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1、第 二 章 线 性 时 不 变 系 统 2.1 引言引言当当线性时不变（线性时不变（线性时不变（线性时不变（LTI linear time-invariantLTI linear time-invariant）系统的输入和输出系统的输入和输出信号都表示为时间的函数时的描述方式称为时域描信号都表示为时间的函数时的描述方式称为时域描述。述。响应：响应：响应：响应：输入信号经过系统后的输出信号称为系统对输入信号经过系统后的输出信号称为系统对对应输入信号的响应。对应输入信号的响应。冲激（脉冲）响应：冲激（脉冲）响应：冲激（脉冲）响应：冲激（脉冲）响应：系统对时间冲激输入信号的输系统对时间冲激输入信号的
2、输出信号称为系统的冲激响应。对于出信号称为系统的冲激响应。对于LTI系统，其冲系统，其冲激响应代表了系统的所有特性，是表征和测试激响应代表了系统的所有特性，是表征和测试LTI系统的重要方法。系统的重要方法。如果保持输入信号的形式不变，只是延迟或超前一段时间，经过系如果保持输入信号的形式不变，只是延迟或超前一段时间，经过系统后的输出信号也只是原来的输出信号延迟或超前一段相同的时间，统后的输出信号也只是原来的输出信号延迟或超前一段相同的时间，称该系统为时不变系统称该系统为时不变系统12.1 引言引言输入信号可以描述为时移（延迟）单位冲激信号（序列）输入信号可以描述为时移（延迟）单位冲激信号（序列）
3、的线性组合。的线性组合。可以用四种方法描述可以用四种方法描述LTI系统：输出信号是输入信号与系统系统：输出信号是输入信号与系统冲激响应的卷积；以常系数线性微分方程（连续时间系统）冲激响应的卷积；以常系数线性微分方程（连续时间系统）或差分方程（离散时间系统）描述或差分方程（离散时间系统）描述LTI系统的输入输出关系；系统的输入输出关系；由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统；由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统；用状态变量方法描述系统。用状态变量方法描述系统。四种描述方法是从四种描述方法是从不同的角度不同的角度不同的角度不同的角度描述描述同一个同一个同一个同一个系统。第一种
4、方系统。第一种方法不考虑系统的具体结构，第二种方法需要考虑系统结构法不考虑系统的具体结构，第二种方法需要考虑系统结构和元件的性能参数，第三种方法把系统结构和元件作用进和元件的性能参数，第三种方法把系统结构和元件作用进行了功能化处理，第四种方法则能详细说明系统的结构。行了功能化处理，第四种方法则能详细说明系统的结构。22.2 卷积和的概念卷积和的概念任意离散时间信号可以用时移冲激任意离散时间信号可以用时移冲激序列的加权叠加表示，这种方法表序列的加权叠加表示，这种方法表示的信号经过示的信号经过LTI系统后的输出可以系统后的输出可以表示为卷积和的形式。表示为卷积和的形式。信号的整体时移冲激信号的整体
5、时移冲激序列加权叠加表示序列加权叠加表示0时刻信号的冲时刻信号的冲激函数表示激函数表示k时刻信号的冲时刻信号的冲激函数表示激函数表示信号的时移冲激序列加权叠加表示信号的时移冲激序列加权叠加表示信号的时移冲激序列加权叠加表示信号的时移冲激序列加权叠加表示加权因子图图2.132.2 卷积和的概念卷积和的概念LTILTI系统的输出系统的输出系统的输出系统的输出任意系统的输出任意系统的输出线性系统的输出线性系统的输出 叠加性叠加性 齐次性齐次性图2.242.2 卷积和的概念卷积和的概念LTILTI系统的输出系统的输出系统的输出系统的输出其中其中 非时变性非时变性是是LTI系统对单位冲激信号的响应，简称
6、系统对单位冲激信号的响应，简称冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应 卷积和卷积和卷积和的中间信号卷积和的中间信号图2.352.3 卷积和的计算卷积和的计算卷积和的计算步骤卷积和的计算步骤1、确定信号和冲激响应、确定信号和冲激响应（函数）（函数），以冲激响应函数或信号，以冲激响应函数或信号对起始原点做反折，并根据输出信号的坐标点做平移；对起始原点做反折，并根据输出信号的坐标点做平移；2、从负无穷开始，到正无穷进行平移；、从负无穷开始，到正无穷进行平移；3、写出所有的中间信号或中间信号的数学表达式；、写出所有的中间信号或中间信号的数学表达式；4、对中间信号的数学表达式或所有的中间信号求和，得、对中间信
7、号的数学表达式或所有的中间信号求和，得到一个坐标点的输出信号；到一个坐标点的输出信号；5、确定一个新的输出函数坐标点，重复步骤、确定一个新的输出函数坐标点，重复步骤3和步骤和步骤4；6、对所有输出函数坐标点重复步骤、对所有输出函数坐标点重复步骤3和步骤和步骤4。图2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.10,2.11678910111213142.4 卷积积分卷积积分连续时间信号的时移冲激加权积分表示连续时间信号的时移冲激加权积分表示信号经过系统信号经过系统H后的输出后的输出系统系统H为为LTI系统时的输出系统时的输出其中其中图2.17, 2.18,2.191516172.5 卷积
8、积分的计算卷积积分的计算1.1.1.1.首先确定首先确定首先确定首先确定f f( (x x) )和和和和h h( (x x) )取值区间取值区间取值区间取值区间 a a，b b 和和和和 k k，l l ，考虑到卷积考虑到卷积考虑到卷积考虑到卷积的平移不变性，的平移不变性，的平移不变性，的平移不变性，f f( (x x) )和和和和h h( (x x) )取值区间均可从零开始，即取值区间均可从零开始，即取值区间均可从零开始，即取值区间均可从零开始，即00，b b 和和和和00，l l ； 2. 2. 将将将将h h( (x x) )（或或或或f f( (x x) ) ）以以以以y y轴为对称轴
9、旋转轴为对称轴旋转轴为对称轴旋转轴为对称轴旋转180180，反折为，反折为，反折为，反折为h h(- (- x x) )； 3. 3. 将反折后的将反折后的将反折后的将反折后的h h(- (- x x) )平移为积分中的平移为积分中的平移为积分中的平移为积分中的h h( (x x- - ) )，保持积分中保持积分中保持积分中保持积分中f f( ( ) )的位置不变，将的位置不变，将的位置不变，将的位置不变，将h h( (x x- - ) )的右端的右端的右端的右端h h(0)(0)与与与与f f( ( ) )的左端的左端的左端的左端f f(0)(0)重合，重合，重合，重合，并计算它们的乘积，得
10、到第一个卷积积分值并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值h h(0)(0) f f(0)(0)； 4. 4.使使使使h h( (x x - - ) ) 整体向右移动一段距离整体向右移动一段距离整体向右移动一段距离整体向右移动一段距离 x x后，使后，使后，使后，使x x = = x x1 1，计算计算计算计算f f( ( ) )与与与与h h( (x x1 1- - ) )在在在在00，x x1 1 范围内重合位置的乘积，并求这范围内重合位置的乘积，并求这范围内重合位置的乘积，并求这范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的
11、积分（叠加），得到第二卷积积分值些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值h h( (x x1 1)*)* f f( (x x1 1) )； 182.5 卷积积分的计算卷积积分的计算5. 5. 5. 5. 重复步骤（重复步骤（重复步骤（重复步骤（4 4），），），），h h( (x x - - ) ) 整体向右移动整体向右移动整体向右移动整体向右移动i i段距离段距离段距离段距离 x x后，后，后，后，使使使使x x = = x xi i，计算计算计算计算f f( ( ) )与与与与h h( (x xi i - -
12、) )在在在在00，x xi i 范围内重合位置范围内重合位置范围内重合位置范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第i +i +1 1个卷积积分值个卷积积分值个卷积积分值个卷积积分值h h( (x xi i)*)* f f( (x xi i) )； 6. 6.最后一次移动最后一次移动最后一次移动最后一次移动h h( (x x - - ) )，使使使使x x = = b + lb + l，计算计算计算计算f f( (b b) )与与与与h h( (l l)
13、 )的乘的乘的乘的乘积，得到最后一个个卷积积分值积，得到最后一个个卷积积分值积，得到最后一个个卷积积分值积，得到最后一个个卷积积分值f f( (b b) )h h( (l l) )； 7. 7.将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一起，形成随起，形成随起，形成随起，形成随x x坐标变化的卷积积分函数。坐标变化的卷积积分函数。坐标变化的卷积积分函数。坐标变化的卷积积分函数。 192.5 卷积积分的计算卷积积分的计算0卷积中的函数卷积中的函数卷积中的函数
14、卷积中的函数f f( (x x) )（a a）、）、）、）、h h( (x x) )（b b）及及及及h h( (x x) )的的的的反折函数反折函数反折函数反折函数h h( (- - - -x x) )（c c）f(x)xh(x)xh(-x)x（a）（b）（c）bl-l000202.5 卷积积分的计算卷积积分的计算卷积积分卷积积分h(x-)与与f() 的重合情况的重合情况（a）进入重合阶段进入重合阶段（b）完全重合阶段完全重合阶段（c）退出重合阶段退出重合阶段f()x（a）b0h(x -)lf()x（b）b0h(x -)l（c）f()xb0h(x -)l212.5 卷积积分的计算卷积积分的计
15、算22例2.7: p72232425例2.8：p74262.6 LTI系统的互连系统的互连卷积积分的性质卷积积分的性质交换律性质交换律性质输入为输入为x(t)，单位冲激响应，单位冲激响应h(t)的的LTI系统的输出与输入为系统的输出与输入为h(t)和单位冲激响应和单位冲激响应x(t)的输出是完全相同的的输出是完全相同的27分配性质分配性质LTI系统对两个输入和的响应一定等于系统对单个输入响应的和系统对两个输入和的响应一定等于系统对单个输入响应的和2829结合律性质结合律性质卷积和信号的顺序是无关的卷积和信号的顺序是无关的302.6 LTI系统的互连系统的互连卷积积分的性质卷积积分的性质2.6.
16、2 LTI系统的级联系统的级联一个信号通过第一个一个信号通过第一个LTI系统后的系统后的 输出信号再通过第二个输出信号再通过第二个LTI系统系统 后后 等效于信号通过了一个冲激响应函数是两个等效于信号通过了一个冲激响应函数是两个 相当相当于信号通过由两个于信号通过由两个LTI系统的冲激响应卷积和构成的一个系系统的冲激响应卷积和构成的一个系统，而且与系统的前后顺序无关。说明统，而且与系统的前后顺序无关。说明LTI系统满足结合律系统满足结合律和交换律。和交换律。312.7 不同特性不同特性LTI系统的冲激响应系统的冲激响应2.7.1 无记忆无记忆LTI系统的冲激响应系统的冲激响应无记忆无记忆LTI
17、系统的输出只与当时的输入信号有关，系统的输出只与当时的输入信号有关，即：即：因此，必然有因此，必然有只关心冲激响应的形只关心冲激响应的形式时，得到：式时，得到：322.7 不同特性不同特性LTI系统的冲激响应系统的冲激响应2.7.2 因果因果LTI系统的冲激响应系统的冲激响应因果因果LTI系统的输出只与过去和当时的输入信号系统的输出只与过去和当时的输入信号有关，即：有关，即：由于不满足由于不满足 条件时，输入信号不一定等条件时，输入信号不一定等于零，因此因果于零，因此因果LTI系统的冲激响应必须满足系统的冲激响应必须满足只关心冲激响应的形只关心冲激响应的形式时，得到：式时，得到：332.7 不
18、同特性不同特性LTI系统的冲激响应系统的冲激响应2.7.3 稳定稳定LTI系统的冲激响应系统的冲激响应其中其中 是输入信号的最大绝对值。是输入信号的最大绝对值。欲使欲使当输入为有界时，输出也一定有界的系统称为有界输当输入为有界时，输出也一定有界的系统称为有界输入有界输出意义下的稳定系统，其输出一定满足入有界输出意义下的稳定系统，其输出一定满足必须必须34352.7 不同特性不同特性LTI系统的冲激响应系统的冲激响应2.7.4 可逆可逆LTI系统的冲激响应系统的冲激响应信号恢复和反卷积信号恢复和反卷积可逆系统是指对一个系统至少存在一个逆系统，使原可逆系统是指对一个系统至少存在一个逆系统，使原系统
19、输出信号通过逆系统后还原为输入信号。系统输出信号通过逆系统后还原为输入信号。系统系统系统描述系统描述反卷积反卷积冲激响应冲激响应36372.8 阶跃响应阶跃响应系统对单位阶跃输入信号的输出即是阶跃响应。系统对单位阶跃输入信号的输出即是阶跃响应。LTI系统的阶跃响应可以系统的冲激响应来描述。系统的阶跃响应可以系统的冲激响应来描述。冲激响应的阶跃响应表示冲激响应的阶跃响应表示382.9 LTI系统的微分和差分方程描述系统的微分和差分方程描述一阶微分方程一阶微分方程如果如果例例2.143940常系数线性微分方程或差分方程具有常系数线性微分方程或差分方程具有LTI性质，它性质，它们是另外一种描述们是另
20、外一种描述LTI系统输入系统输入输出关系的常用输出关系的常用手段。常系数线性微分方程的一般形式是：手段。常系数线性微分方程的一般形式是：ak和和bk是与时间无关的常系数，是与时间无关的常系数，N是方程的阶数是方程的阶数对离散情况，常系数线性微分方程用差分方程表示对离散情况，常系数线性微分方程用差分方程表示412.9 LTI系统的微分和差分方程描述系统的微分和差分方程描述差分方程的递归求解差分方程的递归求解例2.1542432.10 微分和差分方程的求解方法微分和差分方程的求解方法当描写当描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程系统的常系数线性微分方程或差分方程中与输入信号直接有关的变化均为
21、零时，该方程中与输入信号直接有关的变化均为零时，该方程称为齐次方程，即：称为齐次方程，即：任何时候都满足齐次方程的解叫齐次解，齐次解可任何时候都满足齐次方程的解叫齐次解，齐次解可能不止一个！能不止一个！ 在与输入信号直接有关的变化均为零在与输入信号直接有关的变化均为零的某一时刻该方程的状态所决定的解，称为满足初的某一时刻该方程的状态所决定的解，称为满足初始条件的齐次解，这时方程所对应的系统输出信号始条件的齐次解，这时方程所对应的系统输出信号叫自然响应。叫自然响应。及及2.10 .1 齐次方程、齐次解及自然响应齐次方程、齐次解及自然响应442.10 微分和差分方程的求解方法微分和差分方程的求解方
22、法当描写当描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程系统的常系数线性微分方程或差分方程中与输入信号直接有关的变化不全为零时，该方中与输入信号直接有关的变化不全为零时，该方程称为非齐次方程。程称为非齐次方程。满足非齐次方程的解可能不止一个，其中任意一个满足非齐次方程的解可能不止一个，其中任意一个满足非齐次方程的解称为其特解。满足非齐次方程的解称为其特解。当系统的自然响应为零，且零时刻的输出信号仅与当系统的自然响应为零，且零时刻的输出信号仅与零时刻的输入信号有关时，系统的输出信号称为强零时刻的输入信号有关时，系统的输出信号称为强迫响应。迫响应。2.10 .2 非齐次方程、特解及强迫响应非齐次方程
23、、特解及强迫响应452.10 微分和差分方程的求解方法微分和差分方程的求解方法在给定输入信号后微分方程任何时候都能够满足在给定输入信号后微分方程任何时候都能够满足的解叫常系数线性微分方程或差分方程的通解。的解叫常系数线性微分方程或差分方程的通解。满足初始条件的非齐次方程的通解满足初始条件的非齐次方程的通解完全解，完全解完全解，完全解所对应的系统的输出信号就是完全响应。所对应的系统的输出信号就是完全响应。完全响应就是自然响应与强迫响应的叠加。完全响应就是自然响应与强迫响应的叠加。2.10 .3 非齐次方程的通解、完全解与完全响应非齐次方程的通解、完全解与完全响应非齐次常系数线性微分方程或差分方程
24、的通解由非齐次常系数线性微分方程或差分方程的通解由其齐次解和一个特解完全确定。其齐次解和一个特解完全确定。462.10 微分和差分方程的求解方法微分和差分方程的求解方法1、2.10 .4 常系数线性微分方程解的形式和求解步骤常系数线性微分方程解的形式和求解步骤是齐次方程的一个解。是齐次方程的一个解。2、ri 满足特征方程满足特征方程3、方程的齐次解：、方程的齐次解：4、 是方程的一个特解是方程的一个特解5、通解、通解6、完全解、完全解满足初始条件的通解满足初始条件的通解472.10 微分和差分方程的求解方法微分和差分方程的求解方法1、建立微分方程、建立微分方程2.10 .4 常系数线性微分方程
25、解的形式和求解步骤常系数线性微分方程解的形式和求解步骤2、求方程的齐次解求方程的齐次解求方程的齐次解求方程的齐次解3、方程在、方程在 x (t) = cos(0t) 情况下的特解情况下的特解4、方程的完全解、方程的完全解5、回路的自然响应、回路的自然响应满足初始条件的齐次解满足初始条件的齐次解6、回路的强迫响应、回路的强迫响应初始条件为零的完全解初始条件为零的完全解例：求阻容回路的微分方程及解例：求阻容回路的微分方程及解7、回路的完全响应、回路的完全响应满足初始条件的完全解满足初始条件的完全解求解常系数线性微分方程的核心，是将求解微分方程求解常系数线性微分方程的核心，是将求解微分方程求解常系数
26、线性微分方程的核心，是将求解微分方程求解常系数线性微分方程的核心，是将求解微分方程化为求解代数方程！化为求解代数方程！化为求解代数方程！化为求解代数方程！482.12 LTI系统微分系统微分(差分）方程的方框差分）方程的方框图表示图表示线性常系数差分和微分方程的线性常系数差分和微分方程的LTI系统可以用若干系统可以用若干基本运算的方框图表示。基本运算的方框图表示。方框图内部的基本运算部件可以分为三种：数乘器、方框图内部的基本运算部件可以分为三种：数乘器、加法器和积分（或延迟）器。加法器和积分（或延迟）器。49505152乘数器乘数器加法器加法器延迟器延迟器积分器积分器532.12 LTI系统微分方程的方框图表示系统微分方程的方框图表示由由得得542.12 LTI系统微分方程的方框图表示系统微分方程的方框图表示552.12 LTI系统的状态变量描述系统的状态变量描述562.12 LTI系统的状态变量描述系统的状态变量描述由图中可得由图中可得57
