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1、5.35.3 控制系统的开环频率特性控制系统的开环频率特性5.3.1 开环极坐标图开环极坐标图开环极坐标图的绘制方法：开环极坐标图的绘制方法：(1)用幅频特性和相频特性计算作图；用幅频特性和相频特性计算作图；(2)按实频特性和虚频特性计算作图；按实频特性和虚频特性计算作图；开环极坐标图的近似绘制开环极坐标图的近似绘制(1) 起点和终点；起点和终点；(2) 与实轴的交点；与实轴的交点；(3) 变化范围。变化范围。1优质教学频率特性可表示为：将频率特性安按典型环节分解2优质教学1.极坐标图的起点极坐标图的起点 0时，除时，除 其他环节的频率特性为其他环节的频率特性为所以，所以， 0时幅相曲线的起点
2、只与时幅相曲线的起点只与 有关有关起点取决于比例环节起点取决于比例环节k和积分或微分和积分或微分环节的个数环节的个数。3优质教学0v=0v=1v=24优质教学2.极坐标图的终点极坐标图的终点 +时时Gk(+j)在复平面上的位置与频率在复平面上的位置与频率特性分子分母多项式阶次差（特性分子分母多项式阶次差（n-m）有关。）有关。5优质教学0n-m=2n-m=3n-m=1对于最小相位系统对于最小相位系统6优质教学3.与实轴的交点与实轴的交点令令 ，解得，解得x；将其代入将其代入即得与实轴的交点。即得与实轴的交点。7优质教学例例5-1 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试绘制系统概略极坐标图。
3、试绘制系统概略极坐标图。解：解： 系统开环频率特性系统开环频率特性起点：起点：I型系统，型系统，A(0+) ,(0)=- -90终点：终点：n-m=3，A() 0,()=- -270与实轴交点：与实轴交点：由由 解得解得代入代入 得得交点为交点为08优质教学5.3.2 开环伯德图开环伯德图 系统开环传递函数作典型环节分解后，可先作出系统开环传递函数作典型环节分解后，可先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法绘制系统开环对数频率特性。法绘制系统开环对数频率特性。 对于任意的开环传递函数，可按典型环节分解为对于任意的开环传递函数，可按典型环节
4、分解为三部分：三部分：(2) 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节及对应的非最一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为小相位环节，交接频率为1/T；(3) 二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节及对应的非最二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为小相位环节，交接频率为n 。(1) 积分环节积分环节 或或 ； 记记min为最小交接频率，称为最小交接频率，称n的频率范围为低频段。的频率范围为低频段。开环伯德图的绘制按以下步骤进行：开环伯德图的绘制按以下步骤进行：9优质教学1) 开环传递函数典型环节分解。开环传递函数典型环节分解。2) 确定一
5、阶环节、二阶环节的交接频率，将各交确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在对数坐标图的接频率标注在对数坐标图的轴上。轴上。3) 绘制低频段渐近线：由于一阶环节或二阶环节绘制低频段渐近线：由于一阶环节或二阶环节的对数幅频渐近曲线在交接频率前斜率为的对数幅频渐近曲线在交接频率前斜率为0dB/dec，在交接频率处斜率发生变化，故在，在交接频率处斜率发生变化，故在min频段渐近线：在频段渐近线：在min频段，系统频段，系统开环对数幅频渐近特性曲线表现为分段折线。每遇开环对数幅频渐近特性曲线表现为分段折线。每遇到一个交接频率增加相应的斜率。增加的斜率等于到一个交接频率增加相应的斜率。增加的斜
6、率等于该交接频率对应环节的斜率。该交接频率对应环节的斜率。10优质教学低频段直线的确定低频段直线的确定由点斜式直线方程知：低频段直线斜率为由点斜式直线方程知：低频段直线斜率为-20vdB/dec，只需确定一点坐标即可。，只需确定一点坐标即可。因为低频段由因为低频段由 确定确定方法一方法一 在低频段任选一点在低频段任选一点0方法二方法二 选特定点选特定点0=1，则，则方法三方法三 选选 特定值特定值0，则，则11优质教学例例5-2 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的开环对数幅频特性曲线。试绘制系统的开环对数幅频特性曲线。解：先将解：先将Gk(s)化成典型
7、环节串联的标准形式化成典型环节串联的标准形式1)交接频率：交接频率：2，1，20L()/dB020401102202)低频段：低频段：斜率：斜率：-20dB/dec;位置：位置：=1时，为时，为20lgk=20dB3)低频向高频延续，每经过一低频向高频延续，每经过一个交接频率，斜率作适当修改个交接频率，斜率作适当修改-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec12优质教学设复变函数为设复变函数为一、一、映射定理映射定理则对应与则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。）为解析函数，即为
8、单值、连续的函数。S平面平面F（S）平面平面13优质教学曲线的形状：由曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心）的特性决定，无需关心曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！S平面平面F（S）平面平面14优质教学映射定理映射定理 设设设设S S平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数F F（S S）的的的的P P个极点和个极点和个极点和个极点和Z Z个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不
9、经过个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不经过F F（S S）的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量S S沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在方向移动一周时，在方向移动一周时，在方向移动一周时，在F F（S S）平面上的影射曲线包）平面上的影射曲线包）平面上的影射曲线包）平面上的影射曲线包围坐标原点围坐标原点围坐标原点围坐标原点P-ZP-Z周。周。周。周。15优质教学二、乃奎斯特稳定判据二、乃奎斯特稳定判据设系统的特征方程设系统的特征方程16优质教学F（S）的零点是闭环系统的极
10、点，极点则是开环极点）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：特征方程的根都在特征方程的根都在S平面的左半平面，右面无极点平面的左半平面，右面无极点F（S）的零点都在）的零点都在S平面的左半平面，右面无零点平面的左半平面，右面无零点17优质教学 根据映射定理，根据映射定理，S沿乃氏回线顺时钟移动一周时，在沿乃氏回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点N=P-Z周。周。系统是稳定的，系统是稳定的，Z=0，N=P稳定性判据：稳定性判据：稳定性判据：稳定性判据： 如果在如果在如果在如果在S
11、S平面上，平面上，平面上，平面上，S S沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，在在在在F F（S S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转N=PN=P周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。 映射曲线围绕原点的情况相当于映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。）的运动情况。18优质
12、教学绘制映射曲线的方法绘制映射曲线的方法（1）令）令S=j带入带入G（S）H（S），得到开环频率特性。），得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统实际物理系统 n=m nm时时 G（S）H（S）趋于零）趋于零 n=m时时 G（S）H（S）为常数）为常数 乃奎斯特稳定性判据：乃奎斯特稳定性判据：乃奎斯特稳定性判据：乃奎斯特稳定性判据： 控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当 从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频
13、率特性大时，系统的开环频率特性大时，系统的开环频率特性大时，系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j)按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围(-1(-1，j0)j0)点点点点P P周，周，周，周，P P为位于为位于为位于为位于S S平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。19优质教学例：绘制开环传递函数例：绘制开环传递函数的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。20优质教学三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据虚轴上含有开环极点的情况虚轴上含有开环极
14、点的情况不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！映射定理要求乃奎斯特回线不能经过映射定理要求乃奎斯特回线不能经过映射定理要求乃奎斯特回线不能经过映射定理要求乃奎斯特回线不能经过F F F F（S S S S）的奇点。）的奇点。）的奇点。）的奇点。 用半径用半径 0 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半些极点，即将这些极点划到左半s s平面。平面。21优质教学 在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当 很小时，半圆弧的很小时，半圆弧的很小时，半圆弧的很小时
15、，半圆弧的数学方程式数学方程式数学方程式数学方程式rerej j ,r ,r0 0时，时，时，时， 从从从从0 0 0 0变到变到变到变到 /2/2。当当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从方向从经过经过0变化到变化到22优质教学例：绘制开环传递函数例：绘制开环传递函数的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。23优质教学24优质教学五、根据伯德图判定系统的稳定性五、根据伯德图判定系统的稳定性原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()0的部分；单位圆内部L()0范围内的与180线的穿越点。负穿越对应于对
16、数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线( 相角滞后增大)。26优质教学对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据 若系统开环传递函数若系统开环传递函数m个位于右半个位于右半s s平面平面的特征根，则当在的特征根，则当在L()0 的所有频率范围的所有频率范围内，对数相频特性曲线内，对数相频特性曲线 ()( ( 含辅助线含辅助线 ) )与与-180线的正负穿越次数之差等于线的正负穿越次数之差等于m/2时，系时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。统闭环稳定，否则，闭环不稳定。 27优质教学开环特征方程有两个右根，开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和正负穿越数之和-1闭环不稳定。28优质教学开环特征方程有两个右根，开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和正负穿越数之和+1闭环稳定。29优质教学
