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1、南川道南中学南川道南中学 梁洪开梁洪开问题问题1：如右图，如右图，（1）AOC的对顶角是哪个角？的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？这两个角的关系怎样？（2）AOC的邻补角有几个？的邻补角有几个？ 是哪几个角？是哪几个角？ 问题问题2：如下图，当如下图，当AOC90时，时，BOD、 AOD、BOC等于多少度？为什么？等于多少度？为什么？ 在相交线的模型中在相交线的模型中, ,固定木条固定木条a,a,转动木条转动木条b,b,当当 =90 =90时时,a,a与与b b垂直垂直. .当当b b的位置变化时的位置变化时,a,a、b b所所成的角成的角也会发生变化也会发生变化. .当当 90 90时
2、时,a,a与与b b不垂不垂直，叫直，叫斜交斜交. .两条直线相交两条直线相交斜交斜交垂直垂直垂直是相交的特殊情况垂直是相交的特殊情况） abbbbb） 1.垂直定义：垂直定义：当两条直线相交所成的四个角当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是中，有一个角是直角直角(90)时，这两条直线时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂垂线线，它们的交点叫，它们的交点叫垂足垂足。例如、如图，例如、如图，a、b互相垂互相垂直直,O叫垂足叫垂足.a叫叫b的垂线，的垂线，b也叫也叫a的垂线。的垂线。b ba aO O一、垂直的定义一、垂直的定义从垂直的定义可知，
3、从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。有一个角是直角。b ba a用用“”和直线字母表示垂直和直线字母表示垂直O O 2.垂直的表示：垂直的表示：例如、如图，例如、如图，a、b互相垂互相垂直直, 垂足为垂足为O，则记为：，则记为：ab或或b a, 若要强调垂足，则记为：若要强调垂足，则记为：ab, 垂足为垂足为O.或或ab于于O.FEMNO记作：记作： MNEF , 垂足为垂足为O. 或者或者MNEF于于oABOE记作：记作： ABOE垂足为垂足为O. 或者或者ABOE于于O
4、AOC=90（已知），（已知）， ABCD（垂直的定义（垂直的定义） 如果直线如果直线AB、CD 相交于点相交于点O，AOC=90（或其它三个角中的一个角等于（或其它三个角中的一个角等于90），那么），那么 ABCD.这个推理过程可以写成：这个推理过程可以写成： ABCD（已知），（已知）， AOC90（垂直的定义）（垂直的定义） 如果如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个那么所得的四个角中，必有一个是直角是直角. 这个推理过程可以写成这个推理过程可以写成:ABCDO3.垂直的书写形式：垂直的书写形式： 日常生活中日常生活中, ,两条直线互相垂直的情形两条直线互相垂直的情形很常见很常见,
5、,说出图说出图5.1-65.1-6中的一些互相垂直的线中的一些互相垂直的线条条. .你能再举出其他例子吗你能再举出其他例子吗? ?方格本的横线和竖线方格本的横线和竖线铅垂线和水平线铅垂线和水平线1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （ ）个）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这 两条直线互相垂直两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直）两
6、条直线相交，所成的四个角相等，这两条直 线互相垂直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条 直线互相垂直直线互相垂直 （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1A例题：例题：b ba a例例2: 如图如图ABCD垂足为垂足为O,COF=56， 求求AOE？解：解：ABCD（已知）（已知）COB=90（垂直的定义）（垂直的定义）BOF= COBCOF =9056=34 AOE=BOF=34（对顶角相等）（对顶角相等） 答：答：AOE=34.FEDCBAO?56例例3：如图：直线：如图：直线AB和和 CD相交于点相交于点O,OEA,OF
7、,OF=40,求求OE和和AOC的度数的度数AFEDCBO40?1例例4：如图，已知为一直线，如图，已知为一直线，：，平分：，平分，（）求，（）求的度数；（）判断与的位置关的度数；（）判断与的位置关系系454590看谁做得快看谁做得快1.若直线若直线m、n相交于点相交于点O，190，则，则_。2.若直线若直线AB、CD相交于点相交于点O， 且且ABCD，那么，那么BOD_。3.如图，如图，BOAO，BOC 与与BOA的度数之比为的度数之比为1:5， 那么那么COA_, BOC的补角为的补角为_度。度。Omn1BCAOmn90721624. 4. 如图，直线如图，直线ABAB、CDCD相交于点相
8、交于点O O， OEOEABAB， 1=1251=125, , 求求COECOE的度数的度数. .A AC CE EB BD DO O1 1）125?解：解：OEAB（已知）（已知）BOE=90（垂直的定义）（垂直的定义） BOC=1=125（对顶角相等）（对顶角相等）COE= BOCBOE =12590 =35 答：答：COE=35.二、垂线的画法二、垂线的画法问题：问题：怎么样画垂线？怎么样画垂线？1.垂线的画法：垂线的画法：问题：问题：这样画这样画m的的垂线可以垂线可以画几条？画几条？1靠、靠、2画线画线mO如图，已知直线如图，已知直线 m,作作m m的垂线。的垂线。工具：三角板（或量角
9、器）工具：三角板（或量角器）A 无数条无数条1.垂线的画法：垂线的画法：mA如图，已知直线如图，已知直线m和和m m上的一点上的一点A ,作作m m的垂的垂线线.B3 3画线画线画线画线: :沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线. .2 2移移移移: :移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点; ;1 1靠靠靠靠: :把三角板的一直角边靠在直线上把三角板的一直角边靠在直线上把三角板的一直角边靠在直线上把三角板的一直角边靠在直线上; ; 则所画直线则所画直线AB是过点是过点A的直线
10、的直线m m的垂线的垂线.1.垂线的画法：垂线的画法：mA如图，已知直线如图，已知直线 m m 和和m m外外的一点的一点A ,作作m m的的垂线垂线.B 则所画直线则所画直线AB是过点是过点A的直线的直线m m的垂线的垂线.思考思考:结论结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(1)画已知直线画已知直线m的垂线能画几条的垂线能画几条?(2)过直线过直线m上上的一点的一点A画画m的垂线的垂线,这样这样的的 垂线能画几条垂线能画几条?(3)过直线过直线m外外的一点的一点A画画m的垂线的垂线,这样这样的的 垂线能画几条垂线能画几条?垂线的性质垂线的性质垂线
11、的性质垂线的性质1 1：过一点有且只有一条直线与过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直已知直线垂直 问题：问题： （1）“过一点过一点”包括几种情况？包括几种情况？ （2）“有且只有有且只有”是什么意思？是什么意思？ 直线直线上上的一点的一点直线直线外外的一点的一点有：有： 存在性存在性只有：只有：唯一性唯一性课堂练习课堂练习 1.过点过点 向线段向线段 所在直线引垂线，正确的是（所在直线引垂线，正确的是（ ）. A B C DC 2. 过点过点P作作线段线段或或射线射线所在直线的垂线所在直线的垂线AB.P(1).O.P.A(2)注意注意: :过一点画已知线段过一点画已知线段( (或射线或射线
12、) )的垂线的垂线, ,就是画这条线段就是画这条线段( (或射线或射线) )所在直线的垂线所在直线的垂线. .E EE EE E注意注意注意注意: : : :画线段画线段画线段画线段( ( ( (或射线或射线或射线或射线) ) ) )的垂线时的垂线时的垂线时的垂线时, , , ,有时要将线有时要将线有时要将线有时要将线段延长段延长段延长段延长( ( ( (或将射线反向或将射线反向或将射线反向或将射线反向延长延长延长延长) ) ) )后再画垂线后再画垂线后再画垂线后再画垂线. . . .（P5页第页第2题）题）1.如图，分别过如图，分别过A、B、C 作作BC、AC、AB的垂线。的垂线。ABC2.
13、如图，过如图，过P分别作分别作OA、 OB的垂线。的垂线。OABPDEFMN解：解：如图、如图、ADBC于于D、BEAC于于E、CFAB于于F解：解：如图、如图、PMOA于于M、PNOB于于N1填空题填空题(1)过一点过一点_与已知直线垂直与已知直线垂直.(2)当当_时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的叫做另一条直线的_，它们的交点叫做，它们的交点叫做_.课堂小测课堂小测解：解：135，255（已知）（已知）垂直垂直 AOE18012 1803555 90OEAB (垂直的定义垂直的定义)2 2、如图，已知直线、如图，已知直线ABAB、
14、CDCD都经过都经过O O点，点，OEOE为射线，为射线，若若1 13535，2 25555，则，则OEOE与与ABAB的的位位置关系置关系是是 CDABOE123、如图、如图 ，已知，已知AB. CD相交于相交于O, OECD于于 O,AOC=36，则，则BOE=（ ） （A）36 (B) 64 (C)144 (D) 54 36?D通过本堂课的学习通过本堂课的学习,你掌握了什么内容你掌握了什么内容?收获了哪些？收获了哪些？ 1 1、垂直的概念：、垂直的概念： 如果两条直线相交所成的四个如果两条直线相交所成的四个角中角中,有一个是有一个是直角直角,就说这两条直就说这两条直线互相线互相垂直垂直.
15、 2 2、垂线的性质、垂线的性质1 1： 同一平面内同一平面内，经过一点经过一点有且只有有且只有一条一条直线与已知直线垂直直线与已知直线垂直4 4、能过一点作出直线（或线段、能过一点作出直线（或线段、 射线）的垂线射线）的垂线3 3 、画垂线的方法：、画垂线的方法： 用工具（量角器、三角板）用工具（量角器、三角板） 不用工具（不用工具（“折折”）两两条条直直线线相相交交一一般般情情况况垂线垂线对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补垂线的存在性垂线的存在性和唯一性和唯一性特殊情况特殊情况相交成直角相交成直角作业作业1 1、课本课本P8页页 第第3、4、5、6 题题 2 2、数学练习册、数学练习册P3-6P3-6页页
