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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 第二第二第二第二 讲讲讲讲 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法授课教师：彭亚新高 等 数 学 A（1 1）第 八 章 无 穷 级 数本章学习要求：理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第 八 章 无 穷 级 数第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一.正项级数的审敛法二.交错级数的敛散性三.任意项级数的敛散性1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义 实质上应是非负项级数一.正项级数的审敛法2.正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.定理 正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列
2、必有极限理由 在某极限过程中有极限的量必有界级数是否收敛？该级数为正项级数, 又有(n =1, 2, )故 当n 1 时, 有即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数解解 例13. 正项级数敛散性的比较判别法且 0 un vn ( n = 1, 2, )大收小收, 小发大发.记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证证 (1)记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证证 (2)判断级数的敛散性. ( 0 x 0 ) 的敛散性.当 p1时, P 级数为调和级数:它是发散的.当 0 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项而对 P 级数
3、加括号, 不影响其敛散性： 故当 p 1 时, P 级数收敛.综上所述: 当 p 1 时, p 级数收敛. 当 p 1 时, p 级数发散.4.比较判别法的极限形式判别级数的敛散性 ( a 0 为常数).因为( 即 = 1 为常数 )又是调和级数, 它是发散的,发散.解解原级数故 例4解解由比较判别法及 P 级数的收敛性可知： 例55.达朗贝尔比值判别法(1) 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进行判别. .判别级数的敛散性, 其中, x 0 为常数.即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：解解记则 需要讨论
4、x 的取值范围 例6当 0 | x | 1 时, 1 时, 1, 级数发散.当 | x | =1 时, = 1, 但原级数此时为这是 n = 2 的 P 级数, 是收敛的.综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.解解这是一个正项级数: 单调增加有上界,以 e 为极限. 例7由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛. 由级数收敛的必要条件得 利用级数知识求某些数列的极限利用级数知识求某些数列的极限. . 例8解解 达朗贝尔( DAiember Jean Le Rond )是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。 达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近
5、，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。 达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。 达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔
6、解。1752年首先用微分方程表示场。 达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。6. 柯西根值判别法(1) 1 ( 包括 = )时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.解解例10 判别的敛散性. ( x 0, a 0 为常数) 记解解即当 x a 时,当 0 x a 时,当 x = a 时, = 1, 但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例11当 0 x a 时, 原级数收敛;当 x a 时, 原级数发散.综上所述,二. 交错级数的敛散性交错级数是
7、各项正负相间的一种级数,或其中, un 0 ( n = 1 , 2 , ).它的一般形式为定义(莱布尼兹判别法)满足条件:(1) (2) un un+1 ( n =1, 2, ) 则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 .(级数收敛的必要条件) 定理若交错级数(单调减少)0 (由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.证证1) 取交错级前 2m 项之和由条件 (2) ：得 S2m 及由极限存在准则：un un+1, un 0,2) 取交错级数的前 2m +1 项之和由条件1) :综上所述, 有讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判
8、别法, 该级数是收敛.解解例12微积分学的创始人之一微积分学的创始人之一数学大师 莱布尼茨莱布尼茨Friedrich. Leibniz (16461716年) 莱布尼茨莱布尼茨（LeibnizLeibniz） 莱布尼茨 (16461716年) 是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。 1671年，他制造了他的计算机。1672 年 3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1
9、672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。 1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。 除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。 他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学
10、、生理学方面的发现 （ 1700 年柏林科学院成立）。 莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。 1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他
11、的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。 特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676 年 6月 23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ，其中 dy， dx 是变量的差，dy/dx 是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。1716年，他无声无息地死去。三. 任意项级数的敛散性(1) 级数的绝对敛和条件收敛定理 ( 即绝对收敛的级数必定收敛 )证证 un | un |从而(1) 1 (包括 = ) 时, 级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.定理(达朗贝尔判别法)解解由 P 级数的敛散性：即原级数绝对收敛. 判别级数的敛散性.例14记解解判别的敛散性, 其中, x 1为常数.例15当 | x | 1 时, = | x | 1 时, = 1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但 | x | 1 时,原级数发散.级数是否绝对收敛?解解由调和级数的发散性可知,故发散.例16但原级数是一个交错级数, 且满足：故原级数是条件收敛, 不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛.
