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1、7-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系二、电势能、电势差和电势二、电势能、电势差和电势*五、电势与电场强度的关系五、电势与电场强度的关系四、等势面四、等势面三、电势的计算三、电势的计算一、一、 静电场属于保守场静电场属于保守场1一、一、静电场属于保守场静电场属于保守场 (conservative field) 点电荷点电荷q0从从P 经任意路径到经任意路径到Q点，点，电场所作的功为电场所作的功为 rQPQcrp 在点电荷在点电荷q的场中移动试探电荷的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功求电场力作的功 ：电场力所做的功只与始点和电场力所做的功只与始点和终点的位置有关。终点的位置
2、有关。2 任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，由场任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理可得到电场强度强叠加原理可得到电场强度 ， 试探电荷试探电荷q0从从P移动到移动到Q电场力作的功为电场力作的功为 任任何何静静电电场场中中，电电荷荷运运动动时时电电场场力力所所作作的的功功只只与与起起始始和和终终点点的的位位置置有有关关，而而与与路路径径无无关关。所所以以说说静静电电场场是保守场是保守场 。点电荷的静电场力所作的功与积分路径无关。点电荷的静电场力所作的功与积分路径无关。3 在在静静电电场场中中，场场强强沿沿任任意意闭闭合合路路径径的的环环路路积积分分等等于零。称为静电
3、场的环路定理。于零。称为静电场的环路定理。AcBD因为保守力的数学形式为因为保守力的数学形式为可以证明在静电场中有可以证明在静电场中有 环环路路定定理理的的意意义义：静静电电场场是是保保守守场场( (无无旋旋场场) )；静静电电场场力力是是保保守守力力，作作功功与与路路径径无无关关；环环路路定定理理要要求求电场线电场线( (场强线场强线) )不能闭合。不能闭合。 静电场中电场强度沿任意闭合路径的线积分静电场中电场强度沿任意闭合路径的线积分(称称为为 的环流的环流)= 0。4不是静电场不是静电场abcd电场线平行但不均匀分布是否可能？电场线平行但不均匀分布是否可能？静电场的静电场的线？线？思考思
4、考5二、电势能、电势差和电势二、电势能、电势差和电势 静电场是保守场，可引入仅与位置静电场是保守场，可引入仅与位置有关的电势能概念。有关的电势能概念。 用用WP和和WQ分别表示试探电荷分别表示试探电荷q0在电场中在电场中P点和点和Q点的电势能，则电场力对试探电荷点的电势能，则电场力对试探电荷q0所作的功可以所作的功可以表示为表示为 如如果果电电场场力力作作正正功功，APQ0，则则WPWQ，表表示示q0从从点点P移移到到点点Q电电势势能能是是减减小小的的；如如果果电电场场力力作作负负功功，即即外外力力克克服服电电场场力力作作功功，APQ0，则则WPWQ，表表示示q0从从点点P移移到到点点Q电电势
5、势能能是是增加的。增加的。 6 电电场场中中P、Q两两点点间间的的电电势势差差就就是是单单位位正正电电荷荷在在这这两两点点的的电电势势能能之之差差，等等于于单单位位正正电电荷荷从从点点P移移到到点点Q电场力所作的功。电场力所作的功。电势差也称为电压。电势差也称为电压。 由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在P、Q两点的状况所决定，故可把两点的状况所决定，故可把(WP/q0)(WQ/q0)称称为电场中为电场中P、Q两点的电势差，并用两点的电势差，并用VP VQ来表示，来表示， 于是有于是有 实实际际中中为为了了确确定定q0在在电电场场中中一一点点
6、的的电电势势能能，必必须须选择一个电势能为零的参考点。选择一个电势能为零的参考点。7 我们把我们把VP 和和VQ 称为点称为点P 和点和点Q 的的电势，显然它们电势，显然它们分别等于单位正电荷在点分别等于单位正电荷在点P和点和点Q的电势能。的电势能。 为为确确定定某某点点电电势势，应应选选择择一一个个电电势势为为零零的的参参考考点点。当当电电荷荷分分布布在在有有限限空空间间时时，可可选选择择无无限限远远处处的的电电势势为为零零。在在实实际际问问题题中中，常常选选择择大大地地电电势势为为零零。电电势势能能零零点的选择与电势零点的选择是一致的。点的选择与电势零点的选择是一致的。 电场中某点电场中某
7、点P 的电势，等于把单的电势，等于把单位正电荷从位正电荷从P 点经任意路径移动到点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。无限远处时，静电场力所作的功。 电势电势(electric potential)是标量，单位为是标量，单位为V（伏特）（伏特） 也称为焦耳也称为焦耳/库仑，即库仑，即1V=1J/C8三、电势三、电势(electric potential )的计算的计算 1. 点电荷产生的电场中的电势分布点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。可用场强分布和电势的定义直接积分。 负点电荷周围的场电势为负，负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电势越高。离电荷越远
8、，电势越高。正点电荷周围的场电势为正，正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电势越低。离电荷越远，电势越低。92. 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势 空间有空间有n个点电荷个点电荷q1、q2、qn ，求任意一点，求任意一点P的电势。由于点的电势。由于点P的电场强度等于各个点电荷单独的电场强度等于各个点电荷单独在点在点P产生的电场强度的矢量之和，所以点产生的电场强度的矢量之和，所以点P的电势的电势可以用可以用电势的叠加原理电势的叠加原理表示表示 在多个点电荷产生的电场中，任一点的电势等于在多个点电荷产生的电场中，任一点的电势等于各个点电荷单独在该点所产
9、生的电势的代数和。各个点电荷单独在该点所产生的电势的代数和。10体密度为体密度为的带电体的带电体面密度为面密度为的带电体的带电体线密度为线密度为的带电体的带电体 可以把带电体看作是很多很小电可以把带电体看作是很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生荷元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点的电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和，即产生电势的代数和，即P 3. 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势在任意带电体产生的电场中任意一点的电势 11四、四、 等势面等势面 (equipotential surface ) 将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲将电场中电势
10、相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。等势面处外与电场线正交。等势面处外与电场线正交。因为将单位正电荷从等势面上因为将单位正电荷从等势面上M点移到点移到N点，点，电场力做功为零，而路径不为零，即电场力做功为零，而路径不为零，即等势面的性质：等势面的性质：电荷沿等势面移动，电场力不作功。电荷沿等势面移动，电场力不作功。正电荷等势面正电荷等势面12 规定规定两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等，所以，所以等势面等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方
11、，场强较小。场强较小。正电荷的场正电荷的场负电荷的场负电荷的场均匀电场均匀电场13*五、五、 电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系 电场强度在任意方向的分电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向的变量，等于电势沿该方向的变化率的负值。化率的负值。 dV = E dl cos 设电荷设电荷q0在场强为在场强为 的电场中作位移的电场中作位移 ，在，在 的范围内可的范围内可以认为电场是匀强的。若以认为电场是匀强的。若q0完成位移完成位移 后，电势增高了后，电势增高了dV，则其电势能的增量为则其电势能的增量为q0dV， 这时电场力必定作负功，有这时电场力必定作负功，有 式式中中 是是电电场场强强
12、度度 与与位位移移 之之间间的的夹夹角角。等等号号左左边边Ecos 就就是是 在在位位移移 方方向向的的分分量量，用用 表表示示；等等号号右右边边是是V沿沿 方方向向的的方方向向微微商商，负负号号表表示示 指指向向电电势势降降低低的方向。于是可以写为的方向。于是可以写为14电势梯度电势梯度 是一个矢量，是一个矢量，它的方向是该点它的方向是该点附近电势升高最快的方向。附近电势升高最快的方向。在直角坐标系中在直角坐标系中定义：定义：称称 为为 沿沿 方向的方向的梯度梯度(gradient)15 结论：结论：电势梯度是一个矢量，它的大小等于电电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化
13、率，它的方向沿着电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势增大的方向。势增大的方向。电场强度矢量必定电场强度矢量必定可以表示为可以表示为 电电势势梯梯度度的的物物理理意意义义：图图中中所所画画曲曲面面是是等等势势面面，其其法法线线方方向向单单位位矢矢量量用用 表表示，指向电势增大的方向。电场强度示，指向电势增大的方向。电场强度的的方方向向沿沿着着 的的反反方方向向。根根据据前前式式，电电场强度的大小可以表示为场强度的大小可以表示为 16 例例1 求半径为求半径为R均匀带电球面的电势分布。已知均匀带电球面的电势分布。已知球面总带电量为球面总带电量为q。解解 设无限远处为零电势，设无限远处为零
14、电势，由高斯定理知由高斯定理知, 在在r R 的球外空间电场分布为的球外空间电场分布为 (1) 球内任一点的电势为球内任一点的电势为 ErRqr17 带电球壳是个等势体。带电球壳是个等势体。在球面处场强不连续，在球面处场强不连续，而电势是连续的。而电势是连续的。VrRqrV1V2(2) 球外任意点的电势球外任意点的电势 18 例例1 无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线 rr00 0r0 选选例例2 电偶极子电势电偶极子电势19电偶极子电势：电偶极子电势： r Pp 点电荷的电势点电荷的电势20例：半径为R，带电q的圆环，求轴线上任意一点P的电势21例例 半径为半径为R ，带电量为，带电量为q 的均匀带电球体。的均匀带电球体。解解根据高斯定律可得根据高斯定律可得求求带电球体的电势分布带电球体的电势分布+RrP对球外一点对球外一点P 对球内一点对球内一点P1 P122
