《高中数学导数满分通关专题03 曲线的公切线方程(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数满分通关专题03 曲线的公切线方程(解析版)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2)注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法【例题选讲】例1(1)(2020全国)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1By2xCyx1Dyx答案D解析易知直线l的
2、斜率存在，设直线l的方程ykxb，则设直线l与曲线y的切点坐标为(x0，)(x00)，则y|xx0x0k，kx0b，由可得b，将b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直线l的方程yx(2)已知f(x)ex(e为自然对数的底数)，g(x)lnx2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 答案yex或yx1解析设l与f(x)ex的切点为(x1，y1)，则y1，f(x)ex，f(x1)，切点为(x1，)，切线斜率k，切线方程为y(xx1)，即yx，同理设l与g(x)ln x2的切点为(x2，y2)，y2ln x22，g(x)，g(x2)，切点为(x2，ln x22)，切线斜
3、率k，切线方程为y(ln x22)(xx2)，即yxln x21，由题意知，与相同，把代入有x11，即(1x1)(1)0，解得x11或x10，当x11时，切线方程为yex；当x10时，切线方程为yx1，综上，直线l的方程为yex或yx1(3)曲线C1：yln xx与曲线C2：yx2有_条公切线答案1解析由yln xx得y1，设点(x1，ln x1x1)是曲线C1上任一点，曲线C1在点(x1，ln x1x1)处的切线方程为y(ln x1x1)(xx1)，即yxln x11同理可得曲线C2在点(x2，x)处的切线方程为yx2x2(xx2)，即y2x2xx依题意知两切线重合，消去x2得4ln x13
4、0，令f(x)4ln x3(x0)，则f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)0，f(x)只有一个零点即方程只有一个解，故曲线C1与C2只有1条公切线(4)已知曲线yxlnx在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a 答案8解析方法一因为yxln x，所以y1，y|x12所以曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1因为y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，所以a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20由a28a0，解得a8方法二同方法一得切线
5、方程为y2x1设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)因为y2ax(a2)，所以2ax0(a2)由解得(5) (2016课标全国)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yex的切线，则b_答案0或1解析设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)，yln x2的导数为y，yex的导数为yex，可得kex2又由k，消去x2，可得(1ln x1)(x11)0，则x1或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为或(1,2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0，1)，所以ke或k1，则切线方程为yex或yx1
6、，可得b0或1(6)已知曲线f(x)lnx1与g(x)x2xa有公共切线，则实数a的取值范围为 答案8解析设切线与f(x)lnx1相切于点P(x0，lnx01)，f(x0)，切线方程为y(lnx01)(xx0)，即yxlnx0，联立得x2xalnx00，24(alnx0)0，即14a4lnx00，即4a14lnx0有解，令(x)14lnx(x0)，(x)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x)min(1)4，又x时，(x)，故(x)的值域为4，)，所以4a4，即a1，故实数a的取值范围是1，)【对点训练】1若直线l与曲线yex及yx2都相切，则直
7、线l的方程为_1答案yx1解析设直线l与曲线yex的切点为(x0，)，直线l与曲线yx2的切点为，因为yex在点(x0，)处的切线的斜率为y|xx0，y在点处的切线的斜率为y|xx1|xx1，则直线l的方程可表示为yxx0e或yx1xx，所以所以1x0，解得x00，所以直线l的方程为yx12已知函数f(x)x2的图象在x1处的切线与函数g(x)的图象相切，则实数a等于()ABCDe2答案B解析由f(x)x2，得f(x)2x，则f(1)2，又f(1)1，所以函数f(x)x2的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1设y2x1与函数g(x)的图象相切于点(x0，y0)，由g(x)，可得解
8、得x0，a3已知函数f(x)1，g(x)alnx，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()ABC1D43答案A解析由题意可知f(x)x，g(x)，由f()g()，得()，可得a，经检验，a满足题意4若f(x)lnx与g(x)x2ax两个函数的图象有一条与直线yx平行的公共切线，则a等于()A1B2C3D3或14答案D解析设在函数f(x)ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k1，解得x1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为yx1，此切线和 g(x)x2ax也相切，故x2axx1，化简得到x2(a1)x10，只需要满足(a1)240，解得a1或a35若直
9、线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_5答案1ln 2解析ylnx2的切线为yxlnx11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为yxln(x21)(设切点横坐标为x2)解得x1，x2，blnx111ln26已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_6答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1又f(1)0，切线l的方程为yx1g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m27已知定义在区间(0，)上的函
10、数f(x)2x2m，g(x)3lnxx，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A2B5C1D07答案C解析根据题意，设两曲线yf(x)与yg(x)的公共点为(a，b)，其中a0，由f(x)2x2m，可得f(x)4x，则切线的斜率为kf(a)4a，由g(x)3ln xx，可得g(x)1，则切线的斜率为kg(a)1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a1，解得a1或a(舍去)，又g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f(x)2x2m，可得m18若直线ykxb是曲线y的切线，也是曲线yex1的切线，则kb等于()ABCD8答案D解析设
11、直线ykxb与曲线y相切于点P(x1，y1)，yex2，k1；直线ykxb与曲线yex1相切于点Q(x2，y2)，yex，k2，l1：y，l2：y，x2ln 2，kb1(ln 2)9设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为_9答案(1，1)解析yex，曲线yex在点(0，1) 处的切线的斜率k1e01设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1)10已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)lnx相切，则a的值为 10答案e解
12、析由f(x)x3ax，得f(x)3x2af(0)a，f(0)，曲线yf(x)在x0处的切线方程为yax设直线yax与曲线g(x)lnx相切于点(x0，lnx0)，又g(x)，将代入得lnx0，x0e，ae11已知曲线yex在点(x1，)处的切线与曲线ylnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x11)(x21)()A1B2C1D211答案B解析已知曲线yex在点(x1，)处的切线方程为y (xx1)，即y，曲线ylnx在点(x2，lnx2)处的切线方程为ylnx2(xx2)，即yx1lnx2，由题意得得x2，1ln x211x1，则又x2，所以x2，所以x211，所以(x11)(x21)212曲线C1：yx2与曲线C2：yaex(a0)存在公切线，则a的取值范围是_12答案解析设公切线在yx2上的切点为(x1，x)，在yaex(a0)上的切点为(x2，)函数yx2，y
