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1、新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（2 2）在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知两元素由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:AB90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)温故而知新温故而知新ABC如图，如
2、图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=1.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么，那么开挖点开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（）成一直线（）50140520mABCEDBED=ABDD=90答：开挖点答：开挖点E离点离点D，C，E成一直线成一直
3、线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则ABD是是BDE的一个外角的一个外角例例4：2008年年10月月15日日“神舟神舟”7号载人航天飞船发射成功当飞船完成变号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上，）表面上，）分析：从飞船上能最远直接看到分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点相切时的切点OQFP 如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是飞船是飞船的位置，的位置，FQFQ是是O
4、O的切线，切点的切线，切点Q Q是是从飞船观测地球时的最远点从飞船观测地球时的最远点 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间的距离，两点间的距离，为计算为计算 的长需先求出的长需先求出POQPOQ（即（即a a）例题例题解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形PQ的长为的长为当飞船在当飞船在OQFP仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角从上往下看，视线与水平线的
5、夹角叫做俯角. .1 1、如图，为了测量电线杆的高度、如图，为了测量电线杆的高度ABAB，处，处，3030，求电线杆，求电线杆ABAB的高（精确到的高（精确到0.10.1米）米）1.2022.7=300例例2:2:热气球的探测器热气球的探测器显示显示, ,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为3030, ,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为6060, ,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,120m,这栋高楼有多高这栋高楼有多高? ?=30=60120ABCD建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC40m的的D处观处观察旗杆顶部
6、察旗杆顶部A的仰角为的仰角为60,观察底部观察底部B的仰角为的仰角为45,求旗杆的高度。求旗杆的高度。BACD2 2、在山脚、在山脚C C处测得山顶处测得山顶A A的仰角为的仰角为4545。问题。问题如下：如下：(1(1）沿着水平地面向前）沿着水平地面向前300300米到达米到达D D点，点，在在D D点测得山顶点测得山顶A A的仰角为的仰角为600 , 600 , 求山高求山高ABAB。 DABCABC2 2、在山脚、在山脚C C处测得山顶处测得山顶A A的仰角为的仰角为450450。问题如下：。问题如下：变式：变式： 沿着坡角为沿着坡角为30 30 的斜坡前进的斜坡前进300300米到达米
7、到达D D点，在点，在D D点测得山顶点测得山顶A A的仰角为的仰角为600 ,600 ,求山高求山高ABAB。30DEFxx3 3、在山顶上处、在山顶上处D D有一铁塔，在塔顶有一铁塔，在塔顶B B处测得地面上一处测得地面上一点点A A的俯角的俯角=60o=60o，在塔底，在塔底D D测得点测得点A A的俯角的俯角=45o=45o，已知塔高已知塔高BD=30BD=30米，求山高米，求山高CDCD。ABCD1.1.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A A处探测到目标处探测到目标C C，此时，此时飞行高度飞行高度AC=1200AC=1200米，米，从飞机上看地平面控制从飞机上看地平面控制点点B
8、 B的俯角的俯角=30=30。，求。，求飞机飞机A A到控制点到控制点B B的距离的距离. .A AB BC C2. 2. 两两座座建建筑筑ABAB及及CDCD，其其地地面面距距离离ACAC为为50.450.4米米，从从ABAB的的顶顶点点B B测测得得CDCD的的顶顶部部D D的的仰仰角角300,300,测测得得其其底底部部C C的的俯俯角角a a600, 600, 求求两两座建筑物座建筑物ABAB及及CDCD的高的高. .课本课本P92 P92 例例4 4当堂反馈当堂反馈3.如图如图3，从地面上的，从地面上的C，D两点测得树顶两点测得树顶A仰角分别是仰角分别是45和和30，已知，已知CD=
9、200m，点，点C在在BD上，则树高上，则树高AB等于等于（根号保留）（根号保留）4.如图如图4，将宽为，将宽为1cm的纸条沿的纸条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为，则折叠后重叠部分的面积为（根号保留）（根号保留）图图3图图4当堂反馈当堂反馈6.如图如图2，在离铁塔，在离铁塔BE120m的的A处，处，用测角仪测量塔顶的仰角为用测角仪测量塔顶的仰角为30，已，已知测角仪高知测角仪高AD=，则塔高，则塔高BE=_（根号保留）（根号保留）图图1图图25.如图如图1，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地基，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离间的水平距离BD为为
10、100m，塔高，塔高CD为为m，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为30C利用解直角三角形的知识解决实际问题的利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的
11、答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（3 3）铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时，仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30点B在点O的南偏西45（西南方向）304
12、5BOA东东西西北北南南方位角方位角利用解直角三角形的知识解决实际问题的利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.例例1.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东60方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时
13、间后，到处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔达位于灯塔P的南偏东的南偏东30方向上的方向上的B处，这时，海轮所处，这时，海轮所在的在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？（精确到（精确到0.01海里）海里）6030PBCA，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁
14、的危险？BA ADF601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理在在RtABF中，中，解得解得x=610.48没有触礁危险没有触礁危险30601.如图所示，轮船以如图所示，轮船以32海里每小时的速海里每小时的速度向正北方向航行，在度向正北方向航行，在A处看灯塔处看灯塔Q在轮在轮船的北偏东船的北偏东30处，半小时航行到处，半小时航行到B处，处，发现此时灯塔发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求灯与轮船的距离最
15、短，求灯塔塔Q到到B处的距离（画出图像后再计算）处的距离（画出图像后再计算）ABQ30相信你能行相信你能行A2 2如图所示，一渔船上的渔民在如图所示，一渔船上的渔民在A A处看见灯处看见灯塔塔M M在北偏东在北偏东6060方向，这艘渔船以方向，这艘渔船以2828海里海里/ /时的速度向正东航行，半小时至时的速度向正东航行，半小时至B B处，在处，在B B处处看见灯塔看见灯塔M M在北偏东在北偏东1515方向，此时灯塔方向，此时灯塔M M与与渔船的距离是渔船的距离是( ) ( ) A.A. 海里海里 B.B. . 海里海里C.C.C.7C.7海里海里 D.D.D.14D.14海里海里 D气象台发
16、布的卫星云图显示，代号为气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风的台风在某海岛（设为点在某海岛（设为点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点生点生成，测得成，测得台风中心从点台风中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达海后到达海面上的点面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的速度向北偏西的速度向北偏西60方向继续移动方向继续移动以以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的直角坐标系所示的直角坐标系x/kmy/km北东AOBC图12（1）台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；（结果
17、保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12解：（1）（2）过点）过点C作作于点于点D，如图，如图2，则，则在在中中台风从生成到最初侵袭该城要经过台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时小时x/kmy/kmAOBC图图2D新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（4 4）修修路路、挖挖河河、开开渠渠和和筑筑坝坝时时，设设计计图图纸纸上上都都要要注明斜坡
18、的倾斜程度注明斜坡的倾斜程度.坡坡面面的的铅铅垂垂高高度度（h）和和水水平平长长度度（l）的的比比叫做坡面坡度（或坡比）叫做坡面坡度（或坡比）.记作记作i,即即i=.坡坡度度通通常常写写成成1 m的的形形式式，如如i=1 6.坡坡面面与与水水平面的夹角叫做坡角，记作平面的夹角叫做坡角，记作a，有，有i=tana.显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.例例5.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1
19、）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（）的长（）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解：（解：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90在在RtCDE中，中，CED=9019.4.6 如图一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30求路基下底的宽1.认清图形中的有关线段认清图形中的有关线段;2.分析辅助线的作法分析辅助线的作法;3.坡角在解题中的作用坡角在解题中的作用;4.探索解题过程探索解题过程.作作DEAB，CFAB，垂足分别为，垂足分别为E、 F由题意可知由题意可知DECF4.2（米），（米），CDEF12.5
20、1（米）（米）. .在在RtADE中，因为中，因为 所以所以在在RtBCF中，同理可得中，同理可得因此因此ABAEEFBF6.7212.517.9027.13（米）（米）答：答：路基下底的宽约为路基下底的宽约为27.13米米w4 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=30m,ADC=1350.w(1)求坡角ABC的大小;w(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(3 ).w咋办w先构造直角三角形!ABCD2.01:2.51:2B CA D E F如图如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米两米,坡度由原来的坡度由原来的1:2改
21、成改成1:2.5,已知原已知原背水坡长背水坡长BD=13.4米米,求求:(1)原背水坡的原背水坡的坡角坡角和加宽后的背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角;(2)加宽后水坝的横截面面积增加了加宽后水坝的横截面面积增加了多少多少?(精确到精确到0.01)1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;坡度、坡角等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案
