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1、结束第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式1. 1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩阵阵A A、回路矩阵、回路矩阵B B、割集矩阵、割集矩阵QQ；2. 2. 掌握复合支路的概念；掌握复合支路的概念；3. 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程；点电压方程和割集电压方程；重点重点难点难点割集电压方程的列写。1 1结束15- -1 割集割集1. 1. 定义定义 连通图连通图GG的一个割集是的一个割集是GG的的一个支路集合，如果一个支路集合，如果把这些支路移去，将使把这些支路移去，将使G
2、(G(恰恰好好) )分离为两个部分，分离为两个部分，但是少移去其中一条支路，但是少移去其中一条支路，GG将仍是连通的。将仍是连通的。F( (a a，d d，f f ) )这个支路集合就这个支路集合就是是GG的一个割集。的一个割集。adfbceQ1adfbceQ2Q3Q4(a，b，e )(b，c，f )(c，d，e )显然，对右图，汇集于同一结点的支路都是G的一个割集。2 2结束全移，全移，全移，全移，GG一分为一分为一分为一分为二二二二；少移；少移；少移；少移一一一一条，条，条，条， GG连通。连通。连通。连通。( (b, d, e, f b, d, e, f ) )是是( (a, d, e,
3、 f a, d, e, f ) )不是不是GG的割集！的割集！Q5adfbceadfbceQ6Q7adfbceadfbceQ8(a, e, c, f )是 (a, b, c, d ) 也是原因：少移去原因：少移去e e，GG仍为两部分。仍为两部分。3 3结束( (a, b, c, d ,e a, b, c, d ,e ) )不是不是不是不是GG的割集！的割集！的割集！的割集！原因：全移原因：全移，GG被分为三部分。被分为三部分。2. 2. 割集的判断与确定割集的判断与确定 直观方便的方法是直观方便的方法是闭合面加定义。闭合面加定义。adfbceQ9注意：有些割集可能不易用与闭合面相切割的方法表
4、示。abecdf无法作闭合面判断割集(a, b, c, d)。Qabcde与Q相切割的支路集合(a, b, e) 不是割集。4 4结束3. 3. 独立割集和基本割集独立割集和基本割集独立割集和基本割集独立割集和基本割集KCLKCL适用于任一闭合面。适用于任一闭合面。属同一割集的所有支路电属同一割集的所有支路电流也满足流也满足KCLKCL。对于一个连通图对于一个连通图 GG，总，总可以列出与割集数量相可以列出与割集数量相等的等的KCLKCL方程。但它们方程。但它们不一定线性独立。不一定线性独立。(1)(1)独立割集独立割集 与一组线性独立的与一组线性独立的KCLKCL方程相对应的割集，称方程相对
5、应的割集，称为独立割集。为独立割集。abecdfQ1Q2Q3Q4当割集的所有支路连接于同一结点时，割集的KCL变为结点的KCL。对较大规模的电路，用观察法选择一组独立割集是困难的。借助于树，就比较方便。5 5结束(2)(2)独立割集的确定独立割集的确定独立割集的确定独立割集的确定选一个树，一条树支选一个树，一条树支与相应的连支可以构与相应的连支可以构成一个割集。成一个割集。由一条树支与相应的连由一条树支与相应的连支构成的割集叫单树支支构成的割集叫单树支割集。割集。对于具有对于具有n n个结点个结点b b条支条支路的连通图，树支数为路的连通图，树支数为( (n n- -1)1)条。条。这这( (
6、n n- -1)1)个单树支割集称个单树支割集称为基本割集组。为基本割集组。btl1l2l3Q独立割集组不一定是单树支割集。就象独立回路不一定是单连支回路一样。而基本割集组是独立割集组。6 6结束树支为树支为树支为树支为2,3,4,62,3,4,6时的基本割集组时的基本割集组时的基本割集组时的基本割集组 树支为树支为5,6,7,85,6,7,8时的基时的基本割集本割集组。组。12345678Q1Q1 (1,2,5,7,8)12345678Q2Q2 (1,3,5,8)12345678Q3Q3 (1,4,5)Q4Q4 (5,6,7,8)12345678Q1Q2Q3Q4同一个图，有许多不同的树，因此
7、能选出许多不同的基本割集组。7 7结束1515- - - -2 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩关联矩阵、回路矩阵、割集矩关联矩阵、回路矩阵、割集矩关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵阵阵阵1. 1. 关联矩阵的特点关联矩阵的特点 描述结点与支路关联的矩阵。描述结点与支路关联的矩阵。 是一个是一个( (n n b b) )阶的矩阵。阶的矩阵。Aa=12341 2 3 4 5 6-1 -1 +1 0 0 00 0 -1-1 0 +11i12i23i34i45i5i66+1 0 0 +1 +1 00 +1 0 0 -1-1(1)Aa的元素定义ajk= +1，支路k与结点j关联，且方向背离结点；ajk= -
8、-1，支路k与结点j关联，且方向指向结点；ajk= 0，支路k与结点j无关联。8 8结束(2)(2)降阶关联矩阵降阶关联矩阵降阶关联矩阵降阶关联矩阵AA划去Aa中任意一行所得到的(n-1)b阶矩阵。A =12341 2 3 4 5 6-1 -1 +1 0 0 00 0 -1-1 0 +1+1 0 0 +1 +1 00 +1 0 0 -1-11i12i23i34i45i5i66被划去的行对应的结点可以当作参考结点。 a 提示给定A可以确定 Aa，从而画出有向图。 若以结点 4 为参考结点，把式中的第 4 行划去，得 A9 9结束(3)(3)用用用用AA表示表示表示表示KCLKCL的矩阵形式的矩阵
9、形式的矩阵形式的矩阵形式b b(=6)(=6)条支路电流可以用列向量表示条支路电流可以用列向量表示i i = = i i1 1, , i i2 2 , , , , i i6 6 T TAi Ai = =A =-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 -1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 i1 i2 i6 =-i1 i2 +i3-i3 i4 +i6+i1 +i4 +i5=000Ai =结点1的KCL结点(n-1)的KCL结点2的KCL Ai =01i12i23i34i45i5i661010结束(4
10、)(4)用用用用AA表示表示表示表示KVLKVL的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式以以b b(=6)(=6)阶列向量表示支路电压：阶列向量表示支路电压：u u = = u u1 1, , u u2 2 , , , , u u6 6 T T并取某一结点并取某一结点( (取取) )为参考，为参考， ( (n n- -1=3) 1=3) 个结点电压的列向量：个结点电压的列向量：u un n = = u un n1 1, , u un n2 2 , , u un n3 3 T T结点电压与支路电压之间的关系为结点电压与支路电压之间的关系为u u = = A AT Tu un nu1u2u3u4u
11、5u6=1i12i23i34i45i5i66-un1+ un3-un1 un1-un2-un2 + un3 un3un2=un1un2un3-1 0 1-1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 0 1 0AT可以认为，这是用A表示KVL的矩阵形式。1111结束小结小结小结小结 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =01212结束2. 2. 回路矩阵回路矩阵回路矩阵回路矩阵 描述回路与支路关联的矩阵。描述回路与支路关联的矩阵。 是一个是一个( (l l b b) )阶的矩阵。阶的矩阵
12、。(1)(1)B B 的元素定义的元素定义 b bjk jk= = + +1 1，支路，支路k k与回路与回路j j关联，且方向一致；关联，且方向一致； b bjk jk= = - - - -1 1，支路，支路k k与回路与回路j j关联，且方向相反；关联，且方向相反； b bjk jk= 0= 0，支路，支路k k与回路与回路j j无关联。无关联。1231 2 3 4 5 611234560 10 -1 10 1 10 0 10 0 01 -1 1B =1313结束(2)(2)基本回路矩阵基本回路矩阵基本回路矩阵基本回路矩阵BBf f B Bf f 反映了一组单连支回路与反映了一组单连支回路
13、与支路间的关联关系。支路间的关联关系。写写B Bf f时的排列顺序：时的排列顺序： 先连支后树支。先连支后树支。 B Bf f = 1= 1l l B Bt t (3)(3)用用B B表示的表示的KVLKVL矩阵形式矩阵形式：u u1 1+ +u u3 3 - -u u5 5 + +u u6 6= 0= 0：u u2 2+ + u u3 3+ +u u6 6= 0= 0：u u4 4- -u u5 5 + +u u6 6= 0= 01234561231 2 4 3 5 61 00 1 -1 10 10 1 0 10 01 0 -1 1Bf =Bu = 01 0 1 0 1 10 1 1 0 0
14、 10 0 0 1 1 1u1u2u3u4u5u6=0001414结束(4)(4)用用用用BB表示的表示的表示的表示的KCLKCL矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式 若用列向量表示若用列向量表示 l l(=3) (=3) 个独立回个独立回路电流：路电流：i il l = = i il l1 1 i il l2 2 i ill ll T T 则支路电流与回路电流之间的则支路电流与回路电流之间的关系可以表示为关系可以表示为i = Bi = BT Ti il l 可以认为是用可以认为是用B B 表示表示KCLKCL的的矩阵形式。矩阵形式。123456i1i2i3i4i5i6=il1il2il3 1 0
15、 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1-1 0 -1 1 1 1 ii1il2il1+il2il3 -il1-il3il1+il2 +il3=1515结束3. 3. 割集矩阵割集矩阵割集矩阵割集矩阵QQ描述割集与支路关联的矩阵。描述割集与支路关联的矩阵。QQ是一个是一个( (n n- -1)1)b b阶的矩阵。各元素定义为：阶的矩阵。各元素定义为： q qjk jk= = + +1 1，支路，支路k k与割集与割集j j关联，且方向一致；关联，且方向一致； q qjk jk= = - - - -1 1，支路，支路k k与割集与割集j j关联，且方向相反；关联，且方向相反； q qjk jk=
16、 0= 0，支路，支路k k与割集与割集j j无关联。无关联。若选单树支割集为一组独立割集，若选单树支割集为一组独立割集，则则得到得到基本割集矩阵基本割集矩阵QQf f。排列顺序为先树支后连支。排列顺序为先树支后连支。1234561231 2 3 4 5 6Q1-1 -1 1 0 001 0 0 1 1 0-1 -1 0 -10 1Q2Q3Qf = 1t Ql Q =1616结束(1)(1)用用用用割集矩阵割集矩阵割集矩阵割集矩阵QQ表示的表示的表示的表示的 KCLKCL的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式 因属同一割集的所有支路因属同一割集的所有支路的电流也满足的电流也满足KCLKCL，
17、所以，所以Q iQ i = = 0 0123456Q1Q2Q3-1 -1 1 0 001 0 0 1 1 0-1 -1 0 -10 1i1i2i3i4i5i6=-i1 i2 +i3i1 +i4 +i5-i1 -i2 -i4 +i6=000Qf = 1t Ql =100010001-11 -1-10 -101 -13 5 6 1 2 4Q1Q2Q31717结束(2)(2)用基本割集矩阵用基本割集矩阵用基本割集矩阵用基本割集矩阵QQf f表示表示表示表示KVLKVL的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式的矩阵形式式中式中 u ut t =u ut t1 1 u ut t2 2 u ut t(n(n- -1
18、)1) T T 为树支电压列向量。为树支电压列向量。 对右图：对右图：u ut t =u ut t1 1 u ut t2 2 u ut t3 3 T T u u = = u u3 3 u u5 5 u u6 6 u u1 1 u u2 2 u u4 4 T Tu = Qf utT123456Q1Q2Q3u =100-1-10010101001-1-1 -1ut1ut2ut3= ut1 ut2 ut3-ut1+ut2 -ut3-ut1-ut3 ut2-ut3 =u3=u5=u6=u1=u2=u4当选单树支割集为独立割集时，树支电压可视为割集电压。树支电压(割集电压)也是一组完备的独立变量，支路电
19、压可以用树支电压表示。1818结束*15*15- - - -3 3 矩阵矩阵矩阵矩阵AA、BBf f 、QQf f之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系2. 2. 对任一图对任一图GG，当，当A A、B B、Q Q 的列按相同的支的列按相同的支路编号排列时：路编号排列时： A AB BT T = 0 = 0 或或 B BA AT T = 0= 0 Q QB BT T = 0 = 0 或或 B BQQT T = 0 = 0 3.3. 若若A A、B Bf f、QQf f 对应同一个树，且支路编号按对应同一个树，且支路编号按先树支后连支的相同顺序排列写出。先树支后连支的相同顺序排列写出。 则有：
20、则有：TBtQl = - = -At Al-1TBt= At Al-11. A i = 0 Q i = 0u = A unTu = Qf utT在形式上相似。所以对某些图G有 Qf = A1919结束1515- - - -4 4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式一、复合支路一、复合支路 既含阻抗既含阻抗( (导纳导纳) )，又有电源。，又有电源。(1)(1)支路阻抗支路阻抗Z Zk k是单一的是单一的R R或或L L或或C C，但不是它们的组合；，但不是它们的组合；(2)(2)可以缺少某种元件。但不许可以缺少某种元件。但不许存在无伴电流源
21、支路。存在无伴电流源支路。二、支路方程的矩阵形式二、支路方程的矩阵形式情况情况1 1 电路无互感电路无互感Zk-+ .Usk .Isk .Iek .Ik-+ .Uk .Uk= Zk .(Ik+ .ISk) .-USk式中各量为第 k 条支路的阻抗、独立电流源和独立电压源。无独立源时将其置零。设 .I = .I1 .I2 .IbT .U = .U1 .U2 .UbT .IS = .IS1 .IS2 .ISbT .US = .US1 .US2 .USbT则 .U = Z .(I + .IS) .- -US避免造成计算困难。2020结束Z Z称为支路阻抗矩阵称为支路阻抗矩阵称为支路阻抗矩阵称为支路阻
22、抗矩阵， Z Z是对角是对角是对角是对角矩阵，对角元素是各支路阻抗。矩阵，对角元素是各支路阻抗。矩阵，对角元素是各支路阻抗。矩阵，对角元素是各支路阻抗。情况情况2 2 电路有互感电路有互感 设在设在b b条支路中，条支路中，1 1g g支路之间相互有耦合，则有支路之间相互有耦合，则有( (g+g+1)1)b b支路之间无耦合，关系式同情况支路之间无耦合，关系式同情况1 1。 .U = Z .(I + .IS) .- -USZ1 Z2.Zb00Z = .U1= Z1 .Ie1jwM12 .Ie2jwM13 .Ie3 jwM1g .Ieg .-US1 .U2=jwM21 .Ie1+Z2 .Ie2j
23、wM23 .Ie3 jwM2g .Ieg .-US2 .Ug=jwMg1 .Ie1jwMg2 .Ie2jwMg3 .Ie3 .-USg+Zg .Ieg .Ie1= .I1+ .IS1， .Ie2= .I2+ .IS2， ；M12= M21， 。2121结束有互感和无互感，方有互感和无互感，方有互感和无互感，方有互感和无互感，方程形式相同。程形式相同。程形式相同。程形式相同。 有互感时，有互感时，Z Z 不再是对不再是对角阵。非对角线元素将角阵。非对角线元素将含互感阻抗，其正负号含互感阻抗，其正负号根据同名端确定。根据同名端确定。=- .U = Z .(I + .IS) .- -US .U1 .
24、U2 .Ug .Ug+1 .UbZ1jwM12jwM1g00jwM21Z2 jwM2g00jwMg1jwMg2Zg00000Zg+100000Zb . .I1+ IS! . .I2+ IS2 . .Ig+ ISg . .Ig+1+ IS(g+1) . .Ib+ ISb .US1 .US2 .USg .US(g+1) .USb2222结束情况情况情况情况3 3 含受控电压源的复合支路含受控电压源的复合支路含受控电压源的复合支路含受控电压源的复合支路受控电压源与无源元件受控电压源与无源元件串联，控制量可以是其串联，控制量可以是其它支路无源元件的电压它支路无源元件的电压或电流。或电流。在第十章，我们
25、曾用受控源替代法分析过含有互感在第十章，我们曾用受控源替代法分析过含有互感的电路。所以当支路含受控电压源时，的电路。所以当支路含受控电压源时，可以仿照含可以仿照含互感的方法处理互感的方法处理。但互感是成对出现的，而受控源可以单个出现。但互感是成对出现的，而受控源可以单个出现。Z Z的非对角线元素将含有与控制系数有关的元素。的非对角线元素将含有与控制系数有关的元素。其正负号的确定：控制量、被控量与复合支路的参其正负号的确定：控制量、被控量与复合支路的参考方向都一致考方向都一致( (或都相反或都相反) )时取时取“ “+”+”，否则取，否则取“ “- -” ”。Zk-+ .Usk .Isk .Ik
26、-+ .Uk+- .Udk .U = Z .(I + .IS) .- -US支路方程的矩阵形式仍然是：2323结束三、回路电流方程的矩阵形式三、回路电流方程的矩阵形式三、回路电流方程的矩阵形式三、回路电流方程的矩阵形式用用B B表示的表示的KVLKVL：令令 Z Zl l = = BZBBZBT T ，则，则 Z Zl l 称为称为回路阻抗矩阵。回路阻抗矩阵。 Z Zl l的主对角线元素为的主对角线元素为自自阻抗；阻抗； 非对角线元素为非对角线元素为互互阻抗。阻抗。 .BU = 0 .U = Z .(I + .IS) .- -US将支路方程代入得：BZ .I .- -BUS = 0+BZ .I
27、S 用B表示的KCL： .I = BT .Il 代入上式得回路电流方程的矩阵形式为：BZBT .I = .BUS -BZ .IS BZBT是 l 阶方阵。 .BUS 和BZ都是l 阶列向量。2424结束四、回路电流方程的编写步骤四、回路电流方程的编写步骤四、回路电流方程的编写步骤四、回路电流方程的编写步骤 P401P401例例例例1515- - - -1 1解：解：(1)(1)作有向图，选树；作有向图，选树；(2)(2)画基本回路电流，参考画基本回路电流，参考方向同连支电流；方向同连支电流；R1-+ .US2 .IS1jwL4R2jwL3jwC5112345(3)写基本回路矩阵B、支路阻抗矩阵
28、和电压、电流列向量；B = -1 0 1 0 1 0 1 0 1 -1 Z = diag R1, R2 , jwL3 , jwL4 ,jwC51 .US = 0 -US2 0 0 0T. . .IS = IS1 0 0 0 0T2525结束(4) (4) 求回路阻抗矩阵求回路阻抗矩阵求回路阻抗矩阵求回路阻抗矩阵Z Zl l = =BZBBZBT T(5)(5)并计算整理便得回路电流方程的矩阵形式。并计算整理便得回路电流方程的矩阵形式。Zl =BZBTZl .I = .BUS -BZ .IS 将Zl 、 .US 、 . IS 代入式=-1 0 1 0 10 1 0 1 -1R1R2jwL3jwL
29、4jwC51-101010101-1R1+ jwL3+jwC51jwC51-jwC51-R2+ jwL4+jwC51 .Il1 .Il2= .R1IS1 .-US2计算得2626结束1515- - - -5 5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式一、复合支路及其方程的矩阵形式一、复合支路及其方程的矩阵形式情况情况1 1 无受控电流源、无耦合电感无受控电流源、无耦合电感Yk-+ .Usk .Isk .Iek .Ik-+ .Uk .Idk与回路法定义的复合支路相比，增加了受控电流源。但不许存在受控电压源；也不许存在无伴电压源。对第 k 条支路有
30、 .Ik= Yk .(Uk+ .USk) .-ISk对整个电路有 .I = Y .(U+ .US) .- -ISY 称为支路导纳矩阵。Y 是一个对角矩阵，对角线元素为各支路导纳。2727结束情况情况情况情况2 2 无受控电流源、无受控电流源、无受控电流源、无受控电流源、有耦合电感有耦合电感有耦合电感有耦合电感相当于回路法的情况相当于回路法的情况2 2：VCRVCR的矩阵形式与情况的矩阵形式与情况1 1相同。相同。差别只是差别只是 Y Y 不再是对角阵。不再是对角阵。Yk-+ .Usk .Isk .Iek .Ik-+ .Uk .U = Z .(I + .IS) .- -US电路有耦合电感时，支路
31、阻抗 Z 不是对角阵，在 Z 的非主对角线元素中将含有互感阻抗。利用上式可求得 .Y U = .I + .IS .- -YUS .I = Y .(U .+US) .- - ISY= Z-1是支路导纳矩阵。2828结束 情况情况情况情况3 3 有受控电流源有受控电流源有受控电流源有受控电流源 设：第设：第k k条支路受控源受第条支路受控源受第 j j条支路电流条支路电流( (或电压或电压) )控制。控制。Yk-+ .Usk .Isk .Ik-+ .Uk .IdkYj-+ .Usj .Isj .Iej .Ij-+ .Uj+- .Uej . .Idk = gkj Uej或 . .Idk = bkj
32、Iej因为 . .Iej = Yj Uej . .Idk = bkj Yj Uej所以无论是流控还是压控，均化成VCCS，且控制系数用Ykj 表示： Ykj =gkjbkj Yj第k条支路方程为： .Ik= Yk .(Uk+ .USk) .+Idk .-ISk .Ik= Yk .(Uk+ .USk) +Ykj .(Uj .+Usj) .-ISk . Idk =Ykj .Uej= Ykj ( .Uj+ .USj )注意它们在复合支路中的方向。2929结束支路方程的形式同情况支路方程的形式同情况支路方程的形式同情况支路方程的形式同情况1 1。导纳矩阵导纳矩阵Y Y不是对角阵，不是对角阵，非主对角线
33、包含与控制系数有非主对角线包含与控制系数有关的元素，可以单个出现。关的元素，可以单个出现。 .Ik= Yk .(Uk+ .USk) .(Uj+Ykj .+Usj) .-ISk .Ij .Ik0Ykj .I = Y .(U .+US) .- - ISk行j列对 b 条支路有 .I1 .I2 .Ib=Y1Y2. . .Yj. . .Yk. . .Yb000000000 .U1+ .US1 .U2+ .US2 .Uj+ .USj .Uk+ .USk .Ub+ .USb- .ISj .ISk .IS1 .IS2 .ISb(在情况2中则是成对出现)。3030结束二、结点方程的矩阵形式二、结点方程的矩阵形
34、式二、结点方程的矩阵形式二、结点方程的矩阵形式描述结点与支路关联的矩阵是描述结点与支路关联的矩阵是A A 。用用A A表示的表示的KCLKCL：用用A A表示的表示的KVLKVL： .A I = 0 ， . .U = AT Un支路方程： .I = Y .(U .+US) .- - IS用结点电压表示支路电流 .I = YAT .Un .+YUS .- - IS代入用A表示的KCL得 AYAT .Un .+AYUS .- - AIS = 0结点方程的矩阵形式为 AYAT .Un . = AIS .-AYUS令 Yn = AYAT , .Jn . = AIS .-AYUS则结点方程可以写为 Yn
35、 .Un . = JnYn称为结点导纳矩阵。 .Jn是由独立源引起的注入结点的电流列向量。3131结束三、结点电压方程的编写步骤三、结点电压方程的编写步骤三、结点电压方程的编写步骤三、结点电压方程的编写步骤 P405P405例例例例1515- - - -2 2(1)(1)作有向图，选参考结点；作有向图，选参考结点；(2)(2)写关联矩阵写关联矩阵A A、独立电源、独立电源列相量和支路导纳矩阵；列相量和支路导纳矩阵；L1R5R4iS4L2R3C6iS3123456A = 1 0 1 1 0 0-1 1 0 0 0 1 0 -1 0 -1 1 0 .Us = 0, . . . Is = 0 0 I
36、S3 IS4 0 0 TjwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag , , , , , AYAT .Un . = AIS .-AYUS(3)求AYAT并代入得到 AYAT .Un . = AIS 3232结束观察观察观察观察结点导纳矩阵结点导纳矩阵结点导纳矩阵结点导纳矩阵发现发现发现发现 主对角线元素为自导纳，主对角线元素为自导纳，其余为互导纳。其余为互导纳。 相当于第三章所列结点方相当于第三章所列结点方程等号左边的系数。程等号左边的系数。独立源列向量为注入结点的电流独立源列向量为注入结点的电流( (等号右边的常数等号右边的常数) )。 .Un1 .Un2 .Un3 .IS3+
37、 .IS4 =0 .-IS4 AYAT .Un .AIS L1R5R4iS4L2R3C6iS3R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL213333结束P406P406例例例例1515- - - -3 3 设设设设写支路方程的矩阵形式。写支路方程的矩阵形式。控制量、被控量与复合支路的参考方向控制量、被控量与复合支路的参考方向都一致都一致( (或都相反或都相反) )时取时取“ “+”+”，否则取，否则取“ “- -” ”。 . .Id2= g21U1 , . .Id4= b46I6R11R21j
38、wC3jwC4jwL51jwL61 -g21jwL6b4600000Y =2行1列4行6列解：电路含受控源，但无互感。解：电路含受控源，但无互感。支路导纳矩阵为：支路导纳矩阵为：L5R2C3L6R1iS1iS4C4id4-+ .US4+-u1+-uS2id2i60+-u65614230注意位置和正负3434结束可得到独立电源列向量为：独立电源列向量为：独立电源列向量为：独立电源列向量为：将以上所求代入将以上所求代入 .IS = .US = 0 .I = Y .(U .+US) .- - IS .IS1 0 0 .-IS4 0 0 T .-US2 0 .US4 0 0T与复合支路相反取正，否则取
39、负。与复合支路相反取正，否则取负。L5R2C3L6R1iS1iS4C4id4-+ .US4+-u1+-uS2id2i60+-u65614230R11R21jwC3jwC4jwL51jwL61 -g21jwL6b4600000=- .I2 .I3 .I1 .I4 .I5 .I6 .U1+0 .U2+ .US2 .U3+0 .U4+ .US4 .U5+0 .U6+0 .IS100 .-IS1003535结束1515- - - -6 6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式一、关于割集电压一、关于割集电压 割集电压也是一组完备割集电压也是一组完备的
40、独立变量。的独立变量。 以割集电压作为电路独以割集电压作为电路独立变量的分析方法称为立变量的分析方法称为割集电压法。割集电压法。 当选单树支当选单树支( (基本基本) )割集割集作为独立割集时，作为独立割集时，树支树支电压电压就是割集电压。就是割集电压。割集电压是一种假想电压，割集电压是一种假想电压，就象假想的回路电流一样。就象假想的回路电流一样。u = Qf utT否则，ut 可理解为一组独立的割集电压。Qadfbce支路a、b、c、d是 G 的一个割集。将它们全部移去，G被分离成两个部分。Qfeut两分离部分之间的电压就是割集电压。3636结束可以认为，割集电压法是结点电压法的推广。可以认
41、为，割集电压法是结点电压法的推广。可以认为，割集电压法是结点电压法的推广。可以认为，割集电压法是结点电压法的推广。 也可以说结点电压法是割也可以说结点电压法是割集电压法的一个特例。集电压法的一个特例。 若选一组独立割集若选一组独立割集 使每一割集都由汇集在一个结点上使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，的支路构成时， 割集电压法就成为结点电压法。割集电压法就成为结点电压法。 割集电压法规定的复合支路与结点割集电压法规定的复合支路与结点电压法完全相同，电压法完全相同， 因此支路方程的矩阵形式也相同：因此支路方程的矩阵形式也相同： .I = Y .(U .+US) .- - IS123456
42、78Q1Q2Q3Q43737结束二、割集电压方程二、割集电压方程二、割集电压方程二、割集电压方程描述割集与支路关联的矩阵是描述割集与支路关联的矩阵是 QQf f 。用用QQf f 表示的表示的KCLKCL：代入用代入用QQf f 表示的表示的KCLKCL方程方程就得到就得到割集方程的矩阵形式：割集方程的矩阵形式： .Qf I = 0 ， KVL： . .U = Qf UtT支路方程： .I = Y .(U .+US) .- - IS用割集电压表示支路电流 .I = Y .Ut .+YUS .- - ISTQf Qf YTQf .Ut .= Qf IS .- -Qf YUS若令 Yt = Qf
43、Y TQf则Yt 称为割集导纳矩阵。3838结束三、割集电压方程的编写三、割集电压方程的编写三、割集电压方程的编写三、割集电压方程的编写解：初始条件为零，用运算形式。解：初始条件为零，用运算形式。作有向图，选独立割集组；作有向图，选独立割集组；选支路选支路1 1、2 2、3 3为树支，为树支，则单树支割集如图所示。则单树支割集如图所示。12345Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)树支电压Ut1(s)、Ut2(s)和Ut3(s)就是割集电压，取树支电压的方向为割集方向。写基本割集矩阵 Qf ；Qf =1 2 3 4 5Q1Q2Q31 0 00 1 00 0 11 1-1 01 1P408 例1
44、5-4L4R1R2L3C5iS1iS2先树支后连支3939结束写独立源列向量和支路导纳矩阵；写独立源列向量和支路导纳矩阵；写独立源列向量和支路导纳矩阵；写独立源列向量和支路导纳矩阵； U US S ( (s s) ) = = 0 0 I IS S ( (s s) ) = = I IS S1 1( (s s) ) I IS S2 2( (s s) 0 0 0) 0 0 0T T代入代入L4R1R2L3C5iS1iS2Y(s)=R11,R21,sL31,sL41,sC5 diag Qf Y(s)QfTUt(s)= Qf IS (s) -Qf Y (s)US(s) 得割集电压方程Ut1(s)Ut2(
45、s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC54040结束YYt t 的的的的主对角线元素分别为与割主对角线元素分别为与割主对角线元素分别为与割主对角线元素分别为与割集集集集QQ1 1、QQ2 2、QQ3 3相关联支路的导相关联支路的导相关联支路的导相关联支路的导纳之算术和，称纳之算术和，称纳之算术和，称纳之算术和，称自导纳自导纳自导纳自导纳。 其它元素分别是与两相邻割其它元素分别是与两相邻割集关联支路的导纳算术和，集关联支路的导纳算术和，称称互导纳互导纳。
46、当两割集方向不一致时，互当两割集方向不一致时，互导纳前加导纳前加“ “- -” ”号。号。L4R1R2L3C5iS1iS2Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)与割集方向相反的割集电流源取与割集方向相反的割集电流源取“ “+”+”，相同取，相同取“ “- -” ”。Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC54141结束状态方程的编写状态方程的编写状态方程的编写状态方程的编写 在线性电路中，在线性电路中，选独立选独立的电容电压和电感电流的电
47、容电压和电感电流作为状态变量作为状态变量列写状态列写状态方程和求解最方便。方程和求解最方便。1. 1. 直观法的编写步骤直观法的编写步骤 在状态方程中，要包在状态方程中，要包含对状态变量的一次含对状态变量的一次导数，所以：导数，所以：(1)(1)对只含一个对只含一个C C的结点的结点 列列KCLKCL方程；方程；C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iS12结点 CdtduC= - i1- i2(2)对只含一个L的回路 列KVL 方程；回路1 L1dtdi1= uC-R1(i1+i2) + uS回路2 L2dtdi2= uC-R1(i1+i2)+ uS -R2(i2+iS) (3
48、)列其它方程(如有必要)，消去非状态变量。iR1iR2iR1iR24242结束(4)(4)整理成矩阵形式整理成矩阵形式整理成矩阵形式整理成矩阵形式直观法适用于不太复杂的电路。直观法适用于不太复杂的电路。 对复杂电路对复杂电路采用系统法采用系统法CdtduC= - i1- i2L1dtdi1= uC-R1(i1+i2) + uSL2dtdi2= uC-R1(i1+i2)+ uS -R2(i2+iS) dtduCdtdi1dtdi2=0-C1-C1L11-L1R1-L1R1L21-L2R1-L2R1+R2uCi1i2+0 0L110L21-L2R2uSiS4343结束2. 2. 系统法的编写步骤系
49、统法的编写步骤系统法的编写步骤系统法的编写步骤(1)(1)选特有树；选特有树；树支包含全部电容和电压源，不包含电感和电流源。树支包含全部电容和电压源，不包含电感和电流源。(2)(2)对单树支割集列对单树支割集列KCLKCL方程；方程；(3)(3)对单连支回路列对单连支回路列KVLKVL方程；方程；(4)(4)列其它必要的方程，消去非状态变量；列其它必要的方程，消去非状态变量；(5)(5)整理并写成矩阵形式。整理并写成矩阵形式。只要电路中不存在仅由电容和电压源构成的回路；也不存在仅由电感和电流源构成的割集。特有树就一定存在。4444结束例例例例: :列出图示电路的列出图示电路的列出图示电路的列出
50、图示电路的状态方程。状态方程。状态方程。状态方程。解：解：uS1+-L7C2C30C4L8R6G5iS9选特有树：123764589对单树支割集列KCL方程：C2dtdu2= i7C3dtdu3= i6+i7C4dtdu4= i6+i8对单连支回路列KVL方程：L7dtdi7= -u2-u3L8dtdi8= -u4-u5再列两个方程，消去i6和u5： i6 =R61u6 =R61(-u4-u3+ uS1)u5 =G51i5 =G51(i8 +i9)4545结束整理整理整理整理令令u u2 2= =x x1 1， u u3 3= =x x2 2 ， u u4 4= =x x3 3， i i7 7
51、= =x x4 4 ， i i8 8= =x x5 5 。 写写成成矩矩阵阵形形式式即即可可。dtdu2=C21i7dtdu3=C3R61-u3C3R61-u4 +1C3i7 +C3R61uS1dtdu4=C4R61-u3C4R61-u4 +1C4i8C4R61+uS1dtdi7= -L71u2-L71u3dtdi8= -L81u4G5L81-i8G5L81-iS94646结束 .x1 .x2 .x3 .x4 .x5=x1x2x3x4x5+uS1iS9dtdx1=C21x4000C21000dtdx2=C3R61-x2C3R61-x3 +1C3x4 +C3R61uS10C3R61-C3R61-C310C3R610dtdx3=C4R61-x2C4R61-x3+1C4x5C4R61+uS10C4R61-C4R61-0C41C4R610dtdx4= -L71x1-L71x2L71-L71-00000dtdx5= -L81x3G5L81-x5G5L81-iS900L81-0G5L81-0G5L81-uS1+-L7C2C30C4L8R6G5iS9这就是图示电路的状态方程。4747结束本章结束本章结束4848
