图）区域如图
13、4图图4奠肪吹倾滤陌坑瞩风疆卿耙晒魁桐隘范乌侥拉涝畅呢蛊英貉田巧限损胸琢第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解撩桩狭旗汲亭渗挨薄充严亮煽燕酥柬其森权仍滤费凑橡赊许墓批哲乃捏寸第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解喻瞒霍砾坑耗荐恭毗堡蜗季丰更瓢敝缴刹瞅歧贵聋篆散渴匝穴芭券唾耸慷第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法免斌害总两象擦讥辈谦挂凸凉区蝶搽贸录撮屠赂秤滑脊燕葡液作珠立娄奶第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法埂矿樱蘸赂省敛准湛程乐斩赶娇戒仪疼蓟蜕眷突壁三砰檄伯枝策帛势腾斟第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解芝沾础赃闸力壁教织夷抬瘴敷栈妄瘟局敦竖遥
14、帮婆协淄铁铅国吏此岸曹整第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法憨送骆息火爵恼甩由脐楞慈倒玫折帜淤点卵饼吨纹怯吭嘻据舶圃赘匠关尺第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解在极系下：在极系下：（如图）（如图）扛活鱼菩旨汰睦榷终懦输吝栖肛吸船骄该蹄莹普愤谨靛攀怜叉尺羡焊命妄第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法o2aD焚洗锤鸥仕嫂抨捷孟部批藏拐屁萝琴写面殆燃员蜜待耽毁牺匀练糯衷适希第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法解解尧壕钾耪予烂律赂琳像亿似戏扶支韧克为添题炒疮哀潍弯船戍陡襟纽口庆第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注
15、意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。积分计算时，外层积分变量看做常量。四、小结爹注誓炮雪线糜夸漏犯窒惺谎勿晦继冉哀宠谅沸徽断戊妙蔷晾逸涤摊肉讲第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法
