李雅普诺夫方法【专业课堂】

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1、第三章第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫动态系统的稳定性及李雅普诺夫分析方法分析方法1详细课资1 稳定性基本概念稳定性基本概念一、外部稳定性与内部稳定性1外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。 系统的外部稳定性也称有界输入有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。 2详细课资如果由非零初始状态 引起的系统自由运动 有界，即： 2内部稳定性考虑输入量为零时的线性系统 并满足渐近属性，即 ，则称该系统是内部稳定的。 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态

2、恢复到原平衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。 二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法， 3详细课资二、李亚普诺夫稳定性基本概念（一） 系统运动及平衡状态1自治系统自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。 线性系统： 2受扰运动 将自治系统在初始状态 条件下的解称为受扰运动。就是系统的零输入响应。通常表示为 。 4详细课资对非线性系统，一般有多个平衡状态。3. 平衡状态 如果存在 ，对所有的t有 成立，称状态 为

3、上述系统的平衡状态。若A非奇异， 唯一的平衡状态若A奇异， 平衡状态,非唯一 通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于线性定常连续系统的平衡状态有： 如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 的稳定性具有普遍意义。 5详细课资 可以将下式看成为状态空间中以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 ；把上式视为以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 。球域 依赖于给定的实数 和初始时间 。 （二）稳定性定义（二）稳定性定义 1. 稳定 设 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一

4、个实数 ，都对应地存在另一实数 ，使得由满足式子 的任一初始状态 出发的受扰运动都满足 则称平衡状态 是稳定的。 6详细课资 从球域 内任一点出发的运动 对所有的都不超越球域 。 如果 与 无关，称为是一致稳定，定常系统是一致稳定的。平衡状态 是稳定的几何解释： 一个二维状态空间中零平衡状态 是稳定的几何解释如右图 。 上述稳定保证了系统受扰运动的有界性，通常将它称为李雅普诺夫意义下的稳定，以区别于工程意义的稳定。7详细课资不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且则称平衡状态 为渐近稳定。 从球域 内任一点出发的运动 对所有的 不仅不超越球域 ，而且当 时，最终收敛于平衡状态 。 2. 渐近

5、稳定渐近性几何解释： 二维状态空间中零平衡状态 为渐近稳定的几何解释如右图。 8详细课资 满足渐近稳定的球域 只是状态空间中的有限部分，这时称平衡状态 为局部渐近稳定，并且称 为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态 。 线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。若 与 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能有一个平衡点。满足上面两点的为全局一致渐近稳定。 渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近

6、性 9详细课资3. 不稳定 无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内 总存在非零点 ，使得由 出发的运动轨迹 越出球域 ，则称平衡状态 为不稳定。 二维状态空间中零平衡状态为不稳定的几何解释如右图。 对于非线性系统，也有可能趋于 以外的某个平衡点或某个极限环。 10详细课资单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。11详细课资 线性定常离散系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件是系统矩阵 的所有特征值的模都小于1。 2 李雅普诺夫稳定性分析方法李雅普诺夫稳定性分析方法 一、李雅普诺夫第一法 又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性，比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。

7、 1线性系统情况 线性定常连续系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。 与经典控制理论的各种判据一致2非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。 12详细课资非线性自治系统： 为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。是系统的一个平衡点。高阶导数项之和13详细课资3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在

8、 不稳定；1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 渐近稳定；按 在 邻域研究平衡点 的稳定性。即： 李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。 14详细课资 设 为关于n维向量 的标量函数，并且在 处，有 ，则对于任意的非零向量 ，有： 一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为 ，如果不显含时间 ，则表示为 。二、李雅普诺夫第二法 又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程，直接分析、判断系

9、统的稳定性能。具有很强的普适性。 不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基本属性正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。（一）预备知识1标量函数的定号性15详细课资 若 ， 为负定； 若 ， 为正定； 若 ， 为正半定； 若 可正可负， 为不定。 若 ， 为负半定；2. 二次型函数设x为n维向量，则称标量函数 为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。权矩阵 P为实对称矩阵16详细课资 若，P为正半定； 若，P为负定；而P的定号性由Syl

10、vester准则确定： 若，P为正定；, 的1n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为： 为实对称矩阵 P 若，P为负半定。17详细课资则平衡状态是大范围渐近稳定的。 （2）为负定；（1）为正定；则系统的平衡状态是渐近稳定的，并称是该系统的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足设系统的状态方程为，且其平衡状态为，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，并且满足条件：（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据1渐近稳定基本判定定理 ：（3）条件（1）保证了具备“广义能量”函数的特性， 条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。 18详细

11、课资2渐近稳定判定定理2 ：系统及平衡状态同上，如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即对于有 ；则系统的平衡状态是渐近稳定的。同样，如果还满足 （3）则平衡状态是大范围渐近稳定的。 条件（2）表示在某处会出现但不恒为零的情况，这时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切，但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点，所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。 19详细课资3李雅普诺夫意义下稳定判定定理： 如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定；则系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 条件（2）不强调不恒为零，意味着系统向着小“能

12、量”方向运动的过程中与某个等“能量”面相切，但可能不再离开该等“能量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。 4不稳定判定定理： 如果满足条件：（1）为正定；（2）为正定；则系统的平衡状态是不稳定的。条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。 20详细课资如果上述定理的条件（2）为即正半定时，也可推论出两种情况：（1）时不恒为零，此时该平衡点不稳定； （2）时存在恒为零，此时该平衡点为李雅普诺夫意义下稳定。（三）关于李雅普诺夫第二法的讨论（1）上述结论适用于任何性质的系统，但针对定常系统时，李雅普诺夫函数一般地不显含时间变量，即为。 （2

13、）上述结论中的条件只是充分条件，如果找不到满足定理条件的李雅普诺夫函数并不能对系统的相应稳定性作出否定性结论。 （3）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 （4）上述结论中除了明确指出稳定性的大范围特性外，都只表示了系统在平衡状态附近某个邻域内的稳定性能，即局部稳定性能。21详细课资为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。 22详细课资 为负半定，由上述定理，应考察 时 是否恒为0的情况：可见只有在平衡状态 时 ，所以为渐近稳定。又：所以为一致大范围渐近稳定。系统为定常系统，23详细课资为负定，所以 为渐近稳定。（3）选

14、二次型函数同理有所以为一致大范围渐近稳定。李雅普诺夫函数非唯一性，构造没有一般规律可循。 24详细课资3 线性系统的线性系统的Lyapunov稳定性分析方法稳定性分析方法 对于线性系统，经常选取二次型函数作为李雅普诺夫函数，并由此得出一些更有效的判别定理。 一、定常连续系统取二次型标量函数 (P为正定、实对称)线性定常连续系统渐近稳定判定定理： 线性定常系统 在平衡点 大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程：Q为实对称矩阵25详细课资 定理给出的是充要条件，上面的讨论过程已经说明了条件的充分性，条件必要性的证明见教材。 注意的几点： （1）系统在

15、平衡点 渐近稳定时有 A的特征值都具有负实部（2）定理中正定的实对称矩阵Q是任意取的，但为了简化矩阵方程的求解，常取它为正定对角阵或单位矩阵。 （3）如果对于 有 Q可取为正半定。（4）解得正定的实对称矩阵P，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。 26详细课资P正定,系统在平衡点渐近稳定 27详细课资 当 时，有 ，所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 二次型函数 是系统的一个李雅普诺夫函数，二、时变连续系统设 为系统唯一的平衡状态。取二次型标量函数 为一致正定及一致有界的实对称矩阵 显然 为正定函数 28详细课资 时变连续系统 在平衡点 为一致大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的一致正定及一

16、致有界的实对称时变矩阵 ，存在一个一致正定及一致有界的实对称矩阵 ，满足矩阵方程：线性时变连续系统渐近稳定判定定理： 解矩阵微分方程可得： 通过 是否为一致正定、一致有界来判别系统在平衡点的渐近稳定性 。 Q(t)为一致有界的实对称时变矩阵 29详细课资 线性定常离散系统 在平衡点 为大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在正定的实对称矩阵P，满足矩阵方程：三、定常离散系统为系统唯一的平衡状态 取二次型标量函数： P为正定的实对称矩阵 显然 为正定函数函数的增量函数为： 同样记：线性定常离散系统渐近稳定判定定理：Q为实对称矩阵30详细课资（ 和 为非零常数)线性定常离散系统

17、的状态方程为 讨论系统在平衡点的渐近稳定性。 由塞尔维斯特准则，为使P 是正定矩阵，则要求 和 解：解：G为常数矩阵， 是唯一平衡状态。31详细课资这时二次型函数 是系统的一个李雅普诺夫函数，且当 时，有 , 所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 这与经典控制理论中关于采样控制系统的稳定性判据（特征值在单位圆内）是一致的。 32详细课资四、时变离散系统设 为系统唯一的平衡状态，取二次型标量函数 P(k)为一致正定的实对称时变矩阵 函数的增量函数为：同样记：Q(k)为实对称时变矩阵 33详细课资 其中P(0)是矩阵差分方程的初始条件，选取一个正定的实对称时变矩阵Q(k) （例如简单地选Q(k)

18、=I )，由上式解得P(k+1)，然后看它是否为正定的实对称矩阵来判别系统在平衡点的渐近稳定性。 线性时变离散系统渐近稳定判定定理: 线性时变离散系统 的平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k) ，必存在正定的实对称矩阵P(k+1)，满足矩阵方程：解上述矩阵差分方程可得解为： 34详细课资非线性系统稳定性的分析要复杂得多。（1）非线性系统的平衡状态可能不止一个，而且可能其中有的稳定，有的不稳定；（2）非线性系统的渐近稳定的平衡状态往往是局部的；（3）构造满足李雅普诺夫第二法稳定性判据的李雅普诺夫函数更加困难，往往会因找不到合适的李雅普诺夫函数而无法作出判断。

19、所提出的一些关于非线性系统稳定性的分析方法大都分别适合于一类特定的系统。 本节介绍两种相对简单实用的非线性系统稳定性分析方法，它们都是建立在李雅普诺夫第二法基础之上，因此也只是提供了充分条件。 另外，两种方法的出发点都在于设法构造能给出非线性系统稳定性判别的合适的李雅普诺夫函数。4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法35详细课资一一. 克拉索夫斯基法：克拉索夫斯基法： 克拉索夫斯基方法采用 替代x 来构造具有二次型形式的李雅普诺夫函数，并取单位矩阵为其权矩阵，即 则：其中J(x)称为系统的雅可比（Jacobian）矩阵，为 36详细课资代入得：要使系统在平

20、衡状态渐近稳定， 的权矩阵必须负定，记其为： 可以得到如下克拉索夫斯基定理。 37详细课资（3）如果雅可比矩阵 本身对称时，定理条件可以由 负定简化 为 负定。 这就要求非线性向量函数 的每个分量 必须包含对应的 的元素 ，且偏导数 对任意 为负。 非线性系统 在所讨论的范围内有唯一的平衡状态 ，如果在该范围内由系统的雅可比矩阵构成的矩阵 负定，那么 是渐近稳定的平衡状态。进一步，如果在全状态空间都有 负定，且 时，有 ，那么 是大范围渐近稳定的。克拉索夫斯基定理： 注意点： （1）该定理提供的只是系统在平衡点渐近稳定的充分条件；（2） 为负定的必要条件是雅可比矩阵J(x)对角线上的元素都为负

21、值； （4）也可将该方法应用于线性定常系统 ，此时雅可比矩阵J 即 为系统矩阵A,判别条件为 。 38详细课资对于 ，它也包含了对应元素 ，且有对于 ，它包含了对应的元素 ，且有解：解：首先检验f(x)的各个分量是否适合应用克拉索夫斯基方法 。 可见，可以尝试应用克拉索夫斯基方法来分析系统在平衡点的稳定性。 求出系统的雅可比矩阵为：39详细课资求得 它的12阶顺序主子式分别为：40详细课资假设 是系统的一个李雅普诺夫函数，它不是时间t的显函数，则有： 对于一个给定的系统，如果存在一个能够证明其渐近稳定性的李雅普诺夫函数，则这个李雅普诺夫函数的单值梯度也必存在。于是，首先根据 找出李雅普诺夫函数

22、的导数函数，再通过积分计算出 ，如果得到的 正定，就获得了所需要的李雅普诺夫函数。二、变量梯度法二、变量梯度法其中 为 的梯度： 为单值的n维向量 41详细课资有 个等式由于单值性，李雅普诺夫函数 可通过积分计算得到： 必须解决以下两个问题： （1）线积分的路径问题； （2）梯度向量 的确定； 对于问题（1），如果向量 的旋度 ，则上式线积分与积分路径无关。而 的条件是向量 的雅可比矩阵对称，即矩阵 有：42详细课资 由限制条件 和上面所列的 个等式可以确定出一些待定量，不够部分用试凑法解决。 这时线积分与积分路径无关，最方便的路径是依次沿各坐标轴方向分段积分，即 对于问题（2），通常设 是

23、x 的一个带待定系数的列向量，即：nn个待定量43详细课资（4）验证 的定号性，因为（3）有可能改变 的定号性；（2）根据式 由 确定 ，并由 负定或至少负半定的限制条件确定出式 的一部分待定量；（1）设 的梯度向量 如式 ，并可试凑一些式中的待定量； 这样，在 的前提下，按简便的积分路径求出 ，然后判别它的符号特性决定它是否为所需要的李雅普诺夫函数，从而判定系统在平衡点的稳定性。根据上述思路，采用变量梯度法构造 的步骤总结如下： （3）由式 所列的 个等式确定出另一些待定量； （5）由式 计算得到 ，并验证它的正定性；（6）确定平衡点渐近稳定性的范围。44详细课资45详细课资46详细课资由于 ，故函数 正定，它是所需要的李雅普诺夫函数。47详细课资（6）当 时，有所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 李雅普诺夫稳定性理论除了有效地分析系统稳定特性外，还在系统的动态特性（如响应快速性）分析，参数优化设计，甚至系统的鲁棒性设计，自适应控制设计等方面得到广泛的应用。 采用变量梯度方法能构造出有效的李雅普诺夫函数并给出系统稳定特性的判别。对于同一个系统，不同的人会通过选择不同的待定量得出不同的李雅普诺夫函数，然而，只要所找到的李雅普诺夫函数满足稳定性判定定理，系统的稳定特性总能得到一致的判别，尽管有时所得出的渐近稳定吸引区会有所不同。 48详细课资