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1、第三节第三节 向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )二、问题的提出二、问题的提出四、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线带有确定走向的曲线称为定向曲线用用 表示起点为表示起点为 A , 终点为终点为 B 的定的定向曲线向曲线(弧弧).2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致与曲线的走向相一致 .一、一
2、、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“(分割)大化小” “(近似)常代变”“(求和)近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1) “(分割分割)大化小大化小”.2) “(近似近似)常代常代变变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在3) “(求和求和)近似和近似和”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)2. 定义定义. 设 L 为xOy 平
3、面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在定向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为向量值函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作记作称为对称为对 坐标坐标x 的曲线积分的曲线积分;称为对坐标称为对坐标 y 的曲线积分的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作3. 第二类曲线积分存在的充分条件：第二类曲线积分存在的充分条件：4.4.第二类曲线第二类曲线积分的性质积分的性质1) 第二类曲线积分具有线性性质第二类曲线积分具有线性性质2) 对于定向积分曲线弧的可加性对于定向积分曲线弧的可加
4、性即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算定理定理基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分特殊情形特殊情形例例1解一：解一：例例1解二：解二：说明：说明：2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 .3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分
5、曲线的定向问题，曲线的定向问题，要慎用对称性要慎用对称性. 一般地，一般地，在曲线积分化为定积分后在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能再对定积分考虑能否用对称性简化计算否用对称性简化计算 .例例2解解: : (1) L的参数方程为的参数方程为则则(2) L 的方程为的方程为则则被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同同积分结果不同.解解例例2概念与性质可以推广到空间曲线概念与性质可以推广到空间曲线例例4解解例例5解解: : 曲线曲线 的参数方程为的参数方程为例例6解解: : 曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为三、两类曲线积分之间的联系：三、两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）例例解解 L的方程为的方程为 原式原式四、小结四、小结1、第二类曲线积分的概念、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算、第二类曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
