《高等数学第八章 多元函数微分法及其应用课后习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第八章 多元函数微分法及其应用课后习题答案（111页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章第八章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；limf (x, y) A是点(x, y)以任何方式趋于(x0, y0);理解二重极限概念，注意(x,y)(x0,y0)注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题 811.求下列函数表达式:(1)f (x, y) xy yx，求f (xy,x y)解：f (xy,x y) xyxy(x y)xy22(2)f (x y,x y) x y，求f (x, y)解：f (x y,x y) (x
2、y)(x y) f (x, y) xy2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1)z ln(x y 1) x1 x y22x y 1 0x y 122解：1 x y 022x y 1x 0(2)z ln(x 2y 1)解：x 2y1 0221 | x | | y |)(3)f (x, y) ln(解：1| x| y| 0| x| y|13.求下列极限:1 x xy(x,y)(0,1)x2 y21 x xy1解：lim(x,y)(0,1)x2 y2(1)lim(2)2xy 4(x,y)(0,0)xylim2xy4 2lim(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xylim1xyxy114
3、2lim8 (x,y)(0,0)xyxy4解一：解二：2xy44(xy4)11limlim (x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xy(2xy4xy4)(x,y)(0,0)(2xy4)limsin(xy)(3)lim(2 x)(x,y)(1,0)y解一：(4)limx0y0x2y211x2 y2sin(xy)sin(xy)lim(2 x)x 3(x,y)(1,0)(x,y)(1,0)yxysin(xy)xylim(2 x)lim(2 x)x 3解二：lim(2 x)(x,y)(1,0)(x,y)(1,0)yy(x,y)(1,0)lim(2 x)(4)limx0y0x2y211x y22x2y
4、2111x2y21y22解一：limlim2lim(x 2) 0222x0x0x y2x0x y22x yy0y0y0x2y211x2y2x2y2 lim lim2 0解二：lim222222222x0x0x0x yx yx y 11y0y0(x y )( x y 11)y04.证明下列函数当(x, y) (0,0)时极限不存在:x2 y2(1)f (x, y) 22x yx2 y2x2k2x21k2 lim2解：lim22x0x y2x0x k2x21kykxx2y2(2)f (x,y) 222x y (x y)x2y2x4 lim41解：lim22x0x y (x y)2x0xyxx2y2
5、lim22 0x0x y (x y)2y05.下列函数在何处是间断的?1x y解：x y(1)z y2 2x(2)z 2y 2x解：y 2x2第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设z f (x, y)在(x0, y0)的某一邻域有定义，则f (x0x, y0) f (x0, y0)，x0xf (x0, y0y) f (x0, y0).fy(x0, y0) limy0yz f (x, y)在点M(x0, y0, f (x0, y0)处的切线对x轴fx(x0, y0)的几何意义为曲线y y0fx(x0, y0) lim的斜率.f (x, y)
6、在任意点(x, y)处的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)称为偏导函数，简称偏导数 .求fx(x, y)时，只需把y视为常数，对x求导即可.2.高阶偏导数z f (x, y)的偏导数fx(x, y), fy(x, y)的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4 个：2z 2z2z2z，其中后两个称为混合偏导数.,2,2xyxy yx若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序 .高阶混合偏导数也有类似结果.习题 821.求下列函数的一阶偏导数:x xyyz1zx y, 2 x解：xyyyy(2)z arct
7、anxz1yyz11x解：22,x1(y)2xx y2y1(y)2xx2 y2xx22(3)z ln(x x y )z1x1解：(1) 222222xxx yx yx y(1)z z1yy22222222yxx yx y(xx y ) x y(4)u ln(x y z )解：222u2xu2yu2z2,xx y2 z2yx2 y2 z2zx2 y2 z2(5)u yzxzetdt2ux2z2uy2z2uy2z2x2z2解： ze, ze, ye xexyzyx(6)z sincosyxz1xyyxy uxxy1xycoscos2sinsin, 2coscossinsin解：xyyxxyx yy
8、yxxyx(7)z (1 xy)xy(8)u ecos()zx yux y解： (1 xy)xyln(1 xy)y, (1 xy)xyln(1 xy)xx1 xyy1 xy(8)u ecos()uu ecos()sin(), ecos()sin()解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1）z x2 (y 1)arcsinx，求zx(0,1)yx2 0解：zx(0,1) limx0x（2）z x e (x 1)arctan2yy，求zy(1,0)xey1解：zy(1,0) lim 1y0y3.求下列函数的高阶偏导数:2z2z2z(1)z xln(xy)，求2，2，xyxyzzx ln(xy
9、)1,解：xyy2z1 2zx2z1,2 2,2xx yyxyy2z2z2z2z2(2)z cos (x 2y)，求2，2，xyyxxyz 2cos( x2y)sin( x2y) sin2(x2y)解：xz 4cos(x2y)sin(x2y) 2sin 2(x2y)y2z2z2z 2cos 2(x2y),2 8cos 2(x2y), 4cos 2(x2y)2xyxyx2y22z2zt(3)z e dt，求2，xxyx2222zx2y2x z2x2y2x z解： 2xee ,2 2(12x )ee , 4xyex yxxxyx3y xy322x y 024.设f (x, y) x y2，求fxy
10、(0,0)和fyx(0,0).x2 y2 00f (x， 0) f (0,0)00 lim 0解：fx(0,0) limx0x0xxf (0,y) f (0,0)00fy(0,0) lim lim 0y0y0yyx44x2y2 y422fx(x, y) y,x y 0222(x y )x44x2y2 y422fy(x, y) x,x y 0222(x y )y504f (0,y) fx(0,0)yfxy(0,0) limx lim 1y0y0yyx504fx(x,0) fx(0,0)fyx(0,0) lim limx1x0x0xx11( )z2z5.设z exy，求证x y2 2zxyz1(x
11、y)z1(xy)解:2e,2exxyy( )( )1(xy)2z2z212xyx y x 2e y 2e 2exy 2zxyxy2r2r2r22226.设r x y z，证明222rxyzrx2r xr rxx 2rr2 x2xr证明:,2223222xr xrrrx y z11111111112rr2 y22rr2 z2由轮换对称性,2,233yrzr2r2r2r2r2 x2 y2 z2r2122323xyzrrr第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数z f (x, y)在点(x0, y0)处的全增量z表示成x2 y2则称z f
12、 (x, y)在点(x0, y0)可微，并称Ax By Adx Bdy为z f (x, y)在点(x0, y0)的全微分，记作dz.2.可微的必要条件：若z f (x, y)在(x0, y0)可微，则（1）f (x, y)在(x0, y0)处连续；（2）f (x, y)在(x0, y0)处可偏导，且A fx(x0, y0),B fy(x0, y0)，从而z Ax By o(),dz fx(x0, y0)dx fy(x0, y0)dy.一般地，对于区域D内可微函数，dz fx(x, y)dx fy(x, y)dy.3.可微的充分条件： 若z f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内可偏导，
13、且偏导数在(x0, y0)处连续，则z f (x, y)在(x0, y0)可微。注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。习题 831.求下列函数的全微分(1)z lnx2 y2(2)z arctanx y1 xy11 d(x2 y2)xdx ydy22解:dz dln (x y ) 222222x yx yx y(2)z arctan1 xy1x yd解:dz x y21 xy1()1 xy(1 xy)2(1 xy)(dxdy)(x y)(ydx xdy)(1 y2)dx(x21)dy22222(1 xy) (x y)(1 xy)(1 xy) (x y)(3)z ysin x,y
14、0sin xsinxln y esinxln yd(sin xln y) ysinx(cos xln ydxdy)解:dz deyz(4)u 22x yxdx ydyx2 y2dz zx2 y2dz zd x2 y2x2 y2z解:du d222222x yx yx y(x2 y2)dz z(xdx ydy)(x2 y )322(5)u ex(x2y2z2)2222解:du dex(x ex(x y z )dx(x2 y2 z2)dx(x2 y2 z2) (x2 y2 z2)dx x(2xdx2ydy2zdz) (3x2 y2 z2)dx2xydy2xzdz)2y2z2)所以du dex(x(
15、6)u xyz解:du dxyzy2z2)ex(x2y2z2) (3x2 y2 z2)dx2xydy2xzdz) deyzlnx eyzlnx(yzdx zln xdy yln xdz)xyzdx zln xdy yln xdz)x2.求函数z ln(1 x2 y2)，当x 1, y 2时的全微分.2(xdx ydy)解:dz 1 x2 y22(dx2dy)2dz |(1,2)(dx2dy)1143y3.求函数z ，当x 2, y 1,x 0.1,y 0.2时的全增量与全微分.xxdy ydx20.20.1 dz | 0.125解:dz (2,1)2x4yy0.811.62.10.5z |(2
16、0.1,10.2)|(2,1) 0.119xx2.124.24.2122(x, y) (0,0)(x y )sin24.研究函数f (x, y) 在点(0,0)处的可微性.x y2(x, y) (0,0)01解: 由于lim f (x, y) lim(x2 y2)sin2 0 f (0,0)，所以f (x, y)在点(0,0)连续，2x0x0x yy0y0 xyz(102f (x,0) f (0,0)1x又fx(0,0) lim lim lim xsin2 0x0x0x0xxx1y2sin20f (0,y) f (0,0)1yfy(0,0) lim lim lim ysin2 0y0x0x0y
17、yy122又f (x,y) f (0,0) (x y )sinx2y2f (x,y) f (0,0) fx(0,0)x fy(0,0)y1x2y2sin2所以222x yx yx2sinx0y0limf (x,y) f (0,0) fx(0,0)x fy(0,0)yx2y2 limx2y2sinx0y01 022x y所以f (x, y)在点(0,0)处可微335.计算(1.02) (1.97)的近似值.3 x2dx y2dy解：令f (x, y) x y，则df (x, y) ，332x y33再设(x0, y0) (1,2), x 0.02,y 0.0333则(1.02) (1.97) f
18、 (x0 x, y0 y) f (x0, y0)df2 13236.已知边长x 6m, y 8m的矩形，如果x边增加 5cm，而y边减少 10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为f (x, y) 132330.0212(0.03) 30.060.36 2.956x2 y2，则df (x, y) 22xdx ydy22，所以f (6.05,7.9) f (6,8) df |(6,8)6 8 x y60.0580.16282100.59.9510第四节 多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下
19、：1.设u (x, y),v (x, y)在(x, y)可偏导，z f (u,v)在相应点有连续偏导数，则z f(x, y),(x, y)在(x, y)的偏导数为zf uf vzf uf v;xu xv xyu yv y2.推广：(1)多个中间变量：设u (x, y),v (x, y)，w (x, y),z f (u,v,w)则z f(x, y),(x, y),(x, y)且zf uf vf wzf uf vf w;xu xv xw xyu yv yw y(2)只有一个中间变量：设u (x, y),z f (x, y,u)则z fx, y,(x, y)且zf ufzf uf;xu xxyu y
20、y(3)只有一个自变量：设u (t),v (t)，w (t)则z f(t),(t),(t)且dzf duf dvf dwdtu dtv dtw dt习题 841.求下列复合函数的一阶导数(1)z ex2y,x sint,y t3dzz dxz dyx2yx2y22sint2t3 ecost 2e3t (cost 6t )e解：dtx dty dt(2)z arcsin(x y),x 3t,y 4t3dzz dxz dy312t2312t2解：22222dtx dty dt1(x y)1(x y)1t (34t )(3)z arctan(xy),y exdzz dyzxexy(x1)ex解：dx
21、y dxx1(xy)21(xy)21 x2e2xeax(y z)(4)u ,y asin x,z cos x2a 1duuu dyu dzaeax(y z)eaxacosxeaxsin x解：dxxy dxz dx1a21a21a2eaxeax2(a sin xacosxacosxsin x) (a21)sin x eaxsin x221a1a2.求下列复合函数的一阶偏导数(1)z u2v2,解：u x y,v x yz 2u 2v 2(u v) 4xxz 2u 2v 2(u v) 4yys2x ,y 3s 2t(2)z x ln y,tz1x2ss2s3s解： 2x ln y3 22ln(3
22、s2t)3222ln(3s2t)stytt (3s2t)t3s2tzsx2s2s22s2ln(3s2t)1 2x2ln y2 23ln(3s2t)22 2ttytt (3s2t)tt3s2t3.求下列复合函数的一阶偏导数（f是C(1)类函数）(1)z f (x2 y2,exy)解：zz 2xf1 yexyf2， 2yf1 xexyf2xy(2)z f (xy, y)zz yf1， xf1 f2xyy(3)z 22f (x y )解：z2xyfzf 2y2f 解：，22yfxf(4)u xy zf ( )yx1zf uuyyzfz f解：， y zf 2 y2， x zf xzyxxxxxu2u
23、,4.设u f (x,xy,xyz)且f具有二阶连续偏导数，求x xzu f1 yf2 xzf3解：x2u zxf13 f2 yxf22 zxf23 zf3 yzxf32 zxf33 xf12xyyxz2z5.已知z xf ( ) 2y( )，其中f ,有二阶连续导数，求,xyx xyzy1y f xf 22y f f 2解：xxyx2z11y1xy2x f f f 22 2f 2xyxxxxyxyyx2z6.设z f (xy,) g( )，其中f ,g有连续二阶偏导数，求yxxyz1y1y yf1f2 g2 yf1f22g解：xyxyx2zx1xx1yf12 2f2f21 3f22 2g3g
24、 f1 xyf11xyyyyyxx1x1y2f23f22 2g3g f1 xyf11yyxx第五节隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形（1）若方程F(x, y) 0确定隐函数y y(x)， 则Fdy x.dxFyFyFzz x；. xFzyFz（2）若方程F(x, y,z) 0确定隐函数z z(x, y)，则2.方程组的情形（1）若F(x, y,z) 0确定y y(x)，z z(x)，则G(x, y,z) 0(F,G)(F,G)dydz(x,z)(y,x) ，.(F,G)dx(F,G)dx(y,z)(y,z)F(x, y,u,v
25、) 0确定u u(x, y)，则（2）若v v(x, y)G(x, y,u,v) 0(F,G)(F,G)(F,G)(F,G)uuvv(x,v)(y,v)(u,x)(u, y) ，；，.(F,G)y(F,G)x(F,G)y(F,G)x(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)习题 851求下列方程所确定的隐函数y y(x)的一阶导数(1)x xy e 0ydydx2yy解：2xdx ydx xdy e dy 0 (e x)dy (2x y)dx (2)sin y ex xy2 0dy2x yydxe x解：sin ydyexdx y2dx2xydy 0 (sin y2xy)dy (y2ex)dxd
26、yy2exdxsin y2xyyx(3)x yyxdx ln ydxdy xyln xdy y2dx xyln ydx x2dyxydyy(xln y y)x(yln x x)dy y(xln y y)dx dxx(yln x x)y22(4)lnx y arctanxyxdx ydy1xdy ydxxdy ydx解：lnx2 y2 arctan2222y2xx y2xx y1( )xdyx y xdx ydy xdy ydx dxx yz z,2求下列方程所确定的隐函数z z(x, y)的一阶偏导数x y3(1)z 2xz y 0解：yln x xln y ln xdy 解：z 2xz y
27、03z dz 2zdx2xdz dy 0 (3z 2x)dz 2zdxdy322z2zz12,2x3z 2x y3z 2x(2)3sin(x 2y z) x 2y z解：3sin(x2y z) x2y z 3cos(x2y z)(dx2dy dz) dx2dy dz3cos(x2y z)1dz 13cos(x2y z)(dx2dy)zz 1, 2xyxz(3) lnzyz解：x zln z zln y dx (1ln z)dz ln ydz dyyz1zz y(1ln z ln y)dz ydx zdy，,x1ln z ln y yy(1ln z ln y)(4)x 2y z 2 xyz 0解
28、：x2y z 2 xyz 0 dx2dydz 1(yzdx xzdy xydz) 0xyz( xyz xy)dz (yzxyz)dx(xzxyz)dyzyzxyz zxzxyz,xxyz xy yxyz xy3求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数2 z(1)设e xyz 0,求2xzzz解：e xyz 0 e dz yzdx xzdy xydz 0 (e xy)dz yzdx xzdyzyzzxzz,zxe xy ye xyxzzzzzzz(1 ze ) zy z(e y)(1 ze ) zyz2ze xyx yxzx2 y y2zx(e xy)(e xy)2(ez xy)2x xzez ye
29、z xy2z(1 xyz2 y2z y2) yz(ez xy)3x2y2(z 1)32 z33(2)设z 3xyz a ,求xy3322解：z 3xyz a 3z dz 3(yzdx xzdy xydz) 0 (z xy)dz yzdx xzdyzyzzxz2,2xz xy yz xyz2zxzxz2(z y)(z xy) yz(2z x)(z y)(z xy) yz(2z x)2zyyz2 xyz2 xyxy(z2 xy)2(z2 xy)2z(z2 xy) yxz(z2 xy) yz(2zxz x(z2 xy)z52xyz3 x2y2z(z2 xy)3(z2 xy)3z(3)设exy2sin
30、(x z) 1,求zxy解：exysin(x z) 1 exysin(x z)(dxdy)exycos(x z)(dxdz) 0 cos(x z)dz sin(x z)cos(x z)dxsin(x z)dyzz tan(x z)1, tan(x z)xy2zzsin(x z) sec2(x z)sec2(x z)tan(x z) xyycos3(x z)x2zt2z ln z edt 0,求(4)设yxyx1t2x2y2解：z ln z edt 0 (1)dz edxedy 0yz22zzexzzey,x1 z y1 zy2zzze(1 z) zx2y2222zzeyy ex ex1 z22
31、xy(1 z)(1 z)(1 z)3232224设u xy z，而z z(x, y)是由方程x y z 3xyz所确定的隐函数，求ux(1,1,1)解：u xy2z3 du y2z3dx2xyz3dy3xy2z2dz又x2 y2 z23xyz 2xdx2ydy2zdz 3(yzdx xzdy xydz)dz|(1,1,1) dxdy，du|(1,1,1) dx2dy3dz|(1,1,1)du|(1,1,1) dx2dy3dz|(1,1,1) 2dxdyu所以(1,1,1) 2x5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数dydzz x2 y2,（1）设2，求22dxdxx 2y 3z 20x
32、dz dxdz 2xdx2ydydz 2ydy 2xdx13z解：x(16z)2xdx4ydy6zdz 03zdz 2ydy xdxdy dx2y(13z)dzxdyx(16z), dx13z dx2y(13z)uuvvx euusinv,(2)设，求uy e ucosvxyxyudx (e sinv)du ucosvdv解：udy (e cosv)du usinvdvusinvdxucosvdydu ueu(sinvcosv)1ucosvdxusinvdydv ueu(sinvcosv)1sinvucosvu,xeu(sinvcosv)1 yeu(sinvcosv)1cosvvsinvv,u
33、uxe (sinvcosv)1 ye (sinvcosv)1z z,6.设x eucosv , y eusinv , z uv，求x ydx eucosvdu eusinvdvdu eu(cosvdxsinvdy)解：uuudy e sinvdu e cosvdvdv e(sinvdxcosvdy)又dz vdu udv veu(cosvdxsinvdy)ueu(sinvdxcosvdy) eu(vcosvusinv)dxeu(ucosvvsinv)dyzz eu(vcosvusinv), eu(ucosvvsinv)所以xy7.设y f (x,t)，而t是由方程F(x, y,t) 0所确定的
34、x, y的函数，其中f ,F都具有一阶连续偏导数.试证明f Ff Fdyx tt xf FFdxt yt解：由y f (x,t)，dy f1 dx f2dt又F(x, y,t) 0 F1dx F2dy F3dt 0dt 1(F1dx F2dy)F3dy f1 dxf2F1f Fdx22dy (F3 f2F2)dy (F3f1 f2F1)dxF3F3dyF3f1 f2F1所以dxF3 f2F2第六节 多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面设点M0(x0, y0,z0)，(1)参数方程情形：若: x x(t), y y
35、(t),z z(t)，则切向量为 (x(t0), y(t0),z(t0)；其中x (t0) y (t0) z (t0) 0；切线方程为222x x0y y0z z0；x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为x(t0)(x x0) y(t0)(y y0) z(t0)(z z0) 0.(2)一般方程情形：若:F(x, y,z) 0，G(x, y,z) 0i ij jk k(F,G) (F,G) (F,G)则切向量为 , FxFyFz( 0)；(y,z)(z,x)(x, y)M(x0,y0,z0)G G GxyzM(x ,y ,z )000切线方程为x x0(F,G)(y,z)(F,G)(y,z)
36、M0y y0(F,G)(z,x)M0z z0(F,G)(x, y)M0；法平面方程为(x x0) M0(F,G)(z,x)(y y0) M0(F,G)(x, y)(z z0) 0.M02.空间曲面的切平面与法线设点M0(x0, y0,z0) .(1)隐式方程情形若: F(x, y,z) 0，则法向量为n n Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0) F(M0)( 0)；切平面为法线为Fx(M0)(x x0) Fy(M0)(y y0) Fz(M0)(z z0) 0；x x0y y0z z0.Fx(M0)Fy(M0)Fz(M0)(2)显式方程情形若 : z f (x, y)，则法向量为n n zx
37、(x0, y0),zy(x0, y0),1，切平面为法线为z z0 zx(x0, y0)(x x0) zy(x0, y0)(y y0)；x x0y y0z z0.zx(x0, y0)zy(x0, y0)1j jyuyvk kzuzv(y,z) (z,x) (x, y) ( 0)，(u,v),(u,v),(u,v)(u0,v0)(3)参数方程情形若: x x(u,v), y y(u,v),z z(u,v)，i i则法向量n n xuxv切平面为(u0,v0)(y,z)(z,x)(x, y)(x x0) (y y0) (z z0) 0；(u,v)(u0,v0)(u,v)(u0,v0)(u,v)(u
38、0,v0)法线为x x0(y,z)(u,v)(u0,v0)y y0(z,x)(u,v)(u0,v0)z z0(x, y)(u,v)(u0,v0) 0.习题 861t, y t,z t2对应t 1的点处的切线和法平面方程.t1t111,2t)| (1, ,2)解： (2,t12t(1t)41求曲线x 1x22z1切线：41811法平面：4(x2) y 8(z 1) 0 4x y 8z 22y2求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1）ez z xy 3，点(2,1,0)解：n (y,x,ez1)|(2,1,0)(1,2,0)切平面：x22(y 1) 0 x2y 4x2y 1z120zx2y2（
39、2）22，点(x0, y0,z0)cab2x2y2x 2y11解：n (2,2, )|(x0,y0,z0) (20,20, )abcabc2x2y1切平面：20(x x0)20(y y0)(z z0) 0abc222xx02yy02y0zz2x02(x x0)2(y y0)220abcabc2xx2yyzz即20(x x0)20(y y0)0abccx x0y y0z z0a2(x x0)b2(y y0)c(z z0)法线：2x02y012x02y0122cab3求出曲线x t3, y t2,z t上的点，使在该点的切线平行于平面x 2y z 6.法线：解：设曲线x t , y t ,z t在
40、点(x, y,z)|t的切向量为 (3t2,2t,1)平面x 2y z 6的法向量为n (1,2,1)，由题意可知32n (3t2,2t,1)(1,2,1) 3t24t 1 0 t ,t 1111, ),(1,1,1)27 932224求椭球面3x y z 9上平行于平面x 2y z 0的切平面方程.所以，该点为(解：设曲面3x y z 9在点(x0, y0,z0)处的法向量为n，则22213n (3x0, y0,z0)，由题意可知，令3x0y0z01213x0y0z0t222 t x0, y0 2t,z0 t，又3x0 y0 z09，所以1213t234t2t2 916t2 27 t 3，代
41、入得34333, z0 3243133333(x3) 3(y 3) 3(z 3) 0所以切平面方程为4422443133333(x3) 3(y 3) 3(z 3) 0或442244即x2y z4 3 0或x2y z4 3 0x0 5试证曲面x 13, y04y z 1上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.证明：设P(x, y,z)为曲面x y z 1上任一点，则曲面在该点处的法向量为111111n (,)，那么切平面的方程为(X x)(Y y)(Z z) 0xyzxyz111即X Y Z x y z 1，该平面在三个坐标轴上的截距为xyzx,y,z，故x y z 16求曲线y2 2m
42、x,z2 m x在点(x0, y0,z0)处的切线和法平面方程.解：曲线y 2mx,z m x在点(x0, y0,z0)处的切向量为 (1,所以切线的方程为22m1,)y02z0x x0y0(y y0)2z0(z z0)1m1m1m11法平面为x x0(y y0)(z z0) 0，即xyz x0my02z0y02z02第七节方向导数与梯度本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义设z f (x, y)在点P(x, y)的某邻域内有定义，l l是任一非零向量，e el (a,b)，则f (x, y)在点P处沿l l的方向导数定义为ff (x at,
43、 y bt) f (x, y) limt0ltf表示函数f (x, y)在点P处沿方向l l的变化率.l(2)计算公式若f (x, y)在点P(x, y)处可微，则对任一单位向量e el (a,b)，有f fx(x, y)a fy(x, y)b（此也为方向导数存在的充分条件）.l2.梯度(1)定义设f (x, y)C(1)，则梯度 gradgradf (x, y)为下式定义的向量：gradgradf (x, y)（或f (x, y)） (fx(x, y), fy(x, y). .(2)方向导数与梯度的关系f f (x, y)e ell(3)梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为f (x,
44、 y)在点P(x, y)处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值.习题 871求下列函数在指定点M0处沿指定方向l l的方向导数(1)z x2 y2,M0(1, 2),l l为从点（1，2）到点（2，2+3）的方向zz13)，而|(1, 2) 2,|(1, 2) 4xy22解：方向l l为l (1, 3) 2( ,所以zzz13|(1, 2)|(1, 2)cos|(1, 2)cos 2412 3l lxy22y(2)u xarctan,M0(1,2,2),l l (1,1,1)z333解：l l (1,1,1)3(,)333uzzz|(1,2,2)|(1,2,2)cos|(1,2,2)c
45、os|(1,2,2)cosl lxyzuy uxzuxy arctan,2,而222xz yz yzz yu113|(1,2,2) coscoscos l l4441222求函数z ln(x y)在抛物线y 4x上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向x所以轴正向的切线方向的方向导数.解：抛物线y 4x在点(1,2)处的切向量为l l = = (1,22x22)|(1,2) (1,1)2(,)y22uzz12122|(1,2)|(1,2)cos|(1,2)cosl lxy3 23 23233 求函数u xy z xyz在点(1,1,2)处沿方向角为,的方向的方向导343数.uzzz|(1,1
46、,2)|(1,1,2)cos|(1,1,2)cos|(1,1,2)cosl lxyz111 (y2 yz)|(1,1,2)cos(2xy xz)|(1,1,2)cos(3z2 xy)|(1,1,2)cos 5223434设f (x, y)具有一阶连续的偏导数，已给四个点A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15)，若f (x, y)解：在点A处沿AB方向的方向导数等于 3， 而沿AC方向的方向导数等于 26， 求f (x, y)在点A处沿AD方向的方向导数.解：AB (2,0) 2(1,0),AC (0,4) 4(0,1),AD (5,12) 13(5 12,)13 13f (x,
47、 y)fff|A|Acos|Acos|A 3xyxABf (x, y)fff|A|Acos|Acos|A 26xyyACf (x, y)ff5122|A|Acos|Acos326 25所以xy131313AD5设f (x, y,z) x2 2y23z2 xy 3x 2y 6z，求 gradgradf (0,0,0)及 gradgradf (1,1,1)解：gradf (0,0,0) (2x y3,4y x2,6z 6)|(0,0,0) (3,2,6)gradf (1,1,1) (2x y3,4y x2,6z6)|(1,1,1) (6,3,0)6问函数u xy2z在点P(1,1,2)处沿什么方向
48、的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向导数最大gradu(1,2,2) (u u u,)|(1,2,2) (y2z,2 xyz,xy2)|(1,2,2) (8,8,4)x y zu|max|gradu(1,2,2)|646416 12l l第八节多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大（小）值问题必要条件.若f (x, y)在点(x0, y0)有极值且可偏导，则fx(x0, y0) fy(x0, y0) 0.使偏导数等于零的点(x0, y0)称为f的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，还须用充分
49、条件检验.充分条件.设z f (x, y)在区域D内是C2(2)类函数，驻点(x0, y0)D，记A fxx(x0, y0) , B fxy(x0, y0) , C fyy(x0, y0) ,（1）当 AC B 0时，f (x0, y0)是极值，且A 0 ( 0)是极小（大）值；（2）当 0时，f (x0, y0)不是极值；（3）当 0时，还需另作判别.2.最大（小）值问题首先找出f (x, y)在D上的全部可疑极值点（设为有限个） ，算出它们的函数值，并与D的边界上f的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为f在D上的最大、最小值.对于应用问题， 若根据问题的实际意义， 知目标函数f (x
50、, y)在D内一定达到最大 （小） 值，而在D内f (x, y)的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为f在D内的最大（小）值.3.条件极值（拉格朗日乘子法）求目标函数z f (x, y)在约束方程(x, y) 0下的条件极值，先作拉格朗日函数L(x, y,) f (x, y) (x, y),然后解方程组Lx 0 , Ly 0 , L 0，则可求得可疑极值点(x0, y0).对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。习题 881求下列函数的极值（1）f (x, y) e2x(x y2 2y)f (x, y)2x22x2x2 2e (x y 2y)e e (2x2y 4
51、y1) 01xx 解：2f (x, y)2xy 1 e (2y2) 0y2f (x, y)2f (x, y)2x22xA e (4x4y 8y3) e,B 4e (y1) 0,2xyx2f (x, y)2x22，C 2e 2eB AC 2e 0,A e 02y1111故f (x, y)在(,1)处取得极大值f ( ,1) e(12) e2222（2）f (x, y) 3x2y y33x23y2 2f (x, y) 6xy6x 0x(y1) 0x 0x 1,1x解：2,2f (x, y)y 0,2y 1x y 2y 0 3x23y26y 0y可疑极值点有四个，即O(0,0), A(0,2), B
52、(1,1),C(1,1)2f (x, y)2f (x, y)2f (x, y) 6y6, 6x, 6y6x2xyy2O(0,0)A(0,2)B(1,1)点C(1,1)0-6036不是ABC-60-6-36606-3606036不是B2 AC是否极值点极大值点极小值点f (0,0) 2, f (0,2) 8122 22求下列函数在约束方程下的最大值与最小值（1）f (x, y) 2x y,x2 4y21解：令F(x, y,) f (x, y)(x24y21) 2x y(x24y21)4 17Fx(x, y,) 22x 0x x 8yx 8y172Fy(x, y,) 18y 022x 4y 1 0
53、68y 11722y F(x, y,) x 4y 1 0344 17178 171717最大值,) 1734173424 17178 171717最小值f (,) 173417342（2）f (x, y,z) xyz,x2 2y23z2 6f (解：令F(x, y,z,) xyz(x22y23z26)Fx(x, y,z,) yz 2x 02x 2F (x, y,z,) xz 4y 02222yx 2y 3z2y 122x 2y 3z 6 0Fz(x, y,z,) xy6z 02F (x, y,z,) x22y23z26 0z23最大值f (x, y,z) 2 32 3，最小值f (x, y,z
54、) 333从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.解：令F(x, y,) x yl (l2 x2 y2)Fx(x, y,) 12x 0x y2F (x, y,) 12y 0 x y ly2222x y l 0222F(x, y,) x y l 02所以当直角三角形的两直角边x y l时，该直角三角形的周长最大，且为2s x yl (12)l4求两曲面z x2 2y2, z 62x2 y2交线上的点与xoy面距离最小值.解：设两曲面z x2 2y2, z 62x2 y2交线上的点为P(x, y,z)，由题意可得mind | z|s.t.z x22y2z 62x2 y22222
55、2令F(x, y,z,u) z (z x 2y )u( z 2x y 6)Fx(x, y,z,u) 2x4ux 0(2u)x 0F (x, y,z,u) 4y 2uy 0y(2u)y 0F (x, y,z,u) 2z u 0zFz(x, y,z,u) 2z u 02222F (x, y,z,u) z x 2y 0F (x, y,z,u) z x 2y 0F (x, y,z,u) z 2x2 y26 0F (x, y,z,u) z 2x2 y26 0uuy 0(2u)y 0y 02z u 0z 32z 3u 0x 2，当 2u 0时，当x 0时，22z xz yy 3z 222z 62xz 6
56、yz 0当 2u 0时，与z 62x2 y2矛盾x y 0(2u)x 0x 02z u 0x 2，当y 0时， 当2 u 0时，y 22z xz 2z 42z 62xz 0当2u 0时，与z 2x2 y26 0矛盾x y 0所以当x 2, y 0,z 2时，P(x, y,z)到xoy面的距离最短。5求抛物线y x到直线x y 2 0之间的最短距离.解：设抛物线y x上任一点P(x, y)到直线x y 2 0的距离为d，则22| x y2| s.t. y x22令F(x, y,) (x y2)2(y x2)mind Fx(x, y,) 2(x y2)2x 0x 12F (x, y,) 2(x y
57、2) 0 y1y 2F (x, y,) y x 04所以，点P( , )到直线x y 2 0的距离为d为最小，且d 1 12 47 286求表面积为 1500cm2，全部棱长之和为 200cm 的长方体体积的最大值和最小值.解：设长方体的三条棱长分别为x, y,z，由题意可知，x y z 50,xy yz zx 750V xyz令F(x, y,z,u) xyz (x y z 50)u(xy yz zx 750)Fx(x, y,z,u) yzu(y z) 0(y x)(z u) 0F (x, y,z,u) xzu(x z) 0(z y)(xu) 0yFz(x, y,z,u) xyu(x y) 0
58、 xyu(x y) 0F (x, y,z,u) x y z 50 0x y z 50 0xy yz zx750 0F(x, y,z,u) xy yz zx750 0当y x时，(z y)(xu) 0(z y)(xu) 0(z y)(xu) 02x 2ux 022x 2ux 0x 2ux 0z 502x2x z 50 0z 502x22x 2zx750 03x 100x750 0x 10010 10505 1063505 10x y 3所以当时，V有最大和最小值，即z 50 10 103505 10250 10 10250250V ()(10 10)2(510) (350 10 10)33272
59、7227抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.z x2 y2解：曲线上任一点P(x, y,z)到坐标原点的距离为d，则x y z 1z x2 y2222d x y z s.t.x y z 1令F(x, y,z,u) (x2 y2 z2)(x2 y2 z)u(x y z 1)Fx(x, y,z,u) 2x2xu 0(1)(x y) 0F (x, y,z,u) 2y2yu 0y2y2yu 0F (x, y,z,u) 2z u 0z2z u 0x2 y2 z 022F (x, y,z,u) x y z 0x y z 1 0F(x, y,z,u) x y z
60、1 0u 0z 12当 1时，矛盾，所以 1，即x y，代入得1x2 y2 2x y z1 02x2 z248132 2x 2x1 0 x 422x 1 z13所以x y ,z 23，即2d x2 y2 z2z z223 (23)295 3习题 911 设有一平面薄板(不计其厚度) 占有 xOy 面上的闭区域 D薄板上分布有密度为(x y)的电荷 且(x y)在 D 上连续 试用二重积分表达该板上全部电荷 Q解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度(x y)在该板所占闭区域 D 上的二重积分Q(x,y)dD2 设I1(x2y2)3d 其中 D1(x y)|1x1 2y2D1又I2(x2y2)3d
61、其中 D2(x y)|0x1 0y2D2试利用二重积分的几何意义说明 I1与 I2的关系解I1表示由曲面z(x2y2)3与平面x1 y2以及z0围成的立体 V 的体积I2表示由曲面 z(x2y2)3与平面x0 x1 y0 y2以及z0围成的立体 V1的体积显然立体 V 关于 yOz 面、xOz 面对称 因此 V 1是 V 位于第一卦限中的部分 故V4V1 即 I14I23 利用二重积分的定义证明(1)d(其中为 D 的面积)D证明由二重积分的定义可知f(,)f(x,y)dlimD0i1iini其中i表示第 i 个小闭区域的面积此处 f(x y)1 因而 f()1 所以nlimdlimD0i1i
62、0(2)kf(x,y)dkf(x,y)d(其中 k 为常数)DD证明kf(,)kf(x,y)dlimD0i1iini1Dnilimkf(i,i)i0i1nf(i,i)ikf (x,y)dklim0(3)f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2其中 DD1D2 D1、D2为两个无公共内点的闭区域证明 将 D1和 D2分别任意分为 n1和 n2个小闭区域i1和i2n1n2n 作和n1n2f(,)f(,)f(i1iiii11i1i1i1i21ni2,i2)i2令各i1和i2的直径中最大值分别为1和2 又max(12) 则有f (i,i)ilimf(i1,i1)i1limf(i2,i2)i
63、2lim0i1nn1n210i1120i21即f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D24 根据二重积分的性质 比较下列积分大小(1)(xy)2d与(xy)3d 其中积分区域 D 是由 x 轴 y 轴DD与直线 xy1 所围成解区域 D为 D(x y)|0x 0y xy1 因此当(x y)D时 有(xy)3(xy)2 从而32(xy) d(xy) dDD(2)(xy)2d与(xy)3d 其中积分区域 D 是由圆周DD(x2)2(y1)22 所围成解 区域 D 如图所示 由于 D 位于直线 xy1 的上方 所以当(x y)D 时 xy1 从而(xy)3(xy)2 因而23(xy) d(
64、xy) dDD(3)ln(xy)d与(xy)3d 其中 D 是三角形闭区域 三角DD顶点分别为(1 0) (1 1) (2 0)解区域 D 如图所示 显然当(x y)D 时 1xy2 从而0ln(xy)1 故有ln(xy)2 ln(xy)因而2ln(xy) dln(xy)dDD(4)ln(xy)d与(xy)3d 其中 D(x y)|3x5 0y1DD解区域 D 如图所示 显然 D 位于直线 xye 的上方 故当(xy)D 时 xye 从而ln(xy)1因而ln(xy)2ln(xy)故2ln(xy)dln(xy) dDD5 利用二重积分的性质估计下列积分的值(1)I xy(xy)d 其中 D(x
65、 y)| 0x1 0y1D解因为在区域 D 上 0x1 0y1 所以0xy1 0xy2进一步可得0xy(xy)2于是0dxy(xy)d2dDDDD即0xy(xy)d2(2)I sin2xsin2yd 其中 D(x y)| 0x 0yD解因为 0sin2x1 0sin2y1 所以 0sin2xsin2y1 于是220dsin xsin yd1dDDD即0sin2xsin2yd2D(3)I (xy1)d 其中 D(x y)| 0x1 0y2D解因为在区域 D 上 0x1 0y2 所以 1xy14 于是d(xy1)d4dDDDD即2(xy1)d8(4)I (x24y29)d 其中 D(x y)| x
66、2y24D解在 D 上 因为 0x2y24 所以9x24y294(x2y2)925于是229d(x 4y 9)d25dDDD922(x24y29)d2522D即36(x24y29)d100D习题 921 计算下列二重积分(1)(x2y2)d 其中 D(x y)| |x|1 |y|1D解 积分区域可表示为 D 1x1 1y1 于是1111dx(x2y2)ddx(x2y2)dyx2y1y311113D118(2x21)dx2x32x133133(2)(3x2y)d 其中 D 是由两坐标轴及直线 xy2 所围成的闭区域D解 积分区域可表示为 D 0x2 0y2x 于是(3x2y)ddxD22x00x
67、dx(3x2y)dy3xyy22002220(42x2x2)dx4xx22x30033(3)(x33x2yy2)d 其中 D(x y)| 0x1 0y12D4xdy解(x 3x yy )ddy(x 3x yy )dxx3yy3x100400323113231Dyy2y4111113( yy )dy0 104424424(4)xcos(x y)d 其中 D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和()的三角形闭区域1D解 积分区域可表示为 D 0x 0yx 于是xxcos(x y)dxdxcos(xy)dy xsin(xy)0dxDx000x(sin2xsinx)dxxd(1cos2xcosx)00
68、211x( cos2xcosx)|0( cos2xcosx)dx302222 画出积分区域 并计算下列二重积分(1)x yd 其中 D 是由两条抛物线yxyx2所围成的闭区域D解 积分区域图如 并且 D(x y)| 0x1x2 y x 于是xDDyddx20x1x3122x2x ydyx y x2dx( x42x4)dx6030335517(2)xy2d 其中 D 是由圆周 x2y24 及 y 轴所围成的右半闭区域解 积分区域图如 并且 D(x y)| 2y20x 4y2 于是xy ddyD2224y2022xy2dx1x2y204ydy222(2y21y4)dy2y31y5264222310
69、15(3)exyd 其中 D(x y)| |x|y|1D解 积分区域图如 并且D(x y)| 1x0 x1yx1(x y)| 0x1 x1yx1于是xyxededxD10x1x1eydyexdx01x1x1eydyx1xy x12x1exeye1)dx(ee2x1)dxx1dxe e x1dy (e1010010112x11ee11e2x1e1x01ex e022(4)(x2y2x)d 其中 D 是由直线 y2 yx 及 y2x 轴所围成的闭区域D解 积分区域图如 并且 D(x y)| 0y21yx y 于是2y2y2(x2y2x)ddyy(x2y2x)dx1x3y2x1x2ydy003222
70、D2(19y33y2)dy13024863 如果二重积分f (x,y)dxdy的被积函数 f(x y)是两个函数 f1(x)及 f2(y)的乘积D即 f(x y) f1(x)f2(y) 积分区域 D(x y)| axb c yd 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即证明f1(x) f2(y)dxdyf1(x)dxf2(y)dyDacbdbdacacbdf1(x) f2(y)dxdydxf1(x) f2(y)dyf1(x) f2(y)dydxDcf1(x) f2(y)dy f1(x)cf2(y)dybd故f1(x) f2(y)dxdyf1(x)f2(y)dydxac而Ddd由于f2(y)dy
71、的值是一常数 因而可提到积分号的外面 于是得cdf1(x) f2(y)dxdyf1(x)dxf2(y)dyDacDbd4 化二重积分I f (x,y)d为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分) 其中积分区域 D 是(1)由直线 yx 及抛物线 y24x 所围成的闭区域解积分区域如图所示 并且D(x y)|0x4, x y2 x 或 D(x y)|0 y4,1y2x y4所以I dx042 xxf(x,y)dy或I dyf(x,y)dx04yy24(2)由 x 轴及半圆周 x2y2r2(y0)所围成的闭区域解积分区域如图所示 并且D(x y)|rxr,0 y r2x2或 D(x
72、 y)|0 yr, r2y2x r2y2所以I dxrrr2x20f(x,y)dy 或I dy0rr2y2 r2y2f (x,y)dx(3)由直线 yx x2 及双曲线y1(x0)所围成的闭区域x解积分区域如图所示 并且D(x y)|1x2,1 yxx或 D(x y)|1 y1,1x2(x y)|1 y2, yx22y所以I dx1f (x,y)dy 或I 1dy1f (x,y)dxdyf (x,y)dx1x2x12222y1y(4)环形闭区域(x y)| 1x2y24解 如图所示 用直线x1和x1可将积分区域D分成四部分 分别记做D1 D2D3 D4于是I f(x,y)df (x,y)df
73、(x,y)df(x,y)dD1D2D3D414x214x21x24x2dx21 4x2f (x,y)dydx12f (x,y)dyf (x,y)dydx1 1x2 4x2f (x,y)dydx1 4x2用直线 y1 和 y1 可将积分区域 D 分成四部分 分别记做 D1 D2 D3 D4如图所示 于是I f(x,y)df (x,y)df (x,y)df(x,y)dD1D2D3D4dy1124y2 4y24y21y2f (x,y)dxdy11 1y2 4y24y2f (x,y)dxdy1f (x,y)dxdy21 4y2f (x,y)dx5 设 f(x y)在 D 上连续 其中 D 是由直线 y
74、x、ya 及 xb(ba)围成的闭区域证明dxf(x,y)dydyf(x,y)dxaaaybxbb证明 积分区域如图所示 并且积分区域可表示为D(x y)|axb ayx 或 D(x y)|ayb yxb于是f (x,y)dadxaf(x,y)dy 或f (x,y)dadyyf(x,y)dxDDbxbb因此abdxf(x,y)dydyf(x,y)dxaayxbb6 改换下列二次积分的积分次序(1)dyf (x, y)dx001y解 由根据积分限可得积分区域 D(x y)|0y1 0xy 如图因为积分区域还可以表示为 D(x y)|0x1 xy1 所以dyf(x,y)dxdxf(x,y)dy00
75、0x22y0y1y11(2)dy2f (x, y)dx解 由根据积分限可得积分区域 D(x y)|0y2 y2x2y 如图因为积分区域还可以表示为 D(x y)|0x4x yx 所以20102dy2f(x,y)dxdxxf(x,y)dyy022y4x(3)dy1y2 1y2f(x,y)dx解 由根据积分限可得积分区域D(x,y)|0 y1, 1y2x 1y2 如图因为积分区域还可以表示为D(x,y)|1x1,0 y 1x2 所以11y220dy 1y212xf(x,y)dxdx111x20f (x,y)dy(4)dx2xx2f (x, y)dy解 由根据积分限可得积分区域D(x,y)|1x2,
76、2x y 2xx2 如图因为积分区域还可以表示为D(x,y)|0 y1,2yx1 1y2 所以22xx211 1y21dx2xeln x10f(x,y)dydy02yf (x,y)dx(5)dxf (x, y)dy解 由根据积分限可得积分区域 D(x y)|1xe 0yln x 如图因为积分区域还可以表示为 D(x y)|0y1 eyx e 所以100esinx(6)dxxf (x,y)dy(其中 a0)0sin2edxlnxf(x,y)dy dyyf(x,y)dx1e解 由根据积分限可得积分区域D(x,y)|0x,sinx ysinx 如图2因为积分区域还可以表示为D(x,y)|1 y0,2
77、arcsin y x(x,y)|0 y1,arcsin y xarcsin y所以0dxsinxsinx2f (x,y)dydy102arcsinyf (x,y)dxdy01arcsinyarcsinyf (x,y)dx7 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 xy2 yx 和 x 轴所围成 它的面密度为(x y)x2y2 求该薄片的质量解 如图 该薄片的质量为M (x,y)d(x2 y2)ddyDD12y0y(x2y2)dx11(2y)32y27y3dy403338 计算由四个平面 x0 y0 x1 y1 所围成的柱体被平面 z0 及 2x3yz6 截得的立体的体积解 四个平面所围成的立体如图
78、 所求体积为V (62x3y)dxdydx(62x3y)dyD11001932 16y2xyy 0dx ( 2x)dx7002229 求由平面 x0 y0 xy1 所围成的柱体被平面 z0 及抛物面 x2y26z 截得的立体的体积解 立体在 xOy 面上的投影区域为 D(x y)|0x1 0y1x 所求立体的体积为以曲面 z6x2y2为顶 以区域 D 为底的曲顶柱体的体积 即11xV (6x2y2)ddx(6x2y2)dy17006D110 求由曲面 zx22y2及 z62x2y2所围成的立体的体积zx22y2解 由消去 z 得 x2+2y2=62x2y2 即x2y2=2 故立体在 xOy面上
79、22z62x y的投影区域为 x2y22 因为积分区域关于 x 及 y 轴均对称 并且被积函数关于 x y都是偶函数 所以V (62x2y2)(x22y2)d(63x23y2)dDD12dx022x20(2x y )dy8D2220(2x2)3dx611 画出积分区域 把积分f (x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分 其中积分区域 D 是(1)(x y)| x2y2a2(a0)解积分区域 D 如图 因为 D()|02 0a 所以f (x,y)dxdyf (cos,sin)ddDDdf(cos,sin)d002a(2)(x y)|x y 2x解 积分区域 D 如图 因为D(,)|,02co
80、s 所以22f (x,y)dxdyf (cos,sin)ddDD22(3)(x y)| a2x2y b 其中 0ab解 积分区域 D 如图 因为 D()|02 ab 所以f (x,y)dxdyf (cos,sin)ddDD2cos2d0222f(cos,sin)ddf(cos,sin)d0a2b(4)(x y)| 0y1x 0x11解 积分区域 D 如图 因为D(,)|0,0 所以2cossinf (x,y)dxdyf (cos,sin)ddDD2dcossin001f (cos,sin)d12 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分(1)dxf(x,y)dy0011解 积分区域 D 如图所示
81、因为D(,)|0,0sec(,)|,0csc442所以0dx0f(x,y)dyf(x,y)df(cos,sin)ddDD411d0sec0f(cos,sin)d2d4csc0f (cos,sin)d(2)dx023xxf( x2y2)dy解 积分区域 D 如图所示 并且D(,)|,02sec43所示012dx33xxf( x2y2)dyf( x2y2)df()ddDD4d1x2sec0f ()d(3)dx01x2f(x,y)dy解 积分区域 D 如图所示 并且1D(,)|0,12 cossin所以0dx1x211x2f(x,y)dyf(x,y)df(cos,sin)ddDDd011cossin
82、f (cos,sin)d(4)dxf(x,y)dy001x2解 积分区域 D 如图所示 并且D(,)|0,sec tansec4所以0dx01x2f(x,y)dyf (x,y)df (cos,sin)ddDD4d0secsectanf(cos,sin)d13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值(1)dx02a2axx20(x2y2)dy解 积分区域 D 如图所示 因为D(,)|0,02acos 所以20a2adx02axx20(x2y2)dy2ddD2d(2)dx0x02acos02d4a42cos4d03a44x2y2dy解 积分区域 D 如图所示 因为D(,)|0,0asec 所以40
83、adxx0x2y2dyddD104d00x2aseca3d3403asecd 2ln( 21)63(3)dx2(xx122y )dy解 积分区域 D 如图所示 因为D(,)|0,0sectan 所以40dxx(x21x2122y )dyD12dda0sectan4d0012d4sectand 210(4)dya2y20(x2y2)dx解 积分区域 D 如图所示 因为D(,)|0,0a 所以20dy0aa2y2(x y )dxdd2d2da4008222aD14 利用极坐标计算下列各题(1)exD2y2d，其中 D 是由圆周 x2y24 所围成的闭区域解 在极坐标下 D()|02 02 所以22
84、2ex ydeddDDd21(e41de)(e41)002(2)ln(1x2y2)d，其中 D 是由圆周 x2y21 及坐标轴所围成的在第一象限222D内的闭区域解 在极坐标下D(,)|0,01 所以2ln(1x2 y2)dln(12)ddDD112)d1(2ln21)1(2ln21)2dln(002 24y(3)arctand 其中D是由圆周x2y24 x2y21及直线y0 yx所围成的第xD一象限内的闭区域解 在极坐标下D(,)|0,12 所以4yarctan darctan(tan)ddddxDDD336415 选用适当的坐标计算下列各题x2(1)2dxdy，其中 D 是由直线 x2，y
85、x 及曲线 xy1 所围成的闭区域Dy解 因为积分区域可表示为D(x,y)|1x2,1 yx 所以x2x12x22dxdyx2dx12dy(x3x)dx9114xyDy24dd0124dd01(2)D1x2y2d其中D是由圆周x2y21 及坐标轴所围成的在第一象限内221x y的闭区域解 在极坐标下D(,)|0,01 所以21121x2y212(2)2ddddd1200121x2y28DD(3)(x2y2)d 其中 D 是由直线 yx yxa ya y3a(a0)所围成的闭区域D解 因为积分区域可表示为 D(x y)|ay3a yaxy 所以3a3ay(x2y2)ddy(x2y2)dx (2a
86、y2a2y1a3)dy14a4ayaa3D(4)x2 y2d 其中 D 是圆环形闭区域(x y)| a2x2y2b2D解 在极坐标下 D()|02 ab 所以2b22x y ddr2dr2(b3a3)0a3D16 设平面薄片所占的闭区域 D 由螺线2上一段弧(0)与直线所22围成 它的面密度为(x y)x2y2 求这薄片的质量解 区域如图所示 在极坐标下D(,)|0,02 所以所求质量25222M (x,y)ddd4 24d00040D17 求由平面 y0 ykx(k0) z0 以及球心在原点、 半径为 R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解 此立体在 xOy 面上的投影区域 D(x
87、 y)|0arctank 0RarctankRV R2x2y2dxdydR22d1R3arctank003D18 计算以 xOy 平面上圆域 x2y2ax 围成的闭区域为底 而以曲面 zx2y2为顶的曲顶柱体的体积解 曲顶柱体在 xOy 面上的投影区域为 D(x y)|x2y2ax在极坐标下D(,)|,0acos 所以22V x2y2ax(x2y )dxdy2d22acos04ad2cos4d3a442322习题 931 化三重积分I f(x,y,z)dxdydz为三次积分 其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面 xyz 及平面 xy10 z0 所围成的闭区域解 积分区域可表示为(x y z)|
88、 0zxy 0y1x 0x1于是I dx011x0dyf(x,y,z)dz02xy(2)由曲面 zx2y 及平面 z1 所围成的闭区域解 积分区域可表示为(x,y,z)|x2y2z1, 1x2 y 1x2,1x1于是I dx111x2 1x2dy221x y2f (x,y,z)dz(3)由曲面 zx 2y2及 z2x2所围成的闭区域解 曲积分区域可表示为(x,y,z)|x22y2z2x2, 1x2 y 1x2,1x1于是I dx111x2 1x22dy22x2x 2y2f (x,y,z)dz提示 曲面 zx 2y2与 z2x2的交线在 xOy 面上的投影曲线为 x2+y2=1x2y21(4)由
89、曲面 czxy(c0)22 z0 所围成的在第一卦限内的闭区域ab解 曲积分区域可表示为xy(x,y,z)|0z,0 yba2x2,0xaca于是I dx0abaa2x20dyf(x,y,z)dz0xyc提示 区域的上边界曲面为曲面 czxy 下边界曲面为平面 z02 设有一物体 占有空间闭区域(x y z)|0x1 0y1 0z1 在点(x y z)处的密度为(x y z)xyz 计算该物体的质量11111解M dxdydzdxdy(xyz)dzdx(xy1)dy0000021111xy1y21y0dx(x1)dx1(x1)2302002223 如果三重积分f (x,y,z)dxdydz的被
90、积函数 f(x y z)是三个函数 f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积 即 f(x y z) f1(x)f2(y)f3(z) 积分区域(x y z)|axb cyd lzm证明这个三重积分等于三个单积分的乘积 即f1(x)f2(y)f3(z)dxdydzf1(x)dxf2(y)dyf3(z)dzaclbdm证明f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz(f1(x)f2(y)f3(z)dz)dydxbdmacl(f1(x)f2(y)f3(z)dz)dydx(f1(x)f3(z)dz)(f2(y)dy)dx(f3(z)dz)(f2(y)dy)f1(x)dx (f3(z)dz)(f2(y)dy
91、)f1(x)dxf1(x)dxf2(y)dyf3(z)dzaclablclcadmacbmldalcmdbbdmbmd4 计算xy2z3dxdydz 其中是由曲面zxy 与平面yx x1和z0所围成的闭区域解 积分区域可表示为(x y z)| 0zxy 0yx 0x1于是xy2 3z dxdydzxdxy dyz dzxdx2300001xxy1x04zxyy 0dy421x11x5dxy5dy 1x12dx1040280364dxdydz5 计算 其中为平面 x0 y0 z0 xyz1 所围成的四面体3(1xyz)解 积分区域可表示为(x y z)| 0z1xy 0y1x 0x1于是11x1
92、xydxdydz1dxdy(1xyz)3000(1xyz)3dz11x00dx1211dy1131xdx02(1x)882(1xy)28(ln2 )11x1xydxdydz1dxdydz提示3000(1xyz)3(1xyz)5811x111xydy dx1dy02200002(1xyz)2(1xy)8111x1y1dx 131xdx002(1x)8802(1xy)8151ln(1x)3x1x210(ln2 )2816286 计算xyzdxdydz 其中为球面 x2y2z21 及三个坐标面所围成的在第一dx11x卦限内的闭区域解 积分区域可表示为(x,y,z)|0z 1x2y2,0 y 1x2,
93、0x1于是11x21x2y2xyzdxdydz0dx011x200dy0xyzdzdx1xy(1x2y2)dy11x(1x2)2dx1082487 计算xzdxdydz 其中是由平面z0 zy y1以及抛物柱面yx2所围成的闭区域解 积分区域可表示为(x y z)| 0zy x2y1 1x1于是1xzdxdydz1xdxx2dy0zdz1xdxx22y2dy11y111x(1x6)dx06118 计算zdxdydz 其中是由锥面zhx2y2与平面 zh(R0 h0)所围成R的闭区域解 当 0zh 时 过(0 0 z)作平行于 xOy 面的平面 截得立体的截面为圆 Dz2R2 故 D 的半径为R
94、 面积为Rzx y (z)z2 于是z2hhh2h22hRR h3zdxdydzzdzdxdy2z dz004h22Dz9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)zdv 其中是由曲面z 2x2y2及 zx2y2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 012z 22于是2122zdv0dd02zdz121(224)d021(235)d7012(2)(x2y2)dv 其中是由曲面 x2y22z 及平面 z2 所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为2 z202 022于是22(x y )dv2dddzd3d12dz222002d(2315)d8d1603003210 利用球面坐标计算
95、下列三重积分(1)(x2y2z2)dv 其中是由球面 x2y2z21 所围成的闭区域222解 在球面坐标下积分区域可表示为02 0 0r1于是(x2y2z2)dvr4sindrdddsindr4dr40005(2)zdv 其中闭区域由不等式 x2y2(za)2a2 x2y2z2所确定21解 在球面坐标下积分区域可表示为02,0,0r2acos4于是zdv rcosr2sindrdd24sincos1(2acos)4d048a44sincos5d7a40611 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)xydv 其中为柱面 x2y21 及平面 z1 z0 x0 y0 所围成的在第一卦限内的闭区域解 在
96、柱面坐标下积分区域可表示为0,01,0z12于是xydvcossindddz2sincosd3ddz10008别解 用直角坐标计算11xydvxdx11x200ydydz xdx00111x201xx3ydy( )dx02224xx110488(2)x2y2z2dv 其中是由球面 x2y2z2z 所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为02,0,0rcos2于是x y z dvd2d002222cos0rr2sindr22sin1cos4d0410(3)(x2y2)dv 其中是由曲面 4z225(x2y2)及平面 z5 所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为02,02,5z52于
97、是(x2y )dvdd00222355dz223(55)d802(4)(x2y2)dv 其中闭区域由不等式0a x2y2z2A z0 所确定2解 在球面坐标下积分区域可表示为02,0,ar A2于是(x2y2)dv(r2sin2cos2r2sin2sin2)r2sindrddd02A2sin3dr4dr4(A5a5)0a1512 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z6x2y2及z x2y2解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 02z62于是V dvdddzdd226200dz2(623)d3203(2)x2y2z22az(a0)及 x2y2z2(含有 z 轴的部分)解 在球面坐
98、标下积分区域可表示为202,0,0r2acos4于是V dvr2sindrddd022acos4sindr2dr00248a3cos3sinda303(3)z x2y2及 zx2y2解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 012z于是V dvdd2dz2(23)d0006211(4)z 5x2y2及 x2y24z 解 在柱面坐标下积分区域可表示为02,02,12z 524于是V dd10022225242dz)d2(5 54)04313 球心在原点、半径为 R 的球体 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量2( 52解 密度函数为(x,y,z)k x2y2z2在球面坐
99、标下积分区域可表示为02 0 0rR于是M k x2y2z2dvdsindkrr2drkR42R000习题 941 求球面 x2y2z2a2含在圆柱面 x2y2ax 内部的那部分面积解 位于柱面内的部分球面有两块 其面积是相同的yx由曲面方程 za2x2y2得zz222222xya x ya x y于是A22x y ax21(z)2(z)2dxdy2xyx y2ax2adxdy222a x y4a2d0acos01d4a2(aasin)d2a2(2)0a222 求锥面 zx2 y2被柱面 z22x 所割下的部分的曲面的面积解 由 zx2 y2和 z22x 两式消 z 得 x2y22x 于是所求
100、曲面在 xOy 面上的投影区域 D 为 x2y22xyx由曲面方程x2 y2得zz2222xyx yx y于是A(x1)2y211(z)2(z)2dxdy 2xy(x1)2y21dxdy 23 求底面半径相同的两个直交柱面 x2y2R2及 x2z2R2所围立体的表面积解 设 A1为曲面zR2x2相应于区域 D x2y2R2上的面积 则所求表面积为A4A1xA41(z)2(z)2dxdy41()202dxdyxyR2x2DD4D1dy8RRdx16R2Rdxdy4RRdxRxR Rx2R2x2RR2x224 设薄片所占的闭区域 D 如下 求均匀薄片的质心(1)D 由y 2px xx0 y0 所围
101、成解 令密度为1因为区域 D 可表示为0xx0,0 y 2px 所以AdxdydxD0x02px0dyx0032pxdx22px03x02pxx01x 1xdxdy1dxxdyx 2pxdx3x00AA0A05Dx02pxx0y1ydxdy1dxydy1pxdx3y00AA0A08D所求质心为(3x0,3y0)582y2x(2)D 是半椭圆形闭区域(x,y)|221, y0ab解 令密度为1 因为闭区域 D 对称于 y 轴 所以x 0Adxdy1ab (椭圆的面积)2Day1ydxdy1dxaAAa0Dba2x22aydy1b2(a2x2)dx4bA 2aa3所求质心为(0,4b)3(3)D
102、是介于两个圆 racos rbcos(0ab)之间的闭区域解 令密度为1 由对称性可知y0Adxdy(b)2(a)2(b2a2)(两圆面积的差)224D22bcos12a b ab2rcosrdr x xdxdydacosAA02(ab)2a b ab,0)所求质心是(2(ab)5 设平面薄片所占的闭区域 D 由抛物线 yx2及直线 yx 所围成 它在点(x y)处的面密度(x y)x2y 求该薄片的质心1x1解M (x,y)dxdydx2x2ydy1(x4x6)dx10x0235D2D1x1x 1x(x,y)dxdy1dx2x3ydy11(x5x7)dx35MM0xM0248Dy1M1y(x
103、,y)dxdyMDx122dxx y dy20xM13558(x x )dx035411质心坐标为(35,35)48 546 设有一等腰直角三角形薄片 腰长为 a 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方 求这薄片的质心解 建立坐标系 使薄片在第一象限 且直角边在坐标轴上 薄片上点(x y)处的函数为x2y2 由对称性可知x yaaxM (x,y)dxdydx(x2y2)dy1a4006Daaxx y1x(x,y)dxdy1xdx(x2y2)dy2a0MM05D薄片的质心坐标为(2a,2a)557 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度1)(1)z2x2y2 z1解 由对称性可
104、知 重心在 z 轴上 故x y0V dv1(圆锥的体积)3211z 1zdv1drdrzdz30rVV04所求立体的质心为(0,0,3) 4(2)zA2x2y2z a2x2y2(Aa0) z0解 由对称性可知 重心在 z 轴上 故x y0V dv2A32a32(A3a3) (两个半球体体积的差)3332A3(A4a4)11233z r sincosdrdddsincosdr dr00VV08(A3a3)3(A4a4)所求立体的质心为(0,0,33)8(A a )(3)zx2y2 xya x0 y0 z0解V dx0aaax0dyx2y20dzdx0aax0(x2y2)dyx2(ax)1(ax)
105、3dx1a4063x 1xdv1xdx0VV0aaxdyx2y201a5dz152a1a456yx2a5aaxx2y2171zzdvdxdyzdza20V30V00所以立体的重心为(2a,2a,7a2)55308 设球体占有闭区域(x y z)|x2y2z22Rz 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方 试求这球体的质心解 球体密度为x2y2z2 由对称性可知质心在 z 轴上 即x y0在球面坐标下可表示为02,0,0r2Rcos 于是2M dvd2sind0022Rcos0r2r2dr2232R5sincos5d32R50515z 1M12d2sincosd2Rcosr5dr
106、zdv00M08R62264R6sincos7d35R32r54M0615故球体的质心为(0,0,5R).49 设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域 D 如下 求指定的转动惯量2y2x(1)D(x,y)|221 求 Iyab解 积分区域 D 可表示为axa,bax2 ybax2aa于是Iyx dxdy x dxDa2a2ba2x2aba2x2ady 2ba221a3b2xa x dxaa4xasint a422222sin 2tdta4提示xa x dxa208(2)D 由抛物线y29x与直线 x2 所围成 求 Ix和 Iy2解 积分区域可表示为0x2,3 x/2 y3 x/2a于是Ixy
107、 dxdydxD02220223 x/232272y dyx2dx72x/2302 2522dy6x2dx96x/272053Iyx dxdyx dxD3 x/23(3)D 为矩形闭区域(x y)|0xa 0yb 求 Ix和 Iy3ab1ab223解Ixy dxdydxy dya b 0033D31a3Iyx dxdyx dxdy a bb00332a2bD10 已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为 b 和 h 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量解 取形心为原点 取两旋转轴为坐标轴 建立坐标系IxydxdyD2b2dxb2h2h2y2dy1bh312Iyxdxd
108、yD2b2x2dxb2h2dy1hb3h12211 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面 zx2y2和平面 z0 |x|a|y|a 所围成(1)求物体的体积解 由对称可知V 4dxdy0a0aaax2y20dz3a8a4222a4dx(x y )dy4(ax )dx00033(2)求物体的质心解 由对称性知x y0aax2y214z zdvdxdyzdzMV0002dx(x42x2y2y4)dyV005a2423 2a(ax a x )dx7a2V03515(3)求物体关于 z 轴的转动惯量aa解Iz(x y )dv4dxdy0022aax2y20(x2y2)dz4dx(x42x2y2y
109、4)dy428a6112a600454512 求半径为 a、 高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度1)解 建立坐标系 使圆柱体的底面在xOy面上 z轴通过圆柱体的轴心 用柱面坐标计算2ahIz(x2 y2)dvr3drddzdr3drdz1ha4000213设 面 密 度 为 常 量的 匀 质 半 圆 环 形 薄 片 占 有 闭 区 域aaD(x, y,0)|R1 x2y2R2, x0 求它对位于z轴上点M0(0 0 a)(a0)处单位质量的质点的引力 F F 解 引力 F F(Fx Fy Fz) 由对称性 Fy0 而xFxG222 3/2d(x y a )DGR
110、22cosdR122(2a2)3/2d2GlnFzGaD2R2a2R2R12a2R1R2R12222R2aR1ad(x y a )222 3/2GaR2d2R12d(a )22 3/2Ga112222R2aR1a14 设均匀柱体密度为 占有闭区域(x y z)|x2y2R2 0zh 求它对于位于点 M0(0 0 a)(ah)处单位质量的质点的引力解 由柱体的对称性可知 沿 x 轴与 y 轴方向的分力互相抵消 故 FxFy0 而FzG22az2 3/2dvx y (az) G(az)dz0hhdxdy222 3/2x y (az) x2y2R22Rrdr000r2(az)23/2h12G(az)
111、1dz220azR (az)G(az)dzd2Gh R2(ah)2 R2a2总习题九1 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论(1)设有空间闭区域1(x y z)|x2y2z2R2 z02(x y z)|x2y2z2R2 x0 y0 z0则有_(A)(C)xdv4xdv (B)ydv4ydv1212zdv4zdv (D)xyzdv4xyzdv1212解 (C)提示 f(x y z)x是关于x的奇函数 它在关于yOz平面对称的区域1上的三重积分为零 而在2上的三重积分不为零 所以(A)是错的 类似地 (B)和(D)也是错的f(x y z)z 是关于 x 和 y 的偶函数 它关于 yOz 平
112、面和 zOx 面都对称的区域1上的三重积分可以化为1在第一卦部分2上的三重积分的四倍(2)设有平面闭区域 D(x y)|axa xya D1(x y)|0xa xya 则(xycosxsin y)dxdy_D(A)2cosxsin ydxdy (B)2xydxdy (C)4cosxsin ydxdy (D)0D1D1D1解 (A)2 计算下列二重积分(1)(1x)sin yd 其中 D 是顶点分别为(0 0) (1 0) (1 2)和(0 1)的梯形闭区域D解 积分区域可表示为 D(x y)|0x1 0yx1 于是(1x)sin yd(1x)dxD01x10sinydy(1x)1cos(x1)
113、dx0132(2)(x2y2)d 其中 D(x y)|0ysin x 0xcos1sin1cos22sin2D解(x2y2)ddxD0sinx0(x2y2)dy(x2sinx1sin3x)dx03 2(3)D409R2x2y2d 其中 D 是圆周 x2y2Rx 所围成的闭区域解 在极坐标下积分区域D 可表示为于是,0Rcos2DD2R2x2y2dR22ddRcos2d02R d22321(R22)2rcosd03233R2R3322(1sin3)d1(3(1|sin|)d4)R32309(4)(y23x6y9)d 其中 D(x y)|x y R 222D解 因为积分区域 D 关于 x 轴、y
114、轴对称 所以因为3xd6yd0DD9d9d9R2DD1(x2y2)d22y dx d2DDD所以22122(y 3x6y9)d9R (x y )d2DD9R212dR2d9R2R40204f(x,y)dx3 交换下列二次积分的次序(1)0dy41(y4)2 4y解 积分区域为D(x,y)|0 y4, 4y x(y4)并且 D 又可表示为D(x y)|2x0 2x4yx24所以120dy41(y4)2 4yf (x,y)dxdx20x242x4f (x,y)dy(2)dy0012yf(x,y)dxdy133y0f(x,y)dx解 积分区域为D(x y)|0y1 0x2y(x y)|1y3 0x3
115、y并且 D 又可表示为D(x,y)|0x2,x y3x所以(3)12dy0112y0f (x,y)dxdy133y0f(x,y)dxdx1023xxf (x,y)dy20dxx1 1x2f (x,y)dy解 积分区域为D(x,y)|0x1,x y1 1x2并且 D 又可表示为D(x,y)|0 y1,0x y2(x,y)|1 y2,0x 2yy2所以1 1x2y22yy20dxxa1f (x,y)dydy010f (x,y)dxdy120f (x,y)dx4 证明0dy0eym(ax)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx0a证明 积分区域为D(x y)|0ya 0xy并且 D 又可表示为
116、D(x y)|0xa xya所以5 把积分1x10dy0eaym(ax)f(x)dxdxe0xaam(ax)f(x)dy(ax)em(ax)f(x)dx0af (x,y)dxdy表为极坐标形式的二次积分 其中积分区域DD(x y)|x2y1解 在极坐标下积分区域可表示为DD1D2D3其中D1:043,0cscD2:443D3:,0tansec4所以,0tansecf(x,y)dxdy4dD0tansec0cscf(cos,sin)dd6 把积分34340f(cos,sin)df (cos,sin)d2224d0tansecf (x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中积分区域是由曲面 zx
117、y yx及平面 y1 z0 所围成的闭区域解 积分区域可表示为 0zx2y2 x2y1 1x1所以f(x,y,z)dxdydz1dxxdy0211x2y2f(x,y,z)dz7 计算下列三重积分(1)z2dxdydz 其中是两个球 x y z R 和 x y z 2Rz(R0)的公共部分2222222解 两球面的公共部分在xOy 面上的投影x2 y2(在柱面坐标下积分区域可表示为:02,0所以3R)223R, R R22zR R22203R2dz dxdydz022dRR22R 22z2dz23zln(x2y2z21)(2)dv 其中是由球面 x2y2z21 所围成的闭区域222x y z 1
118、解 因为积分区域关于 xOy 面对称 而被积函数为关于 z 的奇函数03R31222(R )2(R R22)3d59R5480zln(x2y2z21)所以dv0222x y z 1(3)22(y z )dv 其中是由 xOy 面上曲线 y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x5 所围成的闭区域解 曲线 y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面的方程为 y2z22x 由曲面 y2z22x 和平面 x5 所围成的闭区域在 yOz 面上的投影区域为Dyz: y2z2( 10)2在柱面坐标下此区域又可表示为Dyz:02,0 10,所以12x5252(y2z2)dvd02100d122dx20103(512
119、)d25023xyz1被三坐标面所割出的有限部分的面积abccc解 平面的方程可写为zcxy 所割部分在 xOy 面上的投影区域为abxyD(x,y)|1, x0, y0ab22zzcc22于是A1() () dxdy122dxdyxyabDD8 求平面 1c2c2dxdy1ab 1c2c2222a2b2abD9 在均匀的半径为 R 的半圆形薄片的直径上 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解 设所求矩形另一边的长度为H 建立坐标系 使半圆的直径在x轴上 圆心在原点 不妨设密度为1g/cm3由对称
120、性及已知条件可知x y0 即从而ydxdy0DRdxHydy0R1即(R3x2)H2dx0R2亦即R3 R2RH20从而H RR2x2132R32R3因此 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为10 求曲抛物线 yx2及直线 y1 所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线 y1 的转动惯量解 抛物线 yx2及直线 y1 所围成区域可表示为D(x y)|1x 1 x2y1所求转动惯量为I18(x21)3dx36822(y1) dxdydx(y1) dy2111D1x3110511 设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片 占有平面闭域D(x y)|x2y2R2 y0过圆心 O 垂直于薄片的直线上有
121、一质量为m 的质点 P OPa 求半圆形薄片对质点P 的引力解 设 P 点的坐标为(0 0 a) 薄片的面密度为2M1R2R22M设所求引力为 F(Fx Fy Fz)由于薄片关于 y 轴对称 所以引力在 x 轴上的分量 Fx0 而R2sinmyFyG2dmGdd22 3/200(2a2)3/2(x y a )DmG0sind0(2a2)3/2d2mG0(2a2)3/2dR2R2224GmMR a RR)(lnaR2a2R2Rma2FzG2dmGadd22 3/200(2a2)3/2(x y a )DmGa0(2a2)3/2dR22GmM(1a)222Ra R习题 1011 设在 xOy 面内有
122、一分布着质量的曲线弧 L 在点(x y)处它的线密度为(x y) 用对弧长的曲线积分分别表达(1)这曲线弧对 x 轴、对 y 轴的转动惯量 Ix Iy(2)这曲线弧的重心坐标xy解 在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds) 设(x y)为小弧段 ds 上任一点.曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为dIxy2(x y)ds dIyx2(x y)ds 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为Ixy2(x,y)dsIyx2(x,y)dsLL曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为dMxy(x y)ds dMyx(x y)ds 曲线 L 的重心坐标为
123、MyLx(x,y)dsMxLy(x,y)dsxyMM(x,y)ds(x,y)dsLL2 利用对弧长的曲线积分的定义证明 如果曲线弧 L 分为两段光滑曲线 L1和L2 则Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds2证明 划分 L 使得 L1和 L2的连接点永远作为一个分点 则f (i,i)sif (i,i)sif (i,i)sii1i1in11nn1nn1n1令maxsi0 上式两边同时取极限limf (i,i)silimf (i,i)silim0i10i10in11f (i,i)sin即得Lf (x,y)dsLf (x,y)dsL1f(x,y)ds23 计算下列对弧长的曲线积分(
124、1)(x2y2)nds 其中 L 为圆周 xacos t yasin t (0t2)L解L(x2y2)nds(a2cos2ta2sin2t)n(asint)2(acost)2dt02(a2cos2ta2sin2t)n(asint)2(acost)2dt02a2n1dt2a2n102(2)(x y)ds 其中 L 为连接(1 0)及(0 1)两点的直线段L解 L 的方程为 y1x (0x1)L00(3)xdx 其中 L 为由直线 yx 及抛物线 yx2所围成的区域的整个边界L解 L1 yx2(0x1) L2 yx(0x1) (xy)ds(x1x) 1(1x)2dx (x1x) 2dx 211Lx
125、dxLxdxL1xdx102x 1(x2)2dxx 1(x)2dx011x 14x2dx2xdx1(5 56 21)00121(4)eLx2y2ds 其中L 为圆周x2y2=a2 直线 yx及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界解 LL1L2L3 其中L1 xx y0(0xa)L2 xa cos t ya sin t(0t)4L3 xx yx(0x2a)2因而Leax2y2dseL12x2y2dseL2x2y2dseL32x2y2ds1212dxe1 0 dx0x24ea0(asint) (acost) dt202a2e2xea(2a)24(5)2122ds 其中为曲线 xetcos t
126、yetsin t zet上相应于 t 从 0 变到 2x y z的这段弧dy解ds (dx)2()2(dz)2dtdtdtdt (etcostetsint)2(etsintetcost)2e2tdt 3etdt211dsx2y2z20e2tcos2te2tsin2te2t3etdt203etdt 3et23(1e2)0222(6)x2yzds 其中为折线 ABCD 这里 A、B、C、D 依次为点(0 0 0)、(0 0 2)、(1 0 2)、(1 3 2)解 ABBCCD 其中AB x0 y0 zt (0t1)BC xt y0 z2(0t3)CD x1 yt z2(0t3)故x2yzdsABx
127、2yzdsBCx2yzdsCDx2yzds1330000dt0dt2t 021202dt9.(7)y2ds 其中 L 为摆线的一拱 xa(tsin t) ya(1cos t)(0t2)L解Ly ds0322a2(1cost)2a(tsint)2a(cost)2dt 2aL02(1cost)21costdt256a315(8)(x2y2)ds 其中 L 为曲线 xa(cos tt sin t) ya(sin tt cos t)(0t2)dy解ds (dx)2()2dt (atcost)2(atsint)2dtatdtdtdtL(x2y2)dsa2(costtsint)2a2(sinttcost)
128、2atdt0202a3(1t2)tdt22a3(122)4 求半径为 a 中心角为 2的均匀圆弧(线密度1)的重心解 建立坐标系如图 104 所示 由对称性可知y0 又x Mxasin1xds1acosad2aM2aL所以圆弧的重心为(asin,0)5 设螺旋形弹簧一圈的方程为 xacos t yasin t zkt 其中 012它的线密度(x y z)x2y2z2 求(1)它关于 z 轴的转动惯量 Iz (2)它的重心解ds x2(t)y2(t)z2(t)dt a2k2dt(1)Iz(x2y2)(x,y,z)ds (x2y2)(x2y2z2)dsLLa2(a2k2t2) a2k2dt2a2a
129、2k2(3a242k2)03(2)M (x,y,z)ds(x2y2z2)ds(a2k2t2) a2k2dtLL2202a2k2(3a242k2)32x1x(x2y2z2)ds1acost(a2k2t2) a2k2dtMLM06ak23a242k22y1y(x2y2z2)ds1asint(a2k2t2) a2k2dtMLM026ak23a 42k2211222z z(x y z )dskt(a2k2t2) a2k2dtMLM03k(a222k2)3a242k2223k(a222k2)6ak6ak,)故重心坐标为(23a 42k23a242k23a242k2习题 1021 设 L 为 xOy 面内
130、直线 xa 上的一段 证明则 L xa yt t 从 b1变到 b2 于是LP(x,y)dx0证明 设 L 是直线 xa 上由(a b1)到(a b2)的一段da)dtP(a,t)0dt0P(x,y)dxP(a,t)(Lb1b1dt2. 设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点(a 0)到(b 0)的一段直线b2b2证明P(x,y)dxP(x,0)dxLab证明 L xx y0 t 从 a 变到 b 所以LP(x,y)dxP(x,0)(x)dxP(x,0)dxaabb3 计算下列对坐标的曲线积分(1)(x2y2)dx 其中 L 是抛物线 yx2上从点(0 0)到点(2 4)L的一段弧解 L yx
131、2 x 从 0 变到 2 所以L5624(x y )dx(x x )dxL015222(2)xydx 其中 L 为圆周(xa)2y2a2(a0)及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)解 LL1L2 其中L1 xaacos t yasin t t 从 0 变到L2 xx y0 x 从 0 变到 2a因此LxydxLxydxLxydx12a(1cost)asint(aacost)dt0dx002aa3(sin2tdtsin2tdsint)a3002(3)ydxxdy 其中 L 为圆周 xRcost yRsint 上对应 t 从 0 到L的一段弧2解Lydxxdy02Rs
132、int(Rsint)RcostRcostdtR22cos2tdt00(4)(xy)dx(xy)dy 其中 L 为圆周 x2y2a2(按逆时针方向绕行)22Lx y解 圆周的参数方程为 xacos t yasin t t 从 0 变到 2 所以(xy)dx(xy)dy22Lx y21(acostasint)(asint)(acostasint)(acost)dt20a21a2dt22a0(5)x2dxzdyydz 其中为曲线 xk yacos zasin上对应从 0 到的一段弧解x2dxzdyydz(k)2kasin(asin)acosacosd0(k32a2)d13k3a203(6)xdxyd
133、y(xy1)dz 其中是从点(1 1 1)到点(2 3 4)的一段直线解 的参数方程为 x1t y12t z13t t 从 0 变到 11xdxydy(xy1)dz0(1t)2(12t)3(1t12t1)dt10(614t)dt13(7)dxdyydz 其中为有向闭折线 ABCA 这里的 A B C依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解 ABBCCA 其中AB xx y1x z0 x 从 1 变到 0BC x0 y1z zz z 从 0 变到 1CA xx y0 z1x x 从 0 变到 1故dxdy ydz ABdxdy ydzBCdxdy ydzCAdxdy ydz111
134、1(1x)dx(1z)(1z)dtdx10002(8)(x22xy)dx(y22xy)dy 其中 L 是抛物线 yx2上从(1 1)L到(1 1)的一段弧解 L xx yx2 x 从1 变到 1 故L(x22xy)dx(y22xy)dy11(x22x3)(x42x3)2xdx2(x24x4)dx1401514 计算(xy)dx(yx)dy 其中 L 是L(1)抛物线 yx2上从点(1 1)到点(4 2)的一段弧解 L xy2 yy y 从 1 变到 2 故L(xy)dx(yx)dy2(y2y)2y(yy2)1dy3413(2)从点(1 1)到点(4 2)的直线段解 L x3y2 yy y 从
135、1 变到 2 故L(xy)dx(yx)dy21(3y2y)y(y3y2)1dy11(3)先沿直线从点(1 1)到(1 2) 然后再沿直线到点(4 2)的折线解 LL1L2 其中L1 x1 yy y 从 1 变到 2L2 xx y2 x 从 1 变到 4故L(x y)dx(yx)dyL1L2(xy)dx(yx)dy(xy)dx(yx)dy(y1)dy(x2)dx141124(4)沿曲线 x2t2t1 yt21 上从点(1 1)到(4 2)的一段弧解 L x2t2t1 yt21 t 从 0 变到 1 故L(xy)dx(yx)dy1(3t2t2)(4t1)(t2t)2tdt32035 一力场由沿横轴
136、正方向的常力 F F 所构成 试求当一质量为 m的质点沿圆周 x2y2R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功解 已知场力为 F F(|F F| 0) 曲线 L 的参数方程为xR cos yR sin从 0 变到 于是场力所作的功为2W F Fdr r|F|dx2|F|(Rsin)d|F|RLL06 设 z 轴与力方向一致 求质量为 m 的质点从位置(x1 y1 z1)沿直线移到(x2 y2 z2)时重力作的功解 已知 F F(0 0 mg) 设为从(x1 y1 z1)到(x2 y2 z2)的直线则重力所作的功为W F Fdr r0dx0dymgdzmgdzmg(z2z1)z1z
137、27 把对坐标的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy化成对弧长的曲线L积分 其中 L 为(1)在 xOy 面内沿直线从点(0 0)到(1 1)解 L 的方向余弦coscoscos142故LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)cosQ(x,y)cosdsP(x,y)Q(x,y)dsL2(2)沿抛物线 yx2从点(0 0)到(1 1)解 曲线 L 上点(x y)处的切向量为 (1 2x) 单位切向量为(cos,cos)e e(1,2x)14x214x2故LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)cosQ(x,y)cosdsP(x,y)2xQ(x,y)ds2L14x(3)沿上半圆
138、周 x2y22x 从点(0 0)到(1 1)解 L 的方程为y 2xx2 其上任一点的切向量为 (1,1x)2xx2单位切向量为(cos,cos)e e( 2xx2,1x)故LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)cosQ(x,y)cosds 2xx2P(x,y)(1x)Q(x,y)dsL8 设为曲线 xt yt2 zt3上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧把对坐标的曲线积分PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分解 曲线上任一点的切向量为 (1 2t 3t2)(1 2x 3y)单位切向量为(cos,cos,cos)e e1(1,2x,3y)2212x 9yLPdxQdyRdzPco
139、sQcosRcosdsP2xQ3yRdsL14x29y2习题 1031 计算下列曲线积分 并验证格林公式的正确性(1)(2xyx2)dx(xy2)dy 其中 L 是由抛物线 yx2及 y2x 所围l成的区域的正向边界曲线解 LL1L2 故L(2xyx2)dx(xy2)dy(2xyx2)dx(xy2)dy(2xyx2)dx(xy2)dyLL12(2x3x2)(xx4)2xdx(2y3y4)2y(y2y2)dy0110(2x 2x x )dx(2y54y42y2)dy100301yQ而(P)dxdy(12x)dxdydy2(12x)dx0yxy15321DD所以101(y2yy2y4)dy130(
140、DlQP)dxdyPdxQdylxy(2)(x2xy3)dx(y22xy)dy 其中 L 是四个顶点分别为(0 0)、(2 0)、(2 2)、和(0 2)的正方形区域的正向边界解 LL1L2L3L4 故L(x2xy3)dx(y22xy)dy()(x2xy3)dx(y22xy)dyLLLL1234x2dx(y24y)dy(x28x)dxy2dy002222008xdx4ydy80022而(DQP)dxdy(2y3xy2)dxdyxyDdx(2y3xy2)dy(8x4)dx8000222所以(DQP)dxdyPdxQdylxy2 利用曲线积分 求下列曲线所围成的图形的面积(1)星形线 xacos3
141、t yasin3t解Aydxasin3t3acos2t(sint)dtL023a2sin4tcos2tdt3a208(2)椭圆 9x216y2144解 椭圆 9x216y2144 的参数方程为x4cos y 3sin 02 故A1xdyydx2L214cos3cos3sin(4sin)d206d12022(3)圆 x2y22ax解 圆 x2y22ax 的参数方程为 xaacos yasin 02故A1xdyydx2L1a(1cos)acosasin(asin)d20a22220(1cos)da23. 计算曲线积分向为逆时针方向解PyxQ 当 x2+y20 时22222(x y )2(x y )
142、ydxxdy 其中 L 为圆周(x1)2y22 L 的方22L2(x y )QPx2y2x2y20xy2(x2y2)22(x2y2)2在 L 内作逆时针方向的小圆周l xcos ysin(02)在以 L 和 l 为边界的闭区域 D上利用格林公式得QPdxQdy(P)dxdy0xyLlD即因此LPdxQdylPdxQdyPdxdyl2ydxxdyydxxdy22sin22cos21ddL2(x2y2)l2(x2y2)022204 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关 并计算积分值(1)(2,3)(1,1)(xy)dx(xy)dy解 Pxy Qxy 显然 P、Q 在整个 xOy 面内具有
143、一阶连续偏导数 而且Q1Pyx故在整个 xOy 面内 积分与路径无关取 L 为点(1 1)到(2 3)的直线 y2x1 x 从 1 变到 2 则(2,3)2(1,1)(xy)dx(xy)dy1(3x1)2(1x)dx2(1x)dx512(2)(3,4)(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy解 P6xy2y3 Q6x2y3xy2 显然 P、Q 在整个 xOy 面内具有一Q12xy3y2 故积分与路径无关 取路径阶连续偏导数 并且Pyx(1 2)(1 4)(3 4)的折线 则(3,4)(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy43216y3y2)dy(96x64)dx2
144、36(3)(2,1)(1,0)(2xyy43)dx(x24xy3)dy解P2xyy43 Qx24xy3 显然 P、Q 在整个 xOy 面内具有一Q2x4y3 所以在整个 xOy 面内积分与阶连续偏导数 并且Pyx路径无关 选取路径为从(1 0)(1 2)(2 1)的折线 则(2,1)(1,0)(2xyy43)dx(x24xy3)dy1201(14y3)dy2(x1)dx55. 利用格林公式 计算下列曲线积分:(1)(2xy4)dx(5y3x6)dy 其中 L 为三顶点分别为(0 0)、L(3 0)和(3 2)的三角形正向边界解 L 所围区域 D 如图所示 P2xy4 Q5y3x6QP3(1)4
145、xy故由格林公式得L(2xy4)dx(15y3x6)dy(DQP)dxdyxy4dxdy12D(2)(x2ycosx2xysinxy2ex)dx(x2sinx2yex)dy 其中 L 为正L22向星形线x3y32a3(a0)解Px2ycosx2xysinxy2exQx2sinx2yexQP(2xsinxx2cosx2yex)(2xsinxx2cosx2yex)0xy由格林公式L(x2ycosx2xysinxy2ex)dx(x2sinx2yex)dyD(LQP)dxdy0xy(3)(2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy 其中 L 为在抛物线2xy2上由点(0 0)到(,1)
146、的一段弧2解P2xy3y2cosxQ12ysinx3x2y2QP(2ycosx6xy2)(6xy22ycosx)0xy所以由格林公式L OAOBPdxQdy(DQP)dxdy0xy其中 L、OA、OB、及 D 如图所示故LPdxQdyOAABPdxQdy12220dx(12y3y2)dy0044(4)(x2y)dx(xsin2y)dy 其中 L 是在圆周y 2xx2上由L点(0 0)到点(1 1)的一段弧解 Px2y Qxsin2y由格林公式有QP1(1)0xyLABBOPdxQdy(DQP)dxdy0xy其中 L、AB、BO 及 D 如图所示故L(x2y)dx(xsin2y)dyBAOB(x
147、2y)dx(xsin2y)dy11(1sin2y)dyx2dx71sin200646 验证下列 P(x y)dxQ(x y)dy 在整个 xOy 平面内是某一函数u(x y)的全微分 并求这样的一个 u(x y):(1)(x2y)dx(2xy)dyQ2P 所以 P(x y)dxQ(x y)dy 是某个定义在整证明 因为xy个 xOy 面内的函数 u(x y )的全微分2y2xu(x,y)(x2y)dx(2xy)dyC2xyC(0,0)22(x,y)(2)2xydxx2dy Q2xP 所以 P(x y)dxQ(x y)dy 是某个定义在整个解 因为xyxOy 面内的函数 u(x y)的全微分u(
148、x,y)(x,y)(0,0)yy2xydxx2dyC0dy2xydxCx2yC00(3)4sin xsin3y cosxdx 3cos3y cos2xdyQ6cos3ysin2xP 所以 P(x y)dxQ(x y)dy 是某个解 因为xy定义在整个 xOy 平面内的函数 u(x y)的全微分u(x,y)x0(x,y)(0,0)y4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdyC0dx3cos3ycos2xdyCcos2xsin3yC0(4)(3x2y8xy2)dx(x38x2y12yey)dy解 因为Q3x216xyP 所以 P(x y)dxQ(x y)dy 是某个定xy(x,y)
149、义在整个 xOy 平面内的函数 u(x y)的全微分u(x,y)y0(0,0)(3xh2iy8xy2)dx(x38x2y12yey)dyCx012yeydy(3x2y8xy2)dxCx3y4x2y212(yeyey)C(5)(2xcosyy2cosx)dx(2ysinxx2sin y)dy解 因为Q2ycosx2xsin yP 所以 P(x y)dxQ(x y)dy 是xyxy某个函数 u(x y)的全微分u(x,y)2xdx(2ysinxx2siny)dyC00 y2sinxx2cosyC7 设有一变力在坐标轴上的投影为 Xxy2Y2xy8 这变力确定了一个力场 证明质点在此场内移动时 场力
150、所做的功与路径无关解 场力所作的功为W (xy2)dx(2xy8)dy由于Y2yX 故以上曲线积分与路径无关 即场力所作的功xy与路径无关习题 1041 设有一分布着质量的曲面 在点(x y z)处它的面密度为(x y z) 用对面积的曲面积分表达这曲面对于 x 轴的转动惯量解 假设(x y z)在曲面上连续 应用元素法 在曲面上任意一点(x y z)处取包含该点的一直径很小的曲面块 dS(它的面积也记做 dS) 则对于 x 轴的转动惯量元素为dIx(y2z2)(x y z)dS对于 x 轴的转动惯量为Ix(y2z2)(x,y,z)dS2 按对面积的曲面积分的定义证明公式f(x,y,z)dSf
151、(x,y,z)dSf(x,y,z)dS12其中是由1和2组成的证明 划分1为 m 部分 S1 S2 Sm划分2为 n 部分 Sm1 Sm2 Smn则S1 Sm Sm1 Smn为的一个划分 并且 f(i,i,i)Si f(i,i,i)Si f(i,i,i)Sii1i1im1mnmmnSimax令1maxSi2mmax1,2 则当1imn1im0 时 有f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS123 当是 xOy 面内的一个闭区域时 曲面积分f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系？解 的方程为 z0 (x y)D22dS 1zxzydxdydxdy故f(x,y,z)dSf(x
152、,y,z)dxdyD4 计算曲面积分f(x,y,z)dS 其中为抛物面 z2(x2y2)在xOy 面上方的部分 f(x y z)分别如下(1) f(x y z)1解 z2(x2y2) Dxy x2y2222dS 1zxzydxdy 14x24y2dxdy因此22f(x,y,z)dS14x4y dxdyDxy2214r2rdr21(14r2)3/2021300123(2) f(x y z)x2y2解 z2(x2y2) Dxy x2y22d22dS 1zxzydxdy 14x24y2dxdy因此2222f(x,y,z)dS(xy) 14x4y dxdyDxy22d0014r2rdr2r214r2r
153、dr149030(3) f(x y z)3z解 z2(x2y2) Dxy x2y22222zydxdy 14x24y2dxdydS 1zx因此f(x,y,z)dS32(x2y2) 14x24y2dxdyDxy3d(2r2) 14r2rdr00226(2r2) 14r2rdr1110105 计算(x2y2)dS 其中是2(1)锥面z x2y2及平面 z1 所围成的区域的整个边界曲面解 将分解为12 其中1 z1 D1 x2y21 dSdxdy221z x2y2 D2 x2y21dS 1zxzydxdy 2dxdy222222(x y )dS(x y )dS(x y )dS12(x2y2)dxdy
154、(x2y2)dxdydr dr2dr3dr30000D121D22121 22222y2x提示dS 12222dxdy 2dxdyx yx y(2)锥面 z23(x2y2)被平面 z 0 及 z3 所截得的部分解 z 3 x2y2 Dxy x2y2322dS 1zxzydxdy2dxdy因而2(x y )dS(x y )2dxdydr2rdr92222Dxy0023提示dS 16y6x22 dxdy2dxdy22222 3(x y )2 3(x y )6 计算下面对面积的曲面积分yz4x(z2xy)dS(1) 其中为平面 1在第一象限中的3234部分解:z42x4y Dxy:0x2,0y13x
155、3222dS 1zxzydxdy61dxdy3(z2x4y)dS461dxdy4 61dxdy4 61333DxyDxy(2)(2xy2x2xz)dS 其中为平面 2x2yz6 在第一象限中的部分解 z62x2y Dxy 0y3x 0x322dS 1zxzydxdy3dxdy2(2xy2x xz)dS(2xy2x2x62x2y)3dxdyDxy3dx0333x0(63x2x22xy2y)dy3(3x310x29)dx2704(3)(xyz)dS 其中为球面 x2y2z2a2上 zh (0ha )的部分解 z a2x2y2 Dxy x2y2a2h222dS 1zxzydxdy2a22dxdya
156、x y222(xyz)dS(xy a x y )Dxyadxdy222a x yadxdya|Dxy|a(a2h2)(根据区域的对称性及函数的奇Dxy偶性)提示yx2dS 1(222) (222)2dxdy2a22dxdya x ya x ya x y(4)(xyyzzx)dS 其中为锥面z x2y2被 x2y22ax 所截得的有限部分解 z x2y2 Dxy x2y22ax22dS 1zxzydxdy 2dxdy22(xyyzzx)dS 2xy(xy) x y dxdyDxy 2d222acos0r2sincosr2(cosqsin)rdr4 2a42(sincos5cos5sincos4)
157、d2642a4152y2x提示dS 12222dxdyx yx y7 求抛物面壳 z1(x2y2)(0z1) 的质量 此壳的面密度为2z.解 z1(x2y2) Dxy x2y22222dS 1zxzydxdy 1x2y2dxdy故MzdS1(x2y2) 1x2y2dxdy2Dxyd1r21r2rdr2(6 31)002158 求面密度为0的均匀半球壳x2y2z2a2(z0)对于z轴的转动惯量22解 z a2x2y2 Dxy x2y2a222zydxdy2a22dxdydS 1zxa x yIz(x2y2)0dS(x2y2)02a22dxdya x ya0d02a0r3dra2y240a43提示
158、yax22dxdy) () dxdy222222222a x ya x ya x ydS 1(习题 1051 按对坐标的曲面积分的定义证明公式P1(x,y,z)P2(x,y,z)dydz P1(x,y,z)dydzP2(x,y,z)dydz解 证明把分成 n 块小曲面Si(Si同时又表示第 i 块小曲面的面积) Si在 yOz 面上的投影为(Si)yz (i ii)是Si上任意取定的一点是各小块曲面的直径的最大值 则P1(x,y,z)P2(x,y,z)dydzlimP1(i,i,i)P2(i,i,i)(Si)yz0i1nnlimP1(i,i,i)(Si)yzlimP2(i,i,i)(Si)yz
159、0i10i1nP1(x,y,z)dydzP2(x,y,z)dydz2 当为 xOy 面内的一个闭区域时 曲面积分R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系？解 因为 z0 (x y)Dxy故R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdyDxy当取的是上侧时为正号 取的是下侧时为负号3 计算下列对坐标的曲面积分(1)x2y2zdxdy其中是球面 x2y2z2R2的下半部分的下侧解 的方程为z R2x2y2 Dxy x2y2R 于是x2y2zdxdyx2y2( R2x2y2)dxdyDxydr2cos2r2sin R2r2rdr002R2R1sin22dR2r2r5dr2R7010540(2)
160、zdxdyxdydzydzdx 其中 z 是柱面 x2y21 被平面 z0 及z3 所截得的第一卦限内的部分的前侧解 在 xOy 面的投影为零 故zdxdy0可表示为x 1y2 (y z)Dyz(y z)|0y1 0z3 故xdyzDyz1y dydzdz1y dy31y2dy00023121可表示为y 1x2 (z x)Dzx(z x)|0z3 0x1 故因此222ydzdx1x dzdxdz1x dx31x dxDzx311000132zdxdyxdydzydzdx2(31x dx)6042解法二 前侧的法向量为 n(2x 2y 0) 单位法向量为(cos,cos,cos)由两种曲面积分之
161、间的关系1(x, y,0)22x yzdxdyxdydzydzdx(xcosycoszcos)dS(xyxy)dS x2y2dS dS 32x2y2x2y2提示dS表示曲面的面积(3)f (x,y,z)xdydz2f (x,y,z)ydzdxf (x,y,z)zdxdy 其中f(x y z)为连续函数 是平面 xyz 1 在第四卦限部分的上侧解 曲面可表示为 z1xy (x y)Dxy(x y)|0x1 0yx1上侧的法向量为 n(1 1 1) 单位法向量为(cos,cos,cos)(1,1,1)333由两类曲面积分之间的联系可得f (x,y,z)xdydz2f (x,y,z)ydzdxf (
162、x,y,z)zdxdy(f x)cos(2f y)cos(f z)cosdS(f x)1(2f y)(1)(f z)1dS3331(xyz)dS 1dS dxdy1233Dxy(4)xzdxdyxydydzyzdzdx 其中是平面 x0 y0 z0 xyz1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧解 1234 其中1 x0 Dyz 0y1 0z1y2 y0 Dzx 0z1 0x1z3 z0 Dxy 0x1 0y1x4 z1xy Dxy 0x1 0y1x于是xzdxdy1234000xzdxdy4x(1xy)dxdyxdxDxy11x00(1xy)dy124由积分变元的轮换对称性可知因此解 1234
163、 其中1、2、3是位于坐标面上的三块4 z1xy Dxy 0x1 0y1x显然在1、2、3上的曲面积分均为零 于是xydydzyzdzdx241xzdxdyxydydzyzdzdx324811xzdxdyxydydzyzdzdxxzdxdyxydydzyzdzdx4(xycosyzcosxzcos)dS4 3(xyyzxz)dS3xy(xy)(1xy)dxdy184Dxy4 把对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy化成对面积的曲面积分(1)为平面3x2y2 3z6在第一卦限的部分的上侧解 令F(x,y,z)3x2y2 3z6 上侧的法向量为n(
164、Fx,Fy,Fz)(3,2,2 3)单位法向量为(cos,cos,cos)1(3,2,2 3)5于是PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS1(3P2Q2 3R)dS 5(2)是抛物面 z8(x2y2)在 xOy 面上方的部分的上侧解 令 F(x y z)zx2y28 上侧的法向量n(Fx Fy Fz)(2x 2y 1)单位法向量为(cos,cos,cos)于是1(2x,2y,1)2214x 4yPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS1(2xP2yQR)dS2214x 4y1061 利用高斯公式计算曲面积分(1)x2dydz y2dzdx z2dx
165、dy 其中为平面 x0 y0 z0 xaya za 所围成的立体的表面的外侧解 由高斯公式QR原式(P)dv2(xyz)dvxyz6xdv6xdxdydz3a4(这里用了对称性)000aaa(2)x3dydzy3dzdxz3dxdy 其中为球面 x2y2z2a2的外侧解 由高斯公式QR原式(P)dv3(x2y2z2)dvxyz3dsindr4dr12a50005a2(3)xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2z)dxdy 其中为上半球体x2y2a20z a2x2y2的表面外侧解 由高斯公式QR原式(P)d (z2x2y2)dvxyzd2dr2r2sindr2a50005a2(4)xd
166、ydz ydzdx zdxdy其中界于 z0 和 z3 之间的圆柱体x2+y29 的整个表面的外侧解 由高斯公式QR原式(P)dv3dv81xyz(5)4xzdydz y2dzdx yzdxdy其中为平面 x0 y0 z0 x1y1 z1 所围成的立体的全表面的外侧解 由高斯公式QR原式(P)dv(4z2yy)dvxyzdxdy(4zy)dz300021112 求下列向量 A 穿过曲面流向指定侧的通量(1)A Ayzi i+xzj j+xyk k 为圆柱 xy2a2(0zh )的全表面 流向外侧解 Pyz Qxz Rxy yzdydz xzdzdx xydxdy(yz)(xz)(xy)dv0d
167、v0xyz(2)A A(2xz)i ix2yj jxz2k k 为立方体 0xa 0ya 0za的全表面 流向外侧解 P2xz Qx2y Rxz2 PdydzQdzdx RdxdyQr(P)dv(2x22xz)dvxyzadxdy(2x22xz)dza3(2a)0006aa2(3)A A(2x3z)i i(xzy)j j(y22z)k k 是以点(3 1 2)为球心半径 R 3 的球面 流向外侧解 P2x3z Q (xzy) Ry22z PdydzQdzdx RdxdyQR(P)dv(212)dv3dv108xyz3 求下列向量 A 的散度(1)A A(x2yz)i i(y2xz)j j(z2
168、xy)k k解 Px2+yz Qy2xz R z2xyQR2x2y2z2(xyz)divA APxyz(2)A Aexyi icos(xy)j jcos(xz2)k k解 Pexy Qcos(xy) Rcos(xz2)QR yexyxsinxy2xzsin(xz2)divA APxyz(3)A Ay2zi ixyj jxzk k解 Py2 Qxy RxzQR0xx2xdivA APxyz4 设 u (x y z)、v (x y z)是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数uv依次表示 u (x y z)、v (x y z)沿的外法线方向nn的方向导数 证明uvvu)dxdydz(unvn
169、)dS vu其中是空间闭区间的整个边界曲面 这个公式叫作林第二公式证明 由第一格林公式(见书中例 3)知2v2v2v)dxdydzu(x2y2z2uvdS(u vu vu v)dxdydznx xy yz z2u2u2u)dxdydzv(x2y2z2vudS(u vu vu v)dxdydznx xy yz z将上面两个式子相减 即得2v2v2v)v(2u2u2u)dxdydu(x2y2z2x2y2z2(uvvu)dSnn5 利用高斯公式推证阿基米德原理 浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上 大小等于这物体所排开的液体的重力证明 取液面为 xOy 面 z 轴沿铅直向下 设液
170、体的密度为 在物体表面上取元素 dS 上一点 并设在点(x y z)处的外法线的方向余弦为 cos cos cos 则 dS 所受液体的压力在坐标轴 x y z 上的分量分别为zcosdS zcos dS zcos dS所受的压力利用高斯公式进行计算得FxzcosdS 0dv0FyzcosdS 0dv0FzzcosdS dvdv|其中|为物体的体积 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力其方向铅直向上 大小等于这物体所排开的液体所受的重力 即阿基米德原理得证习题 1071 利用斯托克斯公式 计算下列曲线积分(1)ydxzdyxdz 其中为圆周 x2y2z2a2 若从 z 轴的正向看去 这圆周取
171、逆时针方向解 设为平面 xyz0 上所围成的部分 则上侧的单位法向量为n (cos,cos,cos)(1,1,1)333coscoscosdS于是ydxzdyxdzxyzyzx(coscoscos)dS 3dS 3a23提示dS表示的面积 是半径为 a 的圆(2)(yz)dz(zx)dy(xy)dz 其中为椭圆 x2y2a2xz1ab(a0 b0) 若从 x 轴正向看去 这椭圆取逆时针方向解 设为平面xz1上所围成的部分 则上侧的单位法ab向量为n n(cos,cos,cos)(b,0,b)a2b2a2b2coscoscosdS于是(yz)dx(zx)dy(xy)dzxyzyzzxxy(2co
172、s2cos2cos)dS 2(ab)dS22a b222(ab)2(ab)a bdxdydxdy2a(ab)22aaa bDxyDxy22ba bb2dxdy提示 (即zbx)的面积元素为dS 1( ) dxdyaaa(3)3ydxxzdyyz2dz 其中为圆周 x2y22z z2 若从 z 轴的正向看去 这圆周是取逆时针方向解 设为平面 z2 上所围成的部分的上侧 则dydz dzdx dxdy3ydxxzdyyz2dzxyz3yxzyz2(z2x)dydz(z3)dxdy52220(4)2ydx3xdyz2dz 其中为圆周 x2y2z29 z0 若从 z 轴的正向看去 这圆周是取逆时针方向
173、解 设为 xOy 面上的圆 x2y29 的上侧 则dydz dzdx dxdy2ydx3xdyz2dz xyz2y3xz2dxdydxdy9Dxy2 求下列向量场 A 的旋度(1)A A(2z3y)i i (3xz)j j+(2x)k ki ij jk k2i i4j j6k k解rotrotA Axyz2z3y 3xz y2x(2)A A(sin y)i i(zxcosy)k ki ij j解rotrotA Axyzsin y (zxcosy)k ki i j jz0(3)A Ax2sin yi iy2sin(xz)j jxysin(cos z)k ki ij jk k解rotrotA Ax
174、yzx2sin y y2sin(xz) xysin(cosz)xsin(cosz)xy2cos(xz)i iysin(cosz)j jy2zcos(xz)x2cosyk k 3 利用斯托克斯公式把曲面积分rotrotA An ndS化为曲线积分 并计算积分值其中 A A、及 n n 分别如下(1)A Ay2i ixyj jxzk k 为上半球面z 1x2y2 的上侧 n n 是的单位法向量解 设的边界 x2y21 z0 取逆时针方向 其参数方程为xcos ysin z0(02由托斯公式2PdxQdyRdz yrotrotA An ndSdxxydyxzdzsin2(sin)cos2sind00
175、2(2)A A(yz)i iyzj jxzk k 为立方体 0x2 0y2 0z2 的表面外侧去掉 xOy 面上的那个底面 n n 是的单位法向量解rotrotA An ndSPdxQdyRdz(yx)dxyzdy(xz)dzydx2dx4024 求下列向量场 A 沿闭曲线(从 z 轴正向看依逆时针方向)的环流量(1)A Ayi ixj jck k(c 为常量) 为圆周 x2y21 z0解2Lydxxdycdz(sin)(sin)coscosd0d202(2)A A(x z)i i(x3+yz)j j3xy2k k 其中为圆周z2 x2y2 z0解 有向闭曲线的参数方程为 x2cos y2si
176、n z0(02)向量场 A A 沿闭曲线的环流量为LPdxQdyRdzL(xz)dx(x2yz)dy3xy2dz202cos(2sin)8cos32cosd125 证明 rotrot(a ab b)rotrot a a rotrot b b解 令 a aP1(x y z)i iQ1(x y z)j j+R1(x y z)k kb bP2(x y z)i iQ2(x y z)j j+R2(x y z)k k由行列式的性质 有i ij jk krotrot(a ab b)xyzP1P2Q1Q2R1R2i ij jk ki ij jk krotrot a arotrot b bx y zx y zP
177、P2Q2R21Q1R16 设 uu(x y z)具有二阶连续偏导数 求 rotrot(gradgrad u)解 因为 gradgrad uuxi iuyj juzk k 故i ij jk krotrot(gradgrad u)(uzyuyz)i i(uzxuxz)j j(uyxuxy)k k0x y zuxuyuz*7 证明(1)(uv)uvvu(uv)(uv)(uv)ijk解(uv)xyzuvuvuv(vu)i(vu)j(vu)kxxyyzzv(uiujuk)u(uiujuk)uvvuxyzxyz(2)(uv)uvvu2uu2222222(uv)2(uv)2(uv) v v v v v v)
178、解(uv)u()v(x2y2z2x2y2z2x2y2z22(uvuvuv)u vv u 2u ux xy yz z(3) (A B )B (A )A (B )解BP2iQ2jR2k x(AB) P1P2yQ1Q2z(Q R Q R)(PR P R)(PQ PQ)1 22 11 22 11221R1xyzR2Q1RQRPR2R2Q122R1Q211R2P1xxxxxxP2RPQ2P2Q01R1P211Q2PQ1P21yyzzzzQ1PRPPQ1)Q1(22)R1(22)xyxzyxP1R1)P(Q2R2)P (R1Q1)12zxzyyzR2(Q2(P2而B(A)A(B)xP1P2(Q2yQ1R2
179、P1zxR1P2Q2yQ2R1zR2R1Q1PRQP)Q2(11)R2(11)yzzxxyR2Q2PRQP)Q1(11)R1(22)yzzxxyP1(所以(A B)B(A)A ( B )(4) (A ) (A ) 2a解令 A Pi Q jR k 则ijkQQA(R)i(PR)j(P)kyzzxxx y zPQRijk从而(A)xyzRQ PR QPyzzxxy22Q2Q2P2Q2P2p2R R)j()i(yzz2x2xyxy2y2z2xz2222Q P R R()kxzx2y2xy2222Q P2P2P)i(2 R)i( Pxxyxzx2y2z2222Q2Q2Q2Q P R()j(222)j
180、xyy2yzxyz222Q P2R2R2R)k( R)k(zxzyz2x2y2z2(A)i(A)j(A)kxyz2Pi2Qj2Rk (A)2A命题地证总习题十1 填空(1)第二类曲线积分PdxQdyRdz化成第一类曲线积分是_ 其中、为有向曲线弧上点(x y z)处的_的方向角(PcosQcosRcos)ds 切向量(2)第二类曲面积分PdydzQdzdxRdxdy化成第一类曲面积分是_ 其中、解为有向曲面上点(x y z)处的_的方向角解(PcosQcosRcos)dS 法向量2 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论设曲面是上半球面 x2y2z2R2(z0) 曲面1是曲面在第一卦限中的
181、部分 则有_(A)(C)xdS 4xdS (B)ydS 4xdS11zdS 4xdS (D)xyzdS 4xyzdS11解 (C)3 计算下列曲线积分(1)Lx2y2ds 其中 L 为圆周 x2y2ax解 L 的参数方程为xcosysin(02) 故aa22a2Lx2y2dsaxdsL20ax() x2()y2()d4242aa2(1cos)d|2cos|d40402a2|cost|dta2(2costdtcostdt)2a2(这里令t)04022(2)zds 其中为曲线 xtcos t ytsin t zt(0tt0)解22zdst (costtsint) (sinttcost) 1dt0t
182、0(3)解0t02 3(2t0) 2 22t dt32L(2ay)dxxdy 其中 L 为摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)上对应 t 从 0 到 2的一段弧L(2ay)dxxdy00222(2aaacost)a(1cost)a(tsint)asintdta2(4)解tsintdt2a22312(y2z2)dx2yzdyx2dz 其中是曲线 xt yt zt 上由听 t =0 到 t 1 的一段弧(y z )dx2yzdyx dz(t4t6)12t2t32tt23t2dt0221(2t43t6)dt01135222(5)向L(exsin y2y)dx(excosy2)dy 其中
183、L 为上半圆周(xa) y a y0 沿逆时针方QPxe cosyexcosy22xy解 这里 Pexsin y2y Qexcos y2令 L1为 x 轴上由原点到(2a 0)点的有向直线段 D 为 L 和 L1所围成的区域 则由格林公式LL1(exsiny2y)dx(excosy2)dy(DQP)dxdyxy22dxdyaDL(exsiny2y)dx(excosy2)dya2(exsiny2y)dx(excosy2)dyL1a2(6)02a0dxa2222xyzdz 其中是用平面yz截球面x y z 1所得的截痕 从z轴的正向看去 沿逆时针方向x2y2z21 其参数方程为yz2sint, z
184、2sintxcost, y t 从 0 变到 222解 曲线的一般方程为于是22cost2cost2costdtxyzdzcost022222sin2tcos2tdt 240164 计算下列曲面积分(1)dSx2y2z2 其中是界于平面 z0 及 zH 之间的圆柱面 x2y2R2Rdydz22R yRdydz22R y解 12 其中1:x R2y2 Dxy RyR 0zHdS 1:x R2y2 Dxy RyR 0zHdS 于是dSdSdSx2y2z2x2y2z2x2y2z2122RH1R11dzdydz2RdyR2z2R2y2RR2y20R2z2Dxt2arctan(2)HR222(y z)d
185、ydz(z x)dzdx(x y)dxdy 其中为锥面z x2y2(0zh) 的外侧解 这里 Py2z Qz2x Rx2yPQR0xyz设1为 zh(x2y2h2)的上侧 为由与1所围成的空间区域 则由高斯公式而1PQR)dv0222(y z)dydz(z x)dzdx(x y)dxdy(xyz(y2z)dydz(z2x)dzdx(x2y)dxdy(x2y)dxdy11(x12y)dxdyd(r2cos2rsin)dh40042h所以(3)h4222(y z)dydz(z x)dzdx(x y)dxdy4R2x2y2的上侧xdydzydzdxzdxdy 其中为半球面z解 设1为xOy面上圆域x
186、2y2R2的下侧 为由与1所围成的空间区域 则由高斯公式得1QRxdydzydzdxzdxdy(P)dvxyz而2R3)2R33dv3(31Dxyxdydzydzdxzdxdyzdxdy0dxdy001所以xdydz ydzdxzdxdy 2R302R3xdydzydzdxzdxdy(x2)2(y1)2z(4) 其中为曲面1(z0)的上侧222 35169(x y z )解 这里PxQyRz 其中r x2y2z2r3r3r3P13x2Q13y2R13z2xr3r5xr3r5xr3r5QR33(x2y2z2)33r2P350xyzr3r5rr(x2)2(y1)21)的下侧 是由和1所围成的空间区
187、域 则由高斯公式设1为 z0(169xdydzydzdxzdxdyPQR)dv0(222 3xyz(x y z )1xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy(x2y2z2)3(x2y2z2)31Dxy(5)0dxdy022 3(x y ) 其中为球面 x2y2z21(x0 y0)的外侧xyzdxdy解 12 其中1是z 1x2y2(x2y21 x0 y0)的上侧2是z 1x2y2(x2y21 x0 y0)的下侧xyzdxdy xyzdxdyxyzdxdy12DxyxyDxy1x2y2dxdyxy( 1x2y2)dxdyDxy2xy 1x y dxdy22212dcossin
188、00123d12sin2d00123d2155 证明xdxydy在整个 xOy 平面除去 y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全x2y2xQy 显然 区域 G 是单连通的 P 和 Q 在 G 内具有一阶连续x2 y2x2y2微分 并求出一个这样的二元函数解 这里P偏导数 并且所以P2xyQy(x2y2)2xxdxydy在开区域 G 内是某个二元函数 u(x y)的全微分x2y2u(x,y)(1,0)(x,y)yxdxydyx1y1ln(x2y2)Cdxdy1x0x2y22x2y26 设在半平面 x0 内有力F k(xi iyj j)构成力场 其中 k 为常数 x2y2 证明3在此力场
189、中场力所作的功与所取的路径无关解 场力沿路径 L 所作的功为W 令PLkxdx3ky3dykxQky 因为 P 和 Q 在单连通区域 x0 内具有一阶连续的偏导数 并且33P3kxyQy5x所以上述曲线积分所路径无关 即力场所作的功与路径无关7 求均匀曲面z a2x2y2的质心的坐标解 这里z a2x2y2 (x y)Dxy(x y)|x2y2a2设曲面的面密度为1 由曲面的对称性可知x y0 因为222223zdS a x y 1zzxydxdyadxdyaDxyDxy14a22a2dS 23aa所以z 2a22因此该曲面的质心为(0,0,)8 设 u(x y)、v(x y)在闭区域 D 上
190、都具有二阶连续偏导数 分段光滑的曲线 L 为 D 的正向边界曲线 证明(1)(2)a2udsvudxdy(gradgradugradgradv)dxdyvDDLnvvu)ds(uvvu)dxdy(uDLnn其中u、v分别是 u、v 沿 L 的外法线向量 n n 的方向导数 符号22称为二维拉普nnx2y2拉斯算子证明 设 L 上的单位切向量为 T T(cos sin) 则 n n(sin cos)(1)udsv(usinucos)dsvucosvusindsvLnLxLyyxDx(vx)y(vy)dxdyuu22v u uv uv2vu)dxdy(2x xy yxyD22v uv u u()d
191、xdyv(2u)dxdy2x xy yxyDD所以DgradgradvgradgradudxdyDvudxdyvuvvuuudsvudxdy(gradgradugradgradv)dxdyvDDLn(2)L(unvn)dsLu(xsinycos)v(xsinycos)dxdyLvvu)cos(uvvu)sindxdyyyxx(u(uvvu)(uvvu)dxdyDxxxyyyu vu2vv uv2uu vu2vv uv2u)dxdy(Dx xx2x xx2y yy2y yy22222 v v u uu(22)v(22)dxdy(uvvu)dxdyxyxyDD9 求向量A Axi iyj jzk
192、k通过闭区域(x y z)|0x1 0y1 0z1的边界曲面流向外侧的通量解 设为区域的边界曲面的外侧 则通量为PQR)dvxdydzydzdxzdxdy(xyz3dv310 求力 F Fyi izj jxk k 沿有向闭曲线所作的功 其中为平面 xyz1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界 从 z 轴正向看去 沿顺时针方向解 设为平面 xyz1 在第一卦部分的下侧 则力场沿其边界 L(顺时针方向)所作的功为W Lydxzdyxdz1(1,1,1)(cos,coscos) 由斯托克斯公式有3曲面的的单位法向量为n ncoscoscosdSW xyzyzx1(111)dS 3dS 31( 2)
193、2sin32323习题 1111 写出下列级数的前五项(1)1n2n11n解解n11n2112122132142152.1n215102637.1n34561n1112131415(2)解解13(2n1)n1242nn113(2n1)113135135713579.242n2242462468246810n113(2n1)1315105945 .242n28483843840n1(1)n1(3)nn15(1)n111111解n2345.55555n15(1)n111解n111 .525 1256253125n15!(4)nnn1n解解n1nn1122334455.nn14272563125.n
194、!12624120n!1!2!3!4!5!n12 写出下列级数的一般项(1)1111357解 一般项为un1.2n1(2)2345612345解 一般项为un(1)n1n1.n2xxx xx(3)2242462468解 一般项为unnx22n!.a2a3a4a5(4)3579n1n1a解 一般项为un(1).2n13 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性(1)( n1 n)n1解 因为sn( 2 1)( 3 2)( 4 3)( n1 n)( n1 1)(n)所以级数发散1(2)111133557(2n1)(2n1)解 因为1sn111133557(2n1)(2n1)1(11)1(11)
195、1(11)1(11)2 1 32 3 52 572 2n1 2n11(11111111)2 1 33 5572n1 2n11(11)1(n)22n12所以级数收敛(3)sinsin2sin3sinn6666解snsinsin2sin3sinn66661(2sinsin2sinsin22sinsinn)1261261262sin121(coscos3)(cos3cos5)(cos2n1cos2n1)1212121212122sin121(coscos2n1).12122sin12因为limcos2n1不存在 所以lim sn不存在 因而该级数发散n12n4 判定下列级数的收敛性23n888n8(
196、1) 23(1)n;9999解 这是一个等比级数 公比为q8 于是|q|81 所以此级数收敛99(2)1111;3693n解 此级数是发散的 这是因为如此级数收敛 则级数13(1111)3693nn1n也收敛 矛盾(3)1131n1;3333解 因为级数的一般项unn13n10(n)3所以由级数收敛的必要条件可知 此级数发散23n(4)332333n;2222解 这是一个等比级数 公比q31 所以此级数发散21)(11)(11).(5)(11)(123223223332n3n1解 因为n和1都是收敛的等比级数 所以级数n23n1n11n1(2n3n)(23)(2232)(2333)(2n3n)
197、1111111111是收敛的习题 1121 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性(1)1 11351(2n1)112n1解 因为lim 而级数1发散 故所给级数发散2n1n1nn12131n(2)11221321n21发散1n1n1解 因为un 而级数1n2nn2nn1n故所给级数发散1112536(n1)(n4)12(n1)(n4)n lim21 而级数12收敛解 因为lim1nnn 5n4n1n2n(3)故所给级数收敛(4)sinsinsinsin23n2222sinnsinn22解 因为limlim 而级数1n收敛1nnn122n2n故所给级数收敛(5)1(a0)nn1
198、1a解 因为00a11nanl1a1lim1a lim2n1n1anan1a111而当 a1 时级数n收敛 当 0a1 时级数n发散n1an1a所以级数1当 a1 时收敛 当 0a1 时发散nn11a2 用比值审敛法判定下列级数的收敛性332333nn12222323n2n3解 级数的一般项为un 因为n2nn1nun13n23n31 lim limlimnunn(n1)2n13nn2 n12(1)所以级数发散2n(2)nn13un1(n1)23n解 因为lim limn12 lim1(n1)2113nunn3nn3n所以级数收敛n2 n!(3)nn1nun12n1(n1)!nn解 因为lim
199、 limn2lim(n)n21n1enunn(n1)2 n!nn1所以级数收敛(3)ntann12n1(n1)tanu2n2 limn12n211解 因为limn1 lim2nunnnnntann1n122所以级数收敛3 用根值审敛法判定下列级数的收敛性(1)(n1n)n2n1n解 因为limnun lim(2)n11 所以级数收敛n2n121nln(n1)n1n解 因为limnun lim(3)(n1101 所以级数收敛nln(n1)n)2n13n12n1n解 因为n)limnun lim(nn3n1 lim所以级数收敛11)2n3n1n213n(111n2(31)nn21313 e lim
200、b)n 其中 a a(n) a b a 均为正数nnan1nbb解 因为limnun limannan(4)(所以当 ba 时级数收敛 当 ba 时级数发散4 判定下列级数的收敛性33443解 这里unn( )n 因为43)n1(n1)(u4limn1 lim limn1331nunnnn44n(3)n4(1)2( )23( )3n( )n所以级数收敛3434142434n41!2!3!n!4n解 这里un 因为n!(2)un1(n1)4n!lim lim4 lim1(n1)301nnunn(n1)! nnn所以级数收敛n1n1n(n2)n1n(n2)n1 lim1 而级数1发散解 因为lim
201、1nnn2n1nn(3)故所给级数发散(4)2nsinn13nn12n1sin2n1n13321解 因为lim lim3nn2nsinn2nn33所以级数收敛(5)23n12nnn解 因为limun lim所以级数发散n110n111(a0,b0)ab2abnab11 1解 因为un 而级数1发散naba nn1n(6)故所给级数发散5 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的 是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111234n11un(1)n11 其中unnnn1n1因为显然 unun+1 并且limun0 所以此级数是收敛的解 这是一个交错级数(1)n又因为|(1)n1un|n1n11是 p1 的
202、p 级数 是发散的n所以原级数是条件收敛的(2)(1)n1n13n1n解n1|(1)n1n|n3n1n13n1n1n1n是收敛的3因为lim1 所以级数n13nnn133n1从而原级数收敛 并且绝对收敛1 11 111113 23 223 233 241 11 1n1n1解 这是交错级数(1)n 并且|(1)n|11n333222n1n1n1(3) 1 1是收敛的 所以原级数也收敛 并且绝对收敛nn13 21111(4)ln2ln3ln4ln5(1)n11n1解 这是交错级数(1)un 其中unln(n1)ln(n1)n1n1因为级数因为 unun+1 并且limun0 所以此级数是收敛的n1
203、11发散又因为 而级数ln(n1)n1n1n1故级数|(1)n1n1un|21发散 从而原级数是条件收敛的n1ln(n1)n2n1(5)(1)n!n1解 级数的一般项为un(1)n12n2n!2nnnnnnn(2n)2222222 lim lim因为lim |un| lim321nnn!nn!nn n1 n2所以级数发散习题 1131 求下列幂级数的收敛域(1)x2x23x3 nxn 解lim |nan1| limn11 故收敛半径为 R1annnn1因为当 x1 时 幂级数成为 n 是发散的当 x1 时 幂级数成为(1)nn 也是发散的n1所以收敛域为(1 1)2nxnx(2)1x2(1)2
204、2n12an1(n1)2n| lim lim1 故收敛半径为 R1解lim |nannn(n1)21n211因为当x1时 幂级数成为(1)n2 是收敛的 当x1时 幂级数成为12 也是nn2n1n收敛的 所以收敛域为1 1xx2x3xn22424624(2n)a2nn! lim10 故收敛半径为R 收敛域为 (解lim|n1| limn1nann2(n1)!n2(n1)(3)xx2x3xn(4)13232333n3nnan1n31n1 故收敛半径为 R3| lim lim解lim |nann(n1)3n1n3 n13因为当 x3 时 幂级数成为的 所以收敛域为3 3)1 是发散的 当 x3 时
205、 幂级数成为(1)n1 也是收敛nn1nn12x22x223x32nxn2510n21n122an12n 1n 12 故收敛半径为1| lim2lim解lim |Rnann(n1)212nn(n1)212(5)111因为当x时 幂级数成为2 是收敛的 当 x1 时 幂级数成为(1)n2n 12n1n 1n11 1也是收敛的 所以收敛域为 , 2 22n1xn(6)(1)2n1n1解 这里级数的一般项为un(1)n因为lim|nx2n12n12n3un11|x2 由比值审敛法 当 x21 即|x|1 时 幂级数绝对| lim|x2nunn2n3 x2n1收敛 当 x21 即|x|1 时 幂级数发
206、散 故收敛半径为 R1因为当 x1 时 幂级数成为n1(1)n2n1 是收敛的 当1x1 时 幂级数成为n1(1)n12n1 也是收敛的 所以收敛域为1 11(7)2n1x2n2nn122n1x2n22nun1(2n1)x2n2n1x2 由比值审敛法 当1x21 即因为lim| lim|nunn22n1(2n1)x2n22|x| 2时 幂级数绝对收敛 当1x21 即|x| 2时 幂级数发散 故收敛半径为R 222n1 是发散的 所以收敛域为因为当x 2时 幂级数成为( 2,2)2n1解 这里级数的一般项为un(x5)n(8)nn1an1 故收敛半径为 R1 即当1x51 时级数收敛 当|x5|
207、1解lim|n1| limnannn1时级数发散(1)n因为当 x51 即 x4 时 幂级数成为 是收敛的 当 x51 即 x6 时 幂级数nn11 是发散的 所以收敛域为4 6)成为n1n2 利用逐项求导或逐项积分 求下列级数的和函数(1) nxn1n1解 设和函数为 S(x) 即S(x)nxn1 则n1S(x)0S(x)dx0xnn1xxn1nxdx0nxn1dxn1n1x111(1x1)1x(1x)24n1x(2)4n1n14n1x解 设和函数为 S(x) 即S(x) 则4n1n14n1x4nxdx0x dxS(x)S(0)0S(x)dx04n1n1n1x11)dxx(11111)dx(
208、001x42 1x22 1x211x1arctanxx(1x1)ln41x2xx提示 由S(x)dxS(x)S(0)得S(x)S(0)S(x)dxxx00352n1xxx(3)x352n1解 设和函数为 S(x) 即2n1352n1xxxxxS(x)2n1352n1n12n1x2n2xdx0xdx则S(x)S(0)0S(x)dx02n1n1n1x11ln1x(1x1)dx01x221xxx提示 由S(x)dxS(x)S(0)得S(x)S(0)S(x)dxxx00习题 1141 求函数 f(x)cos x 的泰勒级数 并验证它在整个数轴上收敛于这函数解f(n)(x)cos(xn )(n1 2 )
209、2f(n)(x0)cos(x0n )(n1 2 )2从而得 f(x)在 x0处的泰勒公式f (x)cosx0cos(x0)(xx0)2cos(x0)(xx0)22!cos(x0n)2(xx )n R (x)0nn!cosx0(xx0)n1n1n1|xx0|2因为|Rn(x)|(01)(xx0)|(n1)!(n1)!|xx |n1|xx0|n100 从而lim |Rn(x)|0而级数总是收敛的 故limnn(n1)!(n1)!ncos(x0)(xx0)2因此f (x)cosx0cos(x0)(xx0)22!cos(x0n)2(xx )n x( )0n!2 将下列函数展开成x 的幂级数 并求展开式
210、成立的区间xxe e(1)shx2解 因为nxe x( )n!n0xnx所以e(1) x( )n!n0xnnnn2n11x1xnxnx1(1) 故shx(1) x( )2n0n!n0n!2n0n!n0(2n1)!(2)ln(ax)(a0)xxaan1nx1x)(1)ln(1x1)n1n0n解 因为ln(ax)lna(1 )lnaln(1 )(1)nxn11xn1所以ln(ax)lna(1)(axa)( )lnan1n1 an0n0(n1)a(3)ax解 因为ex所以a e(4)sin2xxxlnaxn x( )n0n!(xlna)n(lna)nne x x( )n!n!n0n0x11222nn
211、xcosx(1) x( )(2n)!n0解 因为sin2x cos2x2n2n12n11xx( )n(2x)n2(1)所以sin x(1)22n0(2n)!n1(2n)!2(5)(1x)ln(1x)1x)(1)n解 因为ln(n0xn1(1x1)n1xn1n11x)(1x)(1)n所以(1x)ln(n0(1)nn0xn1(1)nxn2x(1)nxn1(1)n1xn1n1n0n1n1n1nn1(1)n1(1)n(1)n1n1xxxn1(1x1)xnn1n(n1)n1n1x(6)1x2!2n1n(2n1)!1(1)x(1x1)解 因为(2n)!(1x2)1/2n1!2n12(2n)! x2n1xn
212、(2n1)!x(1)xx(1)n( )所以(1x1)22(2n)!2(n!)n1n11x3 将下列函数展开成(x1)的幂级数 并求展开式成立的区间(1)x3解 因为(1x)m1mxm(m1)2m(m1)(mn1)nx x (1x1)2!n!所以x331(x1)23(31)3(31)(3n1)32(x1)22 2(x1)n1(x1)2 222!n!(1x11)31(1)(3)(52n)331即x31 (x1)2(x1)2(x1)nn22 2!2 n!(0x2)上术级数当 x0 和 x2 时都是收敛的 所以展开式成立的区间是0 2(2)lg xnlnx11n1(x1)ln1(x1)(1x11)解l
213、gx(1)ln10ln10ln10n1nn1n1(x1)(0x2)即lgx(1)ln10n1n4 将函数 f(x)cos x 展开成(x)的幂级数3解cosxcos(x)cos(x)cossin(x)sin3333313sin(x)cos(x)2323(1)n(1)n132n(x)(x)2n12n0(2n)!32n0(2n1)!3311(x)2n3(x)2n1(x)(1)n2n0(2n)!3(2n1)!315 将函数f(x)展开成(x3)的幂级数xn11111解(1)n(x3)n(1x31)x3x331x33n033311nx3)n(0x6)即(1)n(x3n0316 将函数f(x)2展开成(
214、x4)的幂级数x 3x21解f(x)211x 3x2x1x211而111(x4)n(|x4|1)x13(x4)31x43n0333(x4)n1(7x1)即x1n03n111111(x4)n(|x4|1)x22(x4)21x42n0222(x4)n1(6x2)即x2n02n1(x4)n(x4)n1n1n1因此f(x)2x 3x2n03n0211(n1n1)(x4)n(6x2)3n02习题 1151 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值(1)ln3(误差不超过 00001)1x2(x1x31x51x2n1)(1x1)1x352n11111 11 111)ln3ln22( 3 52n112352
215、n12221211又|rn|2(2n1)22n1(2n3)22n3解ln(2n1)22n1(2n1)22n1212n12n32n5(2n1)2(2n3)2(2n5)2故|r5|211)1(1(2n1)22n122243(2n1)22n210.00012|r |10.00003531128313210因而取 n6 此时ln32( 11 111111111)1.098623 235 257 279 2911 211(2)e(误差不超过 0001)1x21xn(x)2!n!11 11 1e 12n22! 2n! 21111由于rn(n1)! 2n1(n2)! 2n2111111n1 2(n2)(n1
216、) 22n!2n111n!2n113n!2n24解ex1x故r410.000335!23因此取 n4 得(3)9522(误差不超过 000001)解(1x)m1mx911111.648e 111122! 223! 234! 24m(m1)2m(m1)(mn1)nx x (1x1)2!n!1/9522 2(110)291 10810817 1021 92(9)22(9)39 29 2! 23 3! 28101 10由于90.0021702(9)20.0000199 29 2! 2故9522 2(10.0021700.000019)2.00430(4)cos 2(误差不超过 00001)242nx
217、xnx(x)解cosx1(1)2!4!(2n)!cos2cos2! 904! 906! 9011由于()26104()41082! 904! 901故cos21()210.00060.99942! 909011()21()41()62 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值1dx(误差不超过 00001)01x40.510.5解dx1x4x8x12(1)nx4ndx401x0111.5(xx5x9x13)|00591311 11 111 5 91325 29 213 2110.0000091 11 1因为50.0062590.0002813 2135 29 20.51111110.49
218、40所以dx01x42 5 259 290.5arctanx(2)dx(误差不超过 00001)0x111x2n1(1x1)解arctanxx x3x5(1)n352n1(1)0.50.51x21x4(1)n1x2ndxdx10x0352n1111.5(xx3x5x7)|009254911 11111 35729 225 249 21 1110.0013110.0002因为30.013949 279 225 250.5arctanx110.487所以dx1110x29 2325 250.5arctanx3 将函数 excos x 展开成 x 的幂级数解cosx(eixeix)12excosxe
219、x (eixeix) ex(1i)ex(1i)(1i)nn(1i)nn1(1i)n(1i)nn1x x x2n0n!n!2n!n0n01212因为1ini2e41ini2e4所以(1i) (1i)nin22e4nn1inne422(2cos)22cosn44因此excosx习题 117n0n22cosn!n4xn(x)1 下列周期函数 f(x)的周期为 2 试将 f(x)展开成傅里叶级数 如果 f(x)在)上的表达式为(1)f(x)3x21(x)解 因为a0an11f(x)dx1(3x21)dx2(21)f(x)cosndx2n12(n1 2 )(3x 1)cosndx(1)n21bnf(x)
220、sinndx11(3x21)sinndx0(n1 2 )所以 f(x)的傅里叶级数展开式为(1)nf(x)1122cosnx (x)n1n2(2)f(x)e2x(x)解 因为2211ee2xa0f (x)dxe dx2an1f(x)cosndx2(1)n(e2e2)12xecosndx(n1 2 )(n24)bn1f(x)sinndxn(1)n(e2e2)12xesinndx(n1 2 )(n24)所以 f(x)的傅里叶级数展开式为22(1)nee1f(x) 2(2cosnxnsinnx)4n1n 4(x(2n1) n0 1 2 )(3)f(x)解 因为011a0bxdxaxdx(ab)020
221、11anbxcosnxdxaxcosnxdxbxx0(a b 为常数 且 ab0)ax0x0ba1(1)n(n1 2 )n2101bnbxsinnxdxaxsinnxdx0(1)n1ab(n1 2 )n所以 f(x)的傅里叶级数展开式为1(1)n(ba)(1)n1(ab)f(x)(ab)cosnxsinnx24nnn1(x(2n1) n0 1 2 )2 将下列函数 f(x)展开成傅里叶级数(1)f(x)2sinx(x)3解 将 f(x)拓广为周期函数 F(x) 则 F(x)在()中连续 在 x间断 且1F()F() f()1F()F() f()22故 F(x)的傅里叶级数在()中收敛于 f(x
222、) 而在 x处 F(x)的傅里叶级数不收敛于 f(x)计算傅氏系数如下因为2sinbnx(x)是奇函数 所以 a 0(n0 1 2 )n32sinxsinnxdx2cos(1n)xcos(1n)xdx303302(1)n118 3n9n21(n1 2 )18 3n1nsinnx(x)所以f(x)(1)9n21n1(2)f(x)exx010x解 将 f(x)拓广为周期函数 F(x) 则 F(x)在()中连续 在 x间断 且1F()F() f()1F()F() f()22故 F(x)的傅里叶级数在()中收敛于 f(x) 而在 x处 F(x)的傅里叶级数不收敛于 f(x)计算傅氏系数如下011exa
223、0e dxdx001(1)ne1xane cosnxdxcosnxdx(n1 2 )0(1n2)bn10exsinnxdxsinnxdx0n1(1)ne 1(1)n1(n1 2 )n1n21e所以f (x)21(1)nen(1)nne1(1)n1cosnxsinnxn11n2n1n2(x)3 设周期函数 f(x)的周期为 2 证明 f(x)的傅里叶系数为anbn012f(x)cosnxdx(n0 1 2 )012f(x)sinnxdx(n1 2 )证明 我们知道 若 f(x)是以 l 为周期的连续函数 则aalf(x)dx的值与 a 无关 且alaf(x)dxf (x)dx0l因为 f(x)
224、cos nx sin nx 均为以 2为周期的函数 所以 f(x)cos nx f(x)sin nx 均为以 2为周期的函数 从而21f(x)cosnxdx(n1 2 )0an同理bn1f(x)cosnxdx12f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx(n1 2 )0124 将函数f(x)cos(x)展开成傅里叶级数解 因为f(x)cos为偶函数 故 bn0(n1 2 ) 而x2x2xcosnxdx2cosxcosnxdxcos202111cos( n)xcos( n)xdx02241(1)n12(n1 2 )4n 1x由于f(x)cos在上连续 所以2an1x241cos(1)n12co
225、snx(x)2n14n 15 设 f(x)的周期为 2的周期函数 它在)上的表达式这x22xf(x)x22x22将 f(x)展开成傅里叶级数解 因为 f(x)为奇函数 故 an0(n0 1 2 ) 而22bnf(x)sinnxdx2xsinnxdxsinnxdx0022(1)n22sinn(n1 2 )n2n又 f(x)的间断点为 x(2n1) n0 1 2 所以(1)n12f(x)2sinnsinnx( x(2n1) n0 1 2 )n2nn16 将函数f(x)x(0x)展开成正弦级数2解 作奇延拓得 F(x)0xf (x)0x0F(x) f (x)x0再周期延拓 F(x)到( ) 则当 x
226、(0时 F(x)f(x)F(0)0因为 an0(n0 1 2 ) 而bn f(0)202xsinnxdx1(n1 2 )2n故f(x)1sinnx(0x)n1n级数在 x0 处收敛于 07 将函数 f(x)2x2(0x)分另别展开成正弦级数和余弦级数解 对 f(x)作奇延拓 则 an0(n0 1 2 ) 而bn2022x2sinnxdx4(1)n(23)2(n1 2 )nn3n故正弦级数为4222f (x)(1)n(3)3sinnx(0x)n1nnn级数在 x0 处收敛于 0对 f(x)作偶延拓 则 bn0(n1 2 ) 而a0022x2dx42328an2x2cosnxdx(1)n2(n1
227、2 )0n故余弦级数为(1)n22f (x)82cosnx(0x)3n1n8 设周期函数 f(x)的周期为 2 证明(1)如果 f(x)f(x) 则 f(x)的傅里叶系数 a00 a2k0 b2k0(k1 2 )解 因为a01f (x)dx令t x120f (t)dx120f (t)dt a0所以 a00因为a2k11f (x)cos2kxdx令t x120f (t)cos2k(t)dx所以 a2k002f(t)cos2ktdta2k同理 b2k0(k1 2 )(2)如果 f(x)f(x) 则 f(x)的傅里叶系数 a2k10 b2k10(k1 2 )解 因为a2k11f(x)cos(2k1)xdx12令t x0f (t)cos(2k1)(t)dx012f(t)cos(2k1)tdta2k1所以 a2k10(k1 2 )同理 b2k10(k1 2 )
