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1、8.6多元函数极值与最值多元函数极值与最值n n一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值n n二、条件极值二、条件极值n n三、最小二乘法三、最小二乘法*1二元函数极值的定义二元函数极值的定义n n设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，对于该邻域内异于对于该邻域内异于(x0,y0)的点的点(x,y) ：若满：若满足不等式足不等式f(x,y)f(x0,y0) ,则称函则称函数在数在(x0,y0)有极小值。有极小值。n n极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.n n使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点 2二元函
2、数极值示例二元函数极值示例n n示例示例示例示例1. 1.(1)n n示例示例示例示例2. 2.(2)n n示例示例示例示例3. 3.(3)3多元函数取极值的必要条件多元函数取极值的必要条件n n定理定理(必要条件必要条件): 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0) 偏导数都存在偏导数都存在,若其在点若其在点(x0,y0)处有极值处有极值,则则它在该点的偏导数必然为零：它在该点的偏导数必然为零：n n证证:n n证证:同样地同样地,多元函数都有类似性质。多元函数都有类似性质。4驻点与极值点驻点与极值点n n仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同同时为零为零的
3、点，均称为函数的驻点的点，均称为函数的驻点.驻点驻点极值点极值点问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：5多元函数取极值的充分条件多元函数取极值的充分条件n n定理定理(充分条件充分条件): 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数,且且 记记则则f(x,y)在点在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：处取得极值的条件如下：（1）时具有极值时具有极值时具有极值时具有极值, , （3）当当当当A0A0A0时有极小值时有极小值时有极小值时有极小值; ;（2）时没有极值时没有极值
4、时没有极值时没有极值; ; ; ;不能确定不能确定不能确定不能确定, ,还需另作讨论。还需另作讨论。还需另作讨论。还需另作讨论。 6多元函数求极值的一般步骤多元函数求极值的一般步骤n n第一步：解方程组第一步：解方程组求出实数解求出实数解,得驻点得驻点;n n第二步：计算二阶偏导第二步：计算二阶偏导n n第三步：对每个驻点第三步：对每个驻点,分别计算分别计算A、B、C;n n第四步：对每个驻点第四步：对每个驻点,确定确定 =B2-AC以及以及A或或C的符号的符号,再判断是否有极值。再判断是否有极值。7例题与讲解例题与讲解n n例例: 求函数求函数z=(2ax-x2)(2by-y2)的极值的极值
5、,其中其中a,b为非零常数。为非零常数。n n解：由极值必要条件：解：由极值必要条件：可解得驻点：可解得驻点：可解得驻点：可解得驻点：( (a a, ,b b),(0,0),(0,2),(0,0),(0,2b b),(2),(2a a,0),(2,0),(2a a,2 ,2b b) )因为：因为：因为：因为：对驻点对驻点对驻点对驻点( (a a, ,b b), ),有有有有由充分条件知由充分条件知由充分条件知由充分条件知, ,点点点点( (a a, ,b b) )为极大值点为极大值点为极大值点为极大值点, ,极大值为极大值为极大值为极大值为z z( (a a, ,b b)=)=a a2 2b
6、b2 2对驻点对驻点对驻点对驻点(0,0),(0,0),有有有有故故故故, ,点点点点(0,0)(0,0)不是极值点。不是极值点。不是极值点。不是极值点。类似可验证类似可验证类似可验证类似可验证, ,点点点点(0,2(0,2b b),(2),(2a a,0),(2,0),(2a a,2 ,2b b) )都不是极都不是极都不是极都不是极值点。值点。值点。值点。8课堂练习课堂练习n n385页页16.（2）9例题与讲解例题与讲解*n n例：求由方程例：求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的确定的隐函数隐函数z=f(x,y)的极值。的极值。n n解：解：故故故故z z= =f f
7、(1,-1)=6(1,-1)=6为极大值为极大值为极大值为极大值. .10多元函数的最值多元函数的最值n n与一元函数相类似与一元函数相类似与一元函数相类似与一元函数相类似, ,我们可以利用函数的极值来求函我们可以利用函数的极值来求函我们可以利用函数的极值来求函我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。数的最大值和最小值。数的最大值和最小值。数的最大值和最小值。n n求最值的一般方法：求最值的一般方法：求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在定义区域将函数在定义区域将函数在定义区域将函数在定义区域D D内所有驻点处的函数值以及内所有驻点处的函数值以及内所有驻点处的函数值以及内所有驻点
8、处的函数值以及在在在在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。大者即为最大值，最小者即为最小值。大者即为最大值，最小者即为最小值。大者即为最大值，最小者即为最小值。n n特殊方法：特殊方法：特殊方法：特殊方法：区域区域区域区域D D内只有唯一驻点且为极值点内只有唯一驻点且为极值点内只有唯一驻点且为极值点内只有唯一驻点且为极值点, ,即为相应的即为相应的即为相应的即为相应的最值点。最值点。最值点。最值点。根据实际意义、实际经验判断是否为最
9、值。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。11例题与讲解（选讲）例题与讲解（选讲）n n例：求二元函数例：求二元函数z=x2y(4-x-y)在直线在直线x+y=6，x轴和轴和y轴所围成闭区域轴所围成闭区域D上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。 n n解：解：先求函数在先求函数在先求函数在先求函数在D D内的驻点，内的驻点，内的驻点，内的驻点，解方程解方程解方程解方程 比较后可知比较后可知比较后可知比较后可知 f f(2,1)=4(2,1)=4为最大值为最大值为最大值为最大值 f f(4,2)=-64(4,2)=-6
10、4为最小值为最小值为最小值为最小值 12例题与讲解（重点）例题与讲解（重点）n n例：某企业生产两种商品的产量分别为例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位单位,利润函数为：利润函数为：L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。，求最大利润。n n解：由极值的必要条件解：由极值的必要条件解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点(40,24).(40,24).由由由由可知可知可知可知, ,唯一驻点唯一驻点唯一驻点唯一驻点(40,24)(40,24)为极大值点为极大值点为极大值点为极大值点, ,亦即最大值点。亦即最大值点。亦即最大值点。亦即最大值点。最大值为：最大值为
11、：最大值为：最大值为：L L(40,24)=1650(40,24)=1650答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为4040单位和单位和单位和单位和2424单位时单位时单位时单位时, ,利润最大利润最大利润最大利润最大, ,最大利润为最大利润为最大利润为最大利润为16501650单位。单位。单位。单位。13例题与讲解例题与讲解n n例：已知某产品的需求函数为例：已知某产品的需求函数为例：已知某产品的需求函数为例：已知某产品的需求函数为Q Q=200000=200000p p-1.5-1.5x x0.10.1y y0.30.3, ,其中其中其中其中QQ为需
12、求量为需求量为需求量为需求量,p,p为价格为价格为价格为价格,x ,x为广告费为广告费为广告费为广告费,y ,y为推销费为推销费为推销费为推销费, ,若若若若产品的可变成本为产品的可变成本为产品的可变成本为产品的可变成本为2525元元元元/ /件件件件, ,固定成本固定成本固定成本固定成本( (不含不含不含不含x,y)x,y)为为为为80008000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。n n解：利润函数为解：利润函数为解：利润函数为解：利润函数为最佳经营时最佳经营时最佳经
13、营时最佳经营时, ,应是总利润最大，故应是总利润最大，故应是总利润最大，故应是总利润最大，故唯一驻点：唯一驻点：唯一驻点：唯一驻点：p p=75=75x x 355554355554y y 14例题与讲解例题与讲解*n n例：求例：求的最大值和最小值。的最大值和最小值。的最大值和最小值。的最大值和最小值。 n n解：解：由由故故故故, ,边界上的值为零边界上的值为零边界上的值为零边界上的值为零; ;而而而而所以所以所以所以, ,最大值为：最大值为：最大值为：最大值为：最小值为：最小值为：最小值为：最小值为：无条件极值：无条件极值：无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除
14、了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，再无其他条件限制。再无其他条件限制。再无其他条件限制。再无其他条件限制。15条件极值条件极值n n条件极值条件极值条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值。：对自变量有附加条件的极值。：对自变量有附加条件的极值。：对自变量有附加条件的极值。n n引例：小王有引例：小王有引例：小王有引例：小王有200200元钱，他决定用来购买两种急需物元钱，他决定用来购买两种急需物元钱，他决定用来购买两种急需物元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带品：计算机磁盘和录音磁带品：计算机磁盘和录音磁带品：计算机磁盘和录音
15、磁带, ,设他购买设他购买设他购买设他购买x x张磁盘张磁盘张磁盘张磁盘, , y y盒盒盒盒录音磁带达到最佳效果录音磁带达到最佳效果录音磁带达到最佳效果录音磁带达到最佳效果, ,效果函数为效果函数为效果函数为效果函数为U U( (x x, ,y y)=ln)=lnx x+ln+lny y。设每张磁盘设每张磁盘设每张磁盘设每张磁盘8 8元元元元, ,每盒磁带每盒磁带每盒磁带每盒磁带1010元元元元, ,问他如何分配这问他如何分配这问他如何分配这问他如何分配这200200元以达到最佳效果。元以达到最佳效果。元以达到最佳效果。元以达到最佳效果。n n问题的实质：求问题的实质：求问题的实质：求问题的
16、实质：求U U( (x x, ,y y)=ln)=lnx x+ln+lny y在条件在条件在条件在条件8x+10y=2008x+10y=200下下下下的极值点。的极值点。的极值点。的极值点。16条件极值的求解思路条件极值的求解思路n n条件极值问题：求条件极值问题：求条件极值问题：求条件极值问题：求z z= =f f( (x x, ,y y) )在条件在条件在条件在条件 ( (x x, ,y y)=0)=0限制下的限制下的限制下的限制下的极值。极值。极值。极值。n n求解思路：将条件求解思路：将条件求解思路：将条件求解思路：将条件 ( (x x, ,y y)=0)=0代入目标函数代入目标函数代
17、入目标函数代入目标函数z z= =f f( (x x, ,y y) )内内内内, ,再对其求无条件极值（注意再对其求无条件极值（注意再对其求无条件极值（注意再对其求无条件极值（注意, ,此时此时此时此时z z= =f f( (x x, ,y y) )内的内的内的内的y y是是是是x x的的的的隐函数）：隐函数）：隐函数）：隐函数）：即即即即令令令令代入代入代入代入, ,得得得得解决上述条件极值问题解决上述条件极值问题解决上述条件极值问题解决上述条件极值问题, ,即为求满足下列条件的即为求满足下列条件的即为求满足下列条件的即为求满足下列条件的( (x x0 0, ,y y0 0) )可看作可看作
18、可看作可看作z z= =f f( (x x, ,y y)+)+( (x x, ,y y) )的的的的无条件极值点无条件极值点无条件极值点无条件极值点( (x x0 0, ,y y0 0, , 0 0) )17拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法n n拉格朗日函数：称拉格朗日函数：称F(x,y, )=f(x,y)+ (x,y)为函数为函数z=f(x,y)在条件在条件 (x,y)=0限制下的条件限制下的条件极值问题的极值问题的拉格朗日函数拉格朗日函数,待定常数待定常数 称拉格称拉格朗日乘数。朗日乘数。n n拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：求条件极值问题时求条件极值问题时,先构造其拉格朗日函先构造其拉格朗日
19、函数数,再求出其拉格朗日函数的无条件极值点再求出其拉格朗日函数的无条件极值点,其中除拉格朗日乘数其中除拉格朗日乘数 以外的坐标值就可能是以外的坐标值就可能是条件极值点的坐标值。条件极值点的坐标值。18拉格朗日乘数法推广示例拉格朗日乘数法推广示例n n拉格朗日乘数法可推广到更多自变量以及更拉格朗日乘数法可推广到更多自变量以及更多条件限制的条件极值情形中。多条件限制的条件极值情形中。n n如：求函数如：求函数u=f(x,y,z,t)在条件在条件 (x,y,z,t)=0和和 (x,y,z,t)=0下的条件极值。下的条件极值。可构造拉格朗日函数：可构造拉格朗日函数：F(x,y,z,t, , )=f(x
20、,y,z,t)+(x,y,z,t)+(x,y,z,t)然后求然后求F(x,y,z,t, , )的无条件极值。的无条件极值。19例题与讲解例题与讲解n n例：将正数例：将正数12分成三个正数分成三个正数x、y、z之和之和,并并使使U=x3y2z最大。最大。n n解：解：则则20例题与讲解例题与讲解n n例：某厂生产例：某厂生产例：某厂生产例：某厂生产A A、B B两产品两产品两产品两产品, ,产量分别为产量分别为产量分别为产量分别为x x和和和和y (y (单位单位单位单位: :千件千件千件千件), ),利润函数为利润函数为利润函数为利润函数为L L=6=6x x- -x x2 2+16+16y
21、 y-4-4y y2 2-2 (-2 (单位单位单位单位: :万元万元万元万元); );已知生产这两产品时已知生产这两产品时已知生产这两产品时已知生产这两产品时, ,每千件消耗某原料每千件消耗某原料每千件消耗某原料每千件消耗某原料20002000公斤公斤公斤公斤, ,现有该原料现有该原料现有该原料现有该原料1200012000公斤公斤公斤公斤, ,问两产品各生产多少问两产品各生产多少问两产品各生产多少问两产品各生产多少, ,总利润总利润总利润总利润最大？最大？最大？最大？n n解：解：解：解：条件极值问题条件极值问题条件极值问题条件极值问题拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数令令令
22、令解得唯一驻点：解得唯一驻点：解得唯一驻点：解得唯一驻点：由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知, ,最大值为最大值为最大值为最大值为答：当答：当答：当答：当A A生产生产生产生产3.83.8千件千件千件千件,B,B生产生产生产生产2.22.2千件时千件时千件时千件时, ,利润最大利润最大利润最大利润最大, ,最最最最大大大大利润为利润为利润为利润为36.7236.72万元。万元。万元。万元。21小结小结n n多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）n n多元函数的最值多元函数的最值n n条件极值（拉格朗日乘数法）条件极值（
23、拉格朗日乘数法）22 课堂练习课堂练习1(条件极值条件极值)n n例：某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种例：某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用产品，若用x代表甲厂的产量，用代表甲厂的产量，用y代表乙厂代表乙厂的产量，其总成本函数为的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XYn n求该公司在生产总量为求该公司在生产总量为30单位时使得总成本单位时使得总成本最低的产量？最低的产量？n n解：目标函数解：目标函数C= X2+3Y2-XYn n约束条件约束条件X+Y=30（即（即X+Y-30=0）23课堂练习课堂练习1(续续)24课堂练习课堂练习2(条件极值条件极值)n n设某种产品的产量是
24、劳动力设某种产品的产量是劳动力x和原料和原料y的函数，的函数，n nf(x,y)=60x y ,若劳动力单价为若劳动力单价为100元，原料元，原料单价为单价为200元，则在投入元，则在投入30000元资金用于生元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？量最多？n n解：目标函数解：目标函数f(x,y)=60x y n n约束条件约束条件 x+2y=300（即（即x+2y-300=0 ）25课堂练习课堂练习2(续续)26练习练习27练习解答练习解答28练习解答练习解答29练习解答练习解答30练习解答练习解答31三、最小二乘法三、最小二乘法n
25、n实际背景：在实际中，经常要研究某一现象实际背景：在实际中，经常要研究某一现象与影响它的某一与影响它的某一最主要最主要 因素因素的统计思想的统计思想n n1：收入对消费的影响；：收入对消费的影响；n n2：施肥量对水稻产量的影响；：施肥量对水稻产量的影响；n n3：广告对销售量的影响；：广告对销售量的影响；n n4：天气对旷课率的影响；：天气对旷课率的影响；n n5：玩游戏对学习成绩的影响；：玩游戏对学习成绩的影响；n n6：能源短缺对矿井坍塌的影响；：能源短缺对矿井坍塌的影响；n n7：连宋大陆行对和平统一的影响：连宋大陆行对和平统一的影响32步骤步骤(一元线性回归模型一元线性回归模型)n
26、n1：收集数据：收集数据：n个样本点个样本点(x1 ,y1),(x2 ,y2), , (x n ,y n). . 即即(x i ,y i),i=1 ,2, ,n.n n2: 散点图散点图scatter33步骤步骤(续续)n n3：观察散点图，变量：观察散点图，变量x, y具有明显的线性关具有明显的线性关系。故经过这些样本点画一条系。故经过这些样本点画一条适当的适当的直线。直线。n nA better procedure is to find the best straight line using a criterion that, for a given set of data, produ
27、ces the same line regardless of the person doing the fitting.34一元线性回归模型一元线性回归模型n ny=y= 0 0+ + 1 1x+x+ n nY Y称为被解释变量，称为被解释变量，称为被解释变量，称为被解释变量，x x称为解释变量称为解释变量称为解释变量称为解释变量n n 表示除表示除表示除表示除x x外，影响外，影响外，影响外，影响y y的其他一切因素的其他一切因素的其他一切因素的其他一切因素. .n n （error, disturbanceerror, disturbance）是不可观测的，称为随机误）是不可观测的，称为
28、随机误）是不可观测的，称为随机误）是不可观测的，称为随机误差项或随机干扰项差项或随机干扰项差项或随机干扰项差项或随机干扰项n ny y与与与与x x之间的关系用两部分来描述之间的关系用两部分来描述之间的关系用两部分来描述之间的关系用两部分来描述: :n na. a. 一部分一部分一部分一部分 0 0+ + 1 1x x ，由，由，由，由x x的变化引起的变化引起的变化引起的变化引起y y变化变化变化变化n nb.b.另一部分另一部分另一部分另一部分 ， 由除由除由除由除x x外的其他一切因素引起外的其他一切因素引起外的其他一切因素引起外的其他一切因素引起y y变化变化变化变化n n 1 1称为
29、回归系数称为回归系数称为回归系数称为回归系数(slope) (slope) n n 0 0 称为回归常数（称为回归常数（称为回归常数（称为回归常数（interceptintercept）35OLSEn n参数参数 0 ， 1的估计的估计n n方法：普通最小二乘估计方法：普通最小二乘估计 OLSE (ordinary least square estimation )n n目的：利用样本数据得到目的：利用样本数据得到 0 , 1的理想估计值的理想估计值n n原则：使原则：使n个样本点最靠近回归直线个样本点最靠近回归直线n n例：随机抽样某地区例：随机抽样某地区5个家庭的年收入个家庭的年收入x与年
30、与年消费消费y（千元）的资料如表：（千元）的资料如表：收入收入收入收入x x8 811119 9 6 66 6消费消费消费消费y y7.47.49.89.8 8 8 5.35.3 5.75.736散点图散点图37直观意义直观意义n n要使样本点最靠近回归直线，考虑观测值要使样本点最靠近回归直线，考虑观测值y i 与回归值（即平均值）与回归值（即平均值）E(y i |xi)= 0+ 1xi的离的离差的平方和差的平方和n n思考思考: :为什么不考虑为什么不考虑(y i - E( y i )，n n及及|y i E(y i )|?38最小二乘法名称的由来最小二乘法名称的由来n n样本点最靠近回归直
31、线，就是使离差平方和样本点最靠近回归直线，就是使离差平方和最小。最小。39续续n n所谓的最小二乘法，就是寻找参数所谓的最小二乘法，就是寻找参数 0， 1的估的估计值，使定义的离差平方和达到极小计值，使定义的离差平方和达到极小40最小二乘估计公式的推导最小二乘估计公式的推导利用二元微积分求极值的知识知：利用二元微积分求极值的知识知： 作为作为极值问题解的必要条件是：在极值问题解的必要条件是：在 取值时，取值时，Q( 0， 1)关于关于 0， 1的偏导数必须为的偏导数必须为0：以上方程组称为以上方程组称为first order conditions(FOC)41推导推导(续续)n n利用克莱姆法则，得出普通最小二乘估计利用克莱姆法则，得出普通最小二乘估计（OLSE: ordinary least square estimators）正则方程正则方程Normal equations:42用用excel计算计算Excel 1:用用average,devsq函数一步一步的操作函数一步一步的操作得到估计值得到估计值Excel 2:用用slope,intercept,linest直接求直接求具体操作见具体操作见excel43
