复数与复变函数第一章复数与复变函数ppt课件

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1、3232学时学时复变函数与积分变换的主要内容复变函数与积分变换的主要内容1 1 复数与复变函数复数与复变函数2 2 解析函数解析函数3 3 复变函数的积分复变函数的积分4 4 级数级数5 5 留数及其应用留数及其应用7 7 Fourier变换变换8 8 Laplace变换变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 复数与复平面复数与复平面1.2 复平面点集复平面点集1.3 复变函数复变函数主主 要要 内内 容容 本章主要介绍复数的概念及表示式、本章主要介绍复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念以及复变函复数的运算、平面点集的概念以及复变函数的概念、极限和连续数的概念、极限和连

2、续. .1.1 1.1 复数复数1 1 复数的概念复数的概念2 2 复数的四则运算复数的四则运算3 3 复数的表示方法复数的表示方法4 4 乘幂与方根乘幂与方根1.1.1 复数的概念复数的概念 由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要, 人们引进了复数人们引进了复数. 例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍为了建立代数方程的普遍理论，引入等式理论，引入等式 由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为 当复数的虚部为零、实部不为零当复数的虚部为零、实部不为零(即即 y=0, )时，复数时，复数 x+iy 等于等于 x+i0 为实数为实

3、数 x ,而虚部不为零而虚部不为零(即即 )的复数称为虚数的复数称为虚数. 在虚数中在虚数中, 实部为零实部为零(即即x=0, )的称为纯虚数的称为纯虚数. 例如例如, 3+0i=3是实数是实数, 4+5i, -3i都都是虚数是虚数, 而而-3i是纯虚数是纯虚数. 数数 x+iy (或或 x+yi )的的 , 并记做并记做 称形如称形如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数，其中的表达式为复数，其中 x和和y是任意两个实数是任意两个实数. 把这里的把这里的x和和y分别称为复分别称为复显然显然, z=x+iy 是是 x-yi 的共轭复数的共轭复数, 即即 共轭复数共轭复数 复数复数 x-iy

4、 称为复数称为复数 x+yi 的的 (其中其中x, y均为实数均为实数), 并记做并记做 . 1.1.2 复数的四则运算复数的四则运算 设设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数是两个复数, 如果如果x1=x2, y1=y2, 则称则称z1和和z2相等相等, 记为记为z1=z2. 复数复数z1=x1+iy1和和z2=x2+iy2的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定义如下：运算定义如下： (1) 复数的和与差复数的和与差(2) 复数的积复数的积(3) 复数的商复数的商复数运算的性质复数运算的性质1. 交换律交换律 2. 结合律结合律 3. 分配律分配律 解解例例 1.1 设设 求求

5、与与例例 1.2复数能否比较大小，为什么？复数能否比较大小，为什么？思考题思考题1 1： 给定一复数给定一复数z=x+yi, 在坐标平面在坐标平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P(x,y)与与z=x+yi对应对应. 反之反之, 对对XOY平面上的点平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+yi与它与它对应对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以因此可以用用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z. 这时把这时把XOY平面平平面平面称为复平面面称为复平面. 有时

6、简有时简称为称为z平面平面. 1.1.3 复平面与复数的表示法复平面与复数的表示法 显然显然, 实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应, 而而x轴以轴以外的点都对应一个虚数外的点都对应一个虚数, 纯虚数纯虚数 与与y轴轴上的点上的点(除原点除原点)对应对应. 因此因此, 称称x轴为实轴轴为实轴, y轴轴为虚轴为虚轴. 今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别, 即即“点点z”和和“复数复数z”是同一个意思是同一个意思. 有时用有时用C 表示表示全全体复数或复平面体复数或复平面. 复数复数z也可以用以原点也可以用以原点为起点而以点为起点而以点P为终点的向为终点的

7、向量表示量表示(如图如图). 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则行四边形法则. 用用 表示复数表示复数z时时, 这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上轴上的投影分别为的投影分别为x和和y. 把向量把向量 的长度的长度r 称为复数称为复数z的的 或称为或称为z的绝对值的绝对值, 并记做并记做|z|. 显然显然 如果点如果点P不是原点不是原点(即即 ), 那么把那么把 x 轴的轴的正向与向量正向与向量 的夹角的夹角 q q 称为复数称为复数 z 的辐角的辐角, 记记做做Argz. 对每个对每个 , 都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角, 因为用因为用

8、q q0 0表示复数表示复数z的一个辐角时的一个辐角时, 就是就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式. 有时有时, 在进行说明后在进行说明后, 把主辐角定义为满足把主辐角定义为满足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时, |z|=0. 满足满足 的复数的复数z的的 称为主辐角称为主辐角(或称辐角的主值或称辐角的主值), 记做记做argz, 则则的辐角的辐角, 这时上式仍然成立这时上式仍然成立. 当当z=0时时, Argz没有意义没有意义, 即零向量没有确定即零向量没有确定 当当 时时, 有有说明：当说明：当 z 在第二象限时，在第二象限时，利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标

9、之间的关系 数数z的的三角表示式三角表示式. 再利用再利用Euler公式公式 复数复数z=x+yi 可表示为可表示为 称为复称为复复数复数z=x+yi 又可表示为又可表示为 称为复数的称为复数的指数表示式指数表示式, 其中其中r=|z|, q q=Argz.解解xy复数复数 的三角表示式为的三角表示式为复数复数 的指数表示式为的指数表示式为例例1.3 将将 化为三角表示式与指数表示式化为三角表示式与指数表示式.解：解： 显然显然, r = | z | = 1, 又又因此因此将将 化为三角表示式与指数表示式化为三角表示式与指数表示式. 练习：练习：当当 时时, 当当 时时, 共轭复数的几何性质共

10、轭复数的几何性质一对共轭复数一对共轭复数z和和 在在复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对称的实轴对称的.复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质 从几何上看从几何上看, 复数复数 z2-z1所表示的向量所表示的向量, 与以与以z1为起点、为起点、z2为终点的向量相等为终点的向量相等 (方向相同方向相同, 模模相等相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算向量的加、减运算. 思考题：思考题：复数可以用向量表示，则复数的复数可以用向量表示，则复数的 运算与向量的运算是否相同？运算与向量的运算是否相同？ 一、利用指数表示进行复数的乘除法运算一

11、、利用指数表示进行复数的乘除法运算设设乘法乘法即即( (在集合意义下在集合意义下?)?) 两个复数乘积的两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；模等于它们的模的乘积；( (集合意义集合意义) )1.1.4 乘幂与方根乘幂与方根两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向旋转角度旋转角度 , ,再将模再将模变到原来的变到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积一、利用指数表示进行复数的乘除法运算一、利用指数表示进行复数的乘除法运算设设除法除法(

12、 (在在集合意义下集合意义下) ) 两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；模等于它们的模的商；即即1.1.4 乘幂与方根乘幂与方根例例1.4计算计算解解 由由有有附附一些一些“简单简单”复数的指数形式复数的指数形式解解 由由有有练习练习复数复数 z 的的乘幂乘幂，设设 z 是给定的复数，是给定的复数， n 为正整数，为正整数，n 个个 z 相乘的积称为相乘的积称为定义定义二、复数的乘幂与方根二、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂设设则则法则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。即即记

13、为记为二、二、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，则得到，则得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进一步易得到正弦与余弦函数进一步易得到正弦与余弦函数的的 n 倍倍角公式角公式。例例 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。此外，显然有此外，显然有 . .复数复数 w ，二、二、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根称为把复数称为把复数 开开 n 次方次方，或者称为求复数，或者称为求复数 的的 复数求方根是复数乘幂

14、的逆运算复数求方根是复数乘幂的逆运算。设设 是给定的复数，是给定的复数，n 是正整数，求所有满足是正整数，求所有满足 的的定义定义n 次方根次方根，记作记作 或或 复数复数 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。二、二、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。设设推导推导即即得得 正实数的算术根。正实数的算术根。由由有有二、二、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根描述描述 在复平面上，在复平面上， 这这 n 个根均匀地个根均匀地为半径的圆周上。为半径的圆周上。

15、根的辐角是根的辐角是分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以其中一个其中一个方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。例例 求求解解具体为：具体为：例例 求解方程求解方程解解具体为：具体为：(2)(3) 法则法则 (1)无意义。无意义。无意义。无意义。 实部虚部是多少实部虚部是多少?问题问题 模与辐角是多少模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？在复平面上对应到哪一点？一、无穷大一、无穷大1.1.5 1.1.5 扩充复平面及其球面表示扩充复平面及其球面表示定义定义 一个特殊的复数一个特殊的复数，称为，称

16、为无穷大无穷大，满足，满足二、无穷远点二、无穷远点1. 无穷远点的概念无穷远点的概念( ? )定义定义 在在“复平面复平面”上一个与复数上一个与复数 对应的对应的“理想理想”点，点，称为称为无穷远点无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，因此只能说它是一个因此只能说它是一个“理想理想”点点。 那么，这个那么，这个“理想理想”点到底在哪里呢？点到底在哪里呢？下面就来看看黎曼下面就来看看黎曼( (Riemnann) )给出的解释给出的解释。二、无穷远点二、无穷远点2. 复球面复球面 如图，如图，其中，其中，N 为北极，为北极，S 为南极。为南

17、极。这样的球面称作这样的球面称作复球面复球面。 对复平面上的任一点对复平面上的任一点 用用 球面上除球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，直线将直线将 点与点与 N 点相连，与球面相交于点相连，与球面相交于 点。点。p 球面上的球面上的 N 点本身则对应到了点本身则对应到了“复平面复平面”上的上的无穷远点无穷远点。注注 显然，复数显然，复数 不能写成不能写成 或者或者 。某球面与复平面相切，某球面与复平面相切， 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关

18、系. 我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数. 球面上的北极球面上的北极N不能对应复平面上的定点不能对应复平面上的定点, ,当当球面上的点离北极球面上的点离北极 N 越近越近, ,它所表示的复数它所表示的复数的模越大的模越大. .二、无穷远点二、无穷远点3. 扩充复平面扩充复平面(2) 不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面，或者简称为或者简称为复平面复平面。(1) 包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面；定义定义M二、无穷远点二、无穷远点4. 无穷远点的无穷远点的邻域邻域设实数设实数 M 0，定义定

19、义(1) 包括无穷远点在内且包括无穷远点在内且满足满足 的所有的所有点的集合，称为点的集合，称为无穷无穷远点的邻域远点的邻域。(2) 不包括无穷远点在内不包括无穷远点在内且满足且满足 的所有点的集合，称为的所有点的集合，称为无穷远点无穷远点的去心邻域的去心邻域，也可记为也可记为1.2 复平面点集复平面点集一、平面点集一、平面点集二、二、区域区域三、三、平面曲线平面曲线一、平面点集一、平面点集1. 邻域邻域设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义d dz0d dz0(1) 称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；(2) 称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。内点内点一、平面点

20、集一、平面点集2. 内点、外点与边界点内点、外点与边界点(1)内点内点外点外点边界点边界点考虑某平面点集考虑某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ，(2)有有外点外点 (1)(2)有有边界点边界点 (1)不一定属于不一定属于 G ；在在 中，中，(2)既有既有又有又有边界边界 G 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 G 的的边界边界。3. 开集与闭集开集与闭集开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 G 为为开集开集。一、平面点集一、平面点集闭集闭集 如果如果 G 的边界点全部都属于的边界点全部都属于 G ，则称，则称 G 为为闭集闭集。4. 有界集与无界

21、集有界集与无界集定义定义 若存在若存在 ，使得点集，使得点集 G 包含在原点的包含在原点的 邻域内，邻域内，则则 G 称为称为有界集有界集，否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。二、二、平面曲线平面曲线1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上 在复平面上在复平面上 如何相互转换如何相互转换？( (比较熟悉比较熟悉) )( (比较陌生比较陌生) )(1)(2)( (建立方程建立方程) )( (理解方程理解方程) )i- - i(1)i- - i(2)2i- - 2(3)1- - 12- - 2(4)1- - 1(5)二、二、平面曲线平面曲线2. 参数式参数式 在直角平面上在直角平

22、面上 在复平面上在复平面上例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。(2) 在复平面上在复平面上(1) 在直角平面上在直角平面上二、二、平面曲线平面曲线3. 曲线的分类曲线的分类考虑曲线考虑曲线简单曲线简单曲线当当 时，时，简单闭曲线简单闭曲线简单曲线且简单曲线且光滑曲线光滑曲线在区间在区间 上，上，和和 连续且连续且简单简单、不闭不闭简单、闭简单、闭不简单不简单、闭闭不简单不简单、不闭不闭连续的简单闭曲线称为连续的简单闭曲线称为Jordan曲线曲线.连续曲线连续曲线连续。连续。三、三、区域区域1. 区域与闭区域区域与闭区域区域区域 平面点集

23、平面点集 D 称为一个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件:(1) D 是一个是一个开集开集；(2) D是是连通连通的，的，闭区域闭区域 区域区域 D 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域, 记作记作 D。不不连连通通的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。即即 D 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D连通连通三、三、区域区域2. 有界有界区域与无界区域区域与无界区域 ( (顾名思义顾名思义) )3. 内内区域与外区域区域与外区域定义定义 一条一条“简单闭曲线简单闭曲线( (?) )”把整个复平面分成两个区域，把整个复平面

24、分成两个区域， 其中其中有界有界的一个称为该简单闭曲线的的一个称为该简单闭曲线的内部内部( (内区域内区域) )，称为该简单闭曲线的称为该简单闭曲线的外部外部( (外区域外区域) )。另一个另一个约当定理约当定理 任何任何Jordan曲线曲线C将平面分为将平面分为两个区域两个区域, 即内部区域即内部区域(有界有界)与外部与外部区域区域(无界无界), C是它们的公共边界是它们的公共边界. 内部内部外部外部边界边界4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域定义定义 设设 D 为区域，如果为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内的任何一条简单闭曲线的内部内部仍仍属于属于 D，则，则 D 称为称为

25、单连通域单连通域， 多连通域多连通域又可具体分为又可具体分为二连域二连域、三连域三连域、 。否则称为否则称为多连通域多连通域。A 省省( (二连域二连域) )( (三连域三连域) )三、三、区域区域4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域A 省省( (单连域单连域) )B 省省( (单连域单连域) )B 省省( (非区域非区域) )举例举例( (杜撰杜撰) )飞地飞地区域区域1- - 2 + i闭区域闭区域( (角形角形) )区域区域四四. 有向有向曲线曲线定义定义 设设 C 为平面上一条给定的光滑为平面上一条给定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲线，曲线，指定指定 C 的两个可能方向

26、中的一个作为正向，则的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有为带有方向的曲线，称为方向的曲线，称为有向曲线有向曲线，仍记为，仍记为 C。代表与代表与 C 的方向相反的方向相反( (即即 C 的负方向的负方向) )的曲线。的曲线。如果如果相应地，相应地， 则则逆时针方向逆时针方向。区域区域区域区域四四. 有向有向曲线曲线 简单闭曲线的正向一般简单闭曲线的正向一般约定约定为为：当曲线上的点当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线顺此方向沿曲线前进时前进时, 区域边界曲线的正向一般区域边界曲线的正向一般约定约定为为：当边界上的点当边界上的点 P 顺此方向沿边界顺此方向沿边界前进时前进时,曲线所围成的有

27、界区域曲线所围成的有界区域始终始终位于位于 P 点的左边。点的左边。所考察的区域所考察的区域始终位于始终位于 P 点点的左边。的左边。注意注意区域可以是多连域。区域可以是多连域。曲线曲线(1) 圆环域圆环域:例例 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:(3) 角形域角形域:(4) 带形域带形域:答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. 例例 指出下列不等式所确定的点集指出下列不等式所确定的点集, 是否有是否有界界? 是否区域是否区域? 如果是区域如果是区域, 单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的?无界的单连通区域无界的单连通区域(如图如图).

28、解解 (1) 当当 时时,是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).周外部周外部, 无界多连通区域无界多连通区域(如图如图).是以原点为中心是以原点为中心, 半径为半径为 的圆的圆表示到表示到1, 1两点的距离之两点的距离之表示该椭圆的内部表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域这是有界的单连通区域(如图如图).和为定值和为定值 4 的点的轨迹的点的轨迹, 因为因为所以这是椭圆曲线所以这是椭圆曲线.内部内部. 这是有界集这是有界集, 但不是区域但不是区域.令令是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线(也称双纽线也称双纽线).表示双纽线表示双纽线的的 例例 满足下列条件的点集是否区域满足下列

29、条件的点集是否区域? 如果如果是区域是区域, 是单连通区域还是多连通区域是单连通区域还是多连通区域?这是一条平行于实轴的直线这是一条平行于实轴的直线, 不是区域不是区域.它是单连通区域它是单连通区域.这是以为这是以为 右边界的半右边界的半平面平面, 不包括直线不包括直线它是多连通区域它是多连通区域.它不是区域它不是区域.这是以这是以 为圆心为圆心, 以以2为为半径的去心圆盘半径的去心圆盘.这是以这是以i为端点为端点, 斜率为斜率为1的半的半射线射线, 不包括端点不包括端点i.1.3 复变函数复变函数一、基本概念一、基本概念二、二、图形表示图形表示三、三、极限极限四、连续四、连续一、基本概念一、

30、基本概念 在以后的讨论中，在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为常常是一个平面区域，称之为定义域定义域。按照一定法则，有确定的按照一定法则，有确定的复数复数 w 与它对应，与它对应，一般情形下，一般情形下，所讨论的所讨论的“函数函数”都是指单值函数。都是指单值函数。上定义一个上定义一个复变函数复变函数，记作，记作定义定义 设设 D 是复平面上的一个点集，对于是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点中任意的一点 ，z对每个对每个 有唯一的有唯一的 w 与它对应；与它对应； 单值函数单值函数比如比如 多值函数多值函数 对每个对每个 有多个有多个 w 与它对应；与它对应；比如比如则称在则

31、称在 D一、基本概念一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析分析则则 可以写成可以写成设设 其中，其中， 与与 为实值二元函数。为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到分开上式的实部与虚部得到于是，复变函数 的极限、连续、一致连续等概念就是映射 的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立. 重要注记：重要注记：由于由于 ， ，故一般将，故一般将 理解为以理解为以 为自变量的函数，即为自变量的函数，即 。以后将看到，这样。以后将看到，这样做会带来很多方便，并且具有做会带来很多方便，并且具有“复风格复风格”.分开实部与虚部即得分开实部与虚部即得

32、代入代入 得得解解 记记 G GG二、二、图形表示图形表示C映射映射 复变函数复变函数 在几何上被看作是把在几何上被看作是把 z 平面上的一个平面上的一个平面平面z平面平面w点集点集 变到变到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 的的映射映射( (或者或者变换变换) )。其中，点集其中，点集 称为称为像像，点集，点集 称为称为原像原像。 函数函数、映射映射以及以及变换变换可视为同一个概念。可视为同一个概念。( (分析分析) )( (几何几何) )( (代数代数) )Dzxywuv 对于复变函数，它反映的是两对变量对于复变函数，它反映的是两对变量u，v和和x，y之间之间的对应关系，因而无法用一

33、个平面或一个三维空间的图形的对应关系，因而无法用一个平面或一个三维空间的图形来表示。故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应来表示。故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y之间的对应关系，以便之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观. .思考题：思考题：为什么在复变函数中用两个平面来表示为什么在复变函数中用两个平面来表示 其图形？其图形？二、二、图形表示图形表示反函数与逆映射反函数与逆映射双方单值与一一映射双方单值与一一映射为为 w 平面上的点集平面上的点集 G，设

34、函数设函数 的的定义域定义域为为 z 平面上的点集平面上的点集 D，值域值域的一个的一个( (或几个或几个) )点点 z，一个函数一个函数它称为函数它称为函数 的的反函数反函数，也称，也称为映射为映射 的的逆映射逆映射。若若映射映射 与它的逆映射与它的逆映射 都是单值的，都是单值的，则称映射则称映射 是是双方单值的双方单值的或者或者一一映射一一映射。则则 G 中的每个点中的每个点 w 必将对应着必将对应着 D 中中按照函数的定义，在按照函数的定义，在 G 上就确定了上就确定了解解 (1) 点点 对应的像对应的像( (点点) )为为 (2) 区域区域 D 可改写为：可改写为：令令则则可得区域可得

35、区域 D 的像的像( (区域区域) )G 满足满足即即函数函数 对应于两个二元实变函数对应于两个二元实变函数例例因此，它把因此，它把 z 平面上的两族平面上的两族双曲线双曲线分别映射成分别映射成 w 平平面面上的两族平行直线上的两族平行直线xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20例例解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射且是全同图形且是全同图形.三、三、极限极限定义定义 设函数设函数 在在 的的去心邻域去心邻域 内有定义内有定义 ,若存在复数若存在复数使得使得当当 时，时，有有记作记作或或注注 (1) 函

36、数函数 在在 点可以无定义；点可以无定义；(2) 趋向于趋向于 的方式是任意的。的方式是任意的。则称则称 A 为函数为函数 当当 z 趋向于趋向于 z0 时的时的极限极限，xyz0d d几何意义几何意义三、三、极限极限它的像点它的像点 就落在就落在 A 的预先给定的的预先给定的 e e 邻域内。邻域内。uvAe e 当变点当变点 一旦进入一旦进入 的充分小的的充分小的 d d 邻域时邻域时,z0zf (z)z性质性质 如果如果则则三、三、极限极限与实变函数的极限与实变函数的极限运算法则类似运算法则类似.定理定理三、三、极限极限设设证明证明如果如果则则当当时，时，则则必要性必要性 “ ”证明证明

37、 充分性充分性 “ ”则则当当 时，时，如果如果定理定理 设设三、三、极限极限则则说明说明三、三、极限极限 关于含关于含 的极限作如下规定：的极限作如下规定：(3) 所所关心的两个问题：关心的两个问题：(1) 如何证明极限存在？如何证明极限存在？(2) 如何证明极限不存在？如何证明极限不存在？ 选择选择不同的路径不同的路径进行反驳进行反驳 。放大技巧放大技巧 。(1)(2)例例 试求试求方法一方法一由定理由定理1 1，得，得方法二方法二 由于由于 ，由定理，由定理2 2（3 3）得）得xy讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例当当 时，时，当当 时，时，因此极限不存在。因此极限不存在。解

38、解 方法一方法一解解当当 时，时，当当 时，时，因此极限不存在。因此极限不存在。方法二方法二xy方法三方法三沿着射线沿着射线与与 有关，因此极限不存在。有关，因此极限不存在。讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例xy思考题：思考题：试着收集整理复极限的计试着收集整理复极限的计算方法以及判别复极限不存在的方算方法以及判别复极限不存在的方法，并用例子说明法，并用例子说明.四、连续四、连续定义定义则称则称 在在 点点连续连续。若若z0若若 在区域在区域 D 内处处连续，则称内处处连续，则称 在在 D 内内连续连续。注注 (1) 连续连续的三个要素：的三个要素：存在；存在；存在；存在；相等。相等

39、。(2) 连续连续的等价表示：的等价表示：其中，其中，(3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。通常说：通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。性质性质四、连续四、连续(1) 在在 连续的两个函数连续的两个函数 与与 的和、差、积、的和、差、积、商商( (分母在分母在 不为零不为零) )在在 处连续。处连续。z0z0z0(2) 如果函数如果函数 在在 处连续，函数处连续，函数 在在连续，则函数连续，则函数 在在 处连续。处连续。z0z0( (由由基本初等函数基本初等函数的连续性可得的连续性可得初等函

40、数初等函数的连续性的连续性) )(3) 如果函数如果函数 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则上连续，则例例 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续在原点及负实轴上不连续.证明证明x y (z) ozz讨论函数讨论函数 的连续性。的连续性。例例( (当当 时时) )故函数故函数 处处连续。处处连续。解解定理定理 设设 则则 f (x) 在在 处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是 都在都在 点连续点连续. 注注：这个定理说明复变函数：这个定理说明复变函数 的连续性等价两个二元实函数的连续性等价两个二元实函数的连续性的连续性. 复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章内容总结本章内容总结向量表示法向量表示法复变函数：极限、连续复变函数：极限、连续