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1、主讲教师：门玉涛主讲教师：门玉涛主讲教师：门玉涛主讲教师：门玉涛1学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学扭转扭转问题：问题：3 3、如何计算圆轴扭转时的强度和刚度？、如何计算圆轴扭转时的强度和刚度？2 2、如何计算圆轴和圆筒扭转时的变形？、如何计算圆轴和圆筒扭转时的变形？1 1、如何计算圆轴和圆筒扭转时的应力？、如何计算圆轴和圆筒扭转时的应力？2学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-1 引言引言汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆扭转的概念及实例扭转的概念及实例汽车方向盘汽车方向盘3学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学请判断哪一杆件请判断哪一杆件将发生扭转将发生扭转4学习课堂工程力工程
2、力工程力工程力学学学学 当两只手用力当两只手用力相等时，拧紧螺母相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭的工具杆将产生扭转转受扭受扭部位部位5学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学请判断哪一杆件请判断哪一杆件请判断哪一杆件请判断哪一杆件将发生扭转将发生扭转将发生扭转将发生扭转6学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 拧紧螺母的拧紧螺母的拧紧螺母的拧紧螺母的工具杆不仅产工具杆不仅产工具杆不仅产工具杆不仅产生扭转，而且生扭转，而且生扭转，而且生扭转，而且产生剪切产生剪切产生剪切产生剪切受扭受扭部位部位7学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学汽车传动轴汽车传动轴8学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学
3、学丝锥攻丝丝锥攻丝9学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学10学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学电唱机电唱机转轴转轴11学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学齿轮轴受扭齿轮轴受扭12学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学自行车轴自行车轴13学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 受力特征受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。力偶作用面垂直于轴线。 变形特征变形特征：横截面绕轴线转动。：横截面绕轴线转动。14学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 扭转变形扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征：以横截面绕轴线作
4、相对旋转为主要特征的变形形式。的变形形式。 扭力偶扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶：使杆产生扭转变形的外力偶 扭力偶矩扭力偶矩：扭力偶的矩：扭力偶的矩 轴轴：凡是以扭转为主要变形的直杆：凡是以扭转为主要变形的直杆轴的变形以横截面间绕轴线的相轴的变形以横截面间绕轴线的相对角位移即对角位移即扭转角扭转角表示。表示。15学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-2 动力传递与扭转动力传递与扭转一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是P P，轴的转速是，轴的转速是 n n16学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学功率功率P P每分
5、钟作功每分钟作功, ,功率的单位是功率的单位是千瓦（千瓦（kWkW）（1 1）转矩转矩（外力偶矩）（外力偶矩） m 所作的功所作的功（2 2）（1 1）（）（2 2），有），有17学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学或或于是得于是得外力偶矩外力偶矩与功率的与功率的关系式关系式18学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 扭扭矩矩：在在外外力力偶偶矩矩作作用用下下，轴轴任任意意截截面面（n-n 截截面面）上上的内力偶矩，用的内力偶矩，用T 表示，它是截面上内力偶矩的合力偶矩。表示，它是截面上内力偶矩的合力偶矩。受扭构件的受扭构件的受扭构件的受扭构件的内力矩内力
6、矩内力矩内力矩如何？如何？如何？如何？ 截面法截面法截面法截面法MeMe是外力矩是外力矩是外力矩是外力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩T T扭矩扭矩扭矩扭矩T T根据右手定则确定力根据右手定则确定力根据右手定则确定力根据右手定则确定力矩矢的方向矩矢的方向矩矢的方向矩矢的方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向T T19学习课堂工程力工程力工程力工程力学
7、学学学扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，扭矩扭矩扭矩扭矩矢量矢量矢量矢量的指向与的指向与的指向与的指向与截面外法线截面外法线截面外法线截面外法线方向一方向一方向一方向一致为正，反之为负。致为正，反之为负。致为正，反之为负。致为正，反之为负。截面截面截面截面n n截面外法线截面外法线截面外法线截面外法线T Tx x扭矩矢量扭矩矢量扭矩矢量扭矩矢量力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向20学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学右手拇指指向外法线方
8、向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)21学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学例题例题例题例题 某转动轴，转速某转动轴，转速某转动轴，转速某转动轴，转速n n = 200 rpm,= 200 rpm,主动轮输入功率为主动轮输入功率为主动轮输入功率为主动轮输入功率为P PA A = 200 kW,= 200 kW,三个从动轮输出三个从动轮输出三个从动轮输出三个从动轮输出功率分别为功率分别为功率分别为功率分别为P PB B = 90 kW, = 90 kW, P PC C = 50kW, = 50kW, P PD D = 60 kW= 60 kW1 1
9、、计算、计算、计算、计算1-1 2-2 3-31-1 2-2 3-3截面的扭矩；截面的扭矩；截面的扭矩；截面的扭矩；2 2、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图22学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学解解解解 首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小23学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量取取取取1-11-1截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正
10、列方程列方程列方程列方程24学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学取取取取2-22-2截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析列方程列方程列方程列方程25学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学取取取取3-33-3截面右侧分析截面右侧分析截面右侧分析截面右侧分析列方程列方程列方程列方程26学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值画扭矩图画扭矩图画扭矩图画扭矩图T27学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 例例 ： 图图 示示 传传 动动 轴轴 ， 主主 动动 轮轮 A A输输 入入 功功 率率PA=36
11、.75kWkW，从从动动轮轮B、C、D输输出出功功率率分分别别为为 PB=PC=11.025kWkW， ND=14.7kWkW， 轴轴 的的 转转 速速 为为n=300转转/ /分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。28学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学解：解：作用于各轮的外力偶矩为作用于各轮的外力偶矩为其中，各轮的功率为其中，各轮的功率为29学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学各段扭矩为各段扭矩为30学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学扭矩图如图示扭矩图如图示31学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学32学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学课堂练习（时间课堂练习（时间课堂练
12、习（时间课堂练习（时间 3 3分钟）分钟）分钟）分钟）试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图33学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学你做对了吗？你做对了吗？你做对了吗？你做对了吗？34学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律一、薄壁圆管的扭转应力一、薄壁圆管的扭转应力等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒, ,平均半径为平均半径为 r, ,壁厚为壁厚为 t，受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格格, ,然后加载。然后加载。35学习课堂工程力工程力工程力
13、工程力学学学学微小角度微小角度观察到如下现象观察到如下现象：(1) (1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度；(2) (2) 圆圆周周线线的的形形状状、大大小小及及圆圆周周线线之之间间的的距距离离没有改变。没有改变。36学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学根据以上实验现象根据以上实验现象, ,可得可得结论结论： 圆圆筒筒横横截截面面上上没没有有正正应应力力，只只有有切切应应力力。切切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。37学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学将将dx段取出并放大段取出并放大38学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学
14、学相对扭角相对扭角(扭转角扭转角)： 两横截面相对转动的两横截面相对转动的角度，用角度，用 表示。表示。切应变：切应变：扭转后矩形扭转后矩形abcd的直角的改变量的直角的改变量 。39学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学扭角与切应变的关系：扭角与切应变的关系： 由由dx段可看出：段可看出： dx= ro d 即：即： = ro d / dx40学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学如图取单元体：如图取单元体：如图取单元体：如图取单元体：为保持单元体平衡，则其他几个为保持单元体平衡，则其他几个为保持单元体平衡，则其他几个为保持单元体平衡，则其他几个面上应有什么应力？大小如何？面上应有什么应
15、力？大小如何？面上应有什么应力？大小如何？面上应有什么应力？大小如何？zxy二、纯剪切与切应力互等定理二、纯剪切与切应力互等定理42学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，存在，其数值相等，其方向或同时指向交
16、线，或同时背离交线，这一规律成为这一规律成为这一规律成为这一规律成为 切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理。单元体四个侧面均只有切应力而无正应力单元体四个侧面均只有切应力而无正应力单元体四个侧面均只有切应力而无正应力单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态纯剪切状态纯剪切状态纯剪切状态。圆轴扭转时横截面上的应力状态是圆轴扭转时横截面上的应力状态是圆轴扭转时横截面上的应力状态是圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态纯剪切状态纯剪切状态纯剪切状态。43学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律考察薄壁筒受扭考察薄壁筒受扭单元体单元体变形
17、图变形图44学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学45学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验, , 证实了切应力与切应变之证实了切应力与切应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系间存在着象拉压胡克定律类似的关系, , 即当切即当切应力不超过材料的剪切比例极限应力不超过材料的剪切比例极限p 时时, ,切应力切应力与切应变成正比与切应变成正比剪切胡克剪切胡克定律定律G G称为材料的切变模量。上式关系称为称为材料的切变模量。上式关系称为剪切胡克剪切胡克定律。定律。46学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 切变模量切变模量G材料常数材料常数：弹性模量：弹性模量E 泊
18、松比泊松比 对于对于各向同性材料各向同性材料, ,可以证明可以证明: :E、G、 三个三个弹性常数之间存在着如下关系弹性常数之间存在着如下关系47学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式考察图示受扭圆轴，分析横截面的应力。考察图示受扭圆轴，分析横截面的应力。 变形几何关系变形几何关系从三方面考虑：从三方面考虑： 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系48学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学实验现象和平面假设实验现象和平面假设实验现象和平面假设实验现象和平面假设49学习课堂工程力工程力工程力工
19、程力学学学学变形前变形前变形前变形前变形后变形后变形后变形后所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同同同同一个角度一个角度一个角度一个角度 g g g g表明表明表明表明: :表面处存在切应变，表面处存在切应变，表面处存在切应变，表面处存在切应变，而且切应变相同。而且切应变相同。而且切应变相同。而且切应变相同。变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成了一个小菱形。了一个小菱形。了一个小菱
20、形。了一个小菱形。50学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学变形前变形前变形前变形前变形后变形后变形后变形后所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大小、形状、及其相互之间的距离保持不变。小、形状、及其相互之间的距离保持不变。小、形状、及其相互之间的距离保持不变。小、形状、及其相互之间的距离保持不变。表明表明表明表明: :无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。无轴向线应变和横向线
21、应变，横截面上无正应力。无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。51学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学平面假设平面假设平面假设平面假设: : 圆轴扭转变形前为平圆轴扭转变形前为平圆轴扭转变形前为平圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小面的横截面，变形后仍为大小面的横截面，变形后仍为大小面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直相等的平面，其半径仍保持直相等的平面，其半径仍保持直相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不线，且相邻两个截面的距离不线，且相邻两个截面的距离不线，且相邻两个截面的距离不变。变。变。变。由平面假设，由平面假设，由平面假设，由平面假设，
22、圆轴圆轴圆轴圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可无轴向线应变和横向线应变，因而可无轴向线应变和横向线应变，因而可无轴向线应变和横向线应变，因而可以认为以认为以认为以认为横截面上无正应力横截面上无正应力横截面上无正应力横截面上无正应力，由于相对转动引起纵向线倾，由于相对转动引起纵向线倾，由于相对转动引起纵向线倾，由于相对转动引起纵向线倾斜，倾斜角斜，倾斜角斜，倾斜角斜，倾斜角 g g g g 为切应变，因此圆轴为切应变，因此圆轴为切应变，因此圆轴为切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。横截面上存在切应力。横截面上存在切应力。横截面上存在切应力。52学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学1.1.变
23、形几何关系变形几何关系其中其中其中其中 表示扭转角沿轴线长表示扭转角沿轴线长表示扭转角沿轴线长表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而度方向的变化率，而度方向的变化率，而度方向的变化率，而 称为称为称为称为相对扭转角。相对扭转角。相对扭转角。相对扭转角。同一截面上同一截面上同一截面上同一截面上 为常数，因为常数，因为常数，因为常数，因此此此此 与与与与 成正比成正比成正比成正比53学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学以以以以 表示横截面上距圆心为表示横截面上距圆心为表示横截面上距圆心为表示横截面上距圆心为 处的切应力，则胡克定律处的切应力，则胡克定律处的切应力，则胡克定律处的切应力，则胡克定律
24、: :代入几何关系表达式代入几何关系表达式代入几何关系表达式代入几何关系表达式由于由于由于由于 发生在垂直于半发生在垂直于半发生在垂直于半发生在垂直于半径的平面内，所以径的平面内，所以径的平面内，所以径的平面内，所以 也也也也应与半径垂直。应与半径垂直。应与半径垂直。应与半径垂直。2. 2. 物理关系物理关系54学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学微切力：微切力：微切力：微切力：对圆心对圆心对圆心对圆心O O 的微力矩的微力矩的微力矩的微力矩内力矩，扭矩内力矩，扭矩内力矩，扭矩内力矩，扭矩 MMx x代入物理关系和几何关系：代入物理关系和几何关系：代入物理关系和几何关系：代入物理关系和几何
25、关系：3.静力学关系静力学关系55学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学取取取取I Ip p : : 截面对圆心截面对圆心截面对圆心截面对圆心 O O 的的的的 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩的单位极惯性矩的单位极惯性矩的单位极惯性矩的单位: m: m4 4 mm mm4 456学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学4 4、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律截面上某点的切应力截面上某点的切应力截面上某点的切应力截面上某点的切应力该截面上的该截
26、面上的该截面上的该截面上的扭矩扭矩扭矩扭矩- -内力矩内力矩内力矩内力矩所求的点至圆心的距离所求的点至圆心的距离所求的点至圆心的距离所求的点至圆心的距离截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩57学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学对某一截面而言，对某一截面而言，对某一截面而言，对某一截面而言，T Tx x 为常数，为常数，为常数，为常数， I Ip p 也是常数，因此也是常数，因此也是常数，因此也是常数，因此横截面上的切应力是横截面上的切应力是横截面上的切应力是横截面上的切应力是 r r r r 的线性函数的线性函数的线性函数的线性函数圆心处圆心处
27、圆心处圆心处 r r r r = 0 = 0 = 0 = 0 t t t t = 0 = 0 = 0 = 0 外表面外表面外表面外表面 r r r r = = = = r r r r maxmax t t t t = = = = t t t t maxmax取取取取WWp p 截面的抗扭截面模量截面的抗扭截面模量截面的抗扭截面模量截面的抗扭截面模量，单位，单位，单位，单位 mmmm3 3 m m3 358学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图按照上述公式，可以得到切应力的分
28、布规律图59学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学切应力切应力线性分布线性分布实心圆截面实心圆截面切应力切应力线性分布线性分布空心圆截面空心圆截面60学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学切应力计算公式的适用范围切应力计算公式的适用范围：1. 1. 在公式推导中用到在公式推导中用到G G，因此公式仅在弹性，因此公式仅在弹性 范围有意义；范围有意义；2. 2. 仅适用于圆截面和空心圆截面轴。仅适用于圆截面和空心圆截面轴。61学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-5 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数一、实心圆截面一、实心圆截面在直径为在直径为d d的圆截面上取的圆截面上取一半
29、径为一半径为 、宽为、宽为d d 的的微圆环，则有：微圆环，则有：微面积微面积dA=2d62学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学二、空心圆截面二、空心圆截面将前面的积分式下限改为空将前面的积分式下限改为空心圆截面的内径，可得：心圆截面的内径，可得：dD63学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学三、实心圆和空心圆抗扭截面系数三、实心圆和空心圆抗扭截面系数极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩实心圆：实心圆：实心圆：实心圆：空心圆：空心圆：空心圆：空心圆：抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数实心圆：实心圆：实心圆：实心圆：空心圆：空心圆：空心圆：空心圆：64学习课堂工程力工程力工程力工
30、程力学学学学 传动轴如图所示，动力经齿轮传动轴如图所示，动力经齿轮传动轴如图所示，动力经齿轮传动轴如图所示，动力经齿轮2 2输送给传动轴，然输送给传动轴，然输送给传动轴，然输送给传动轴，然后由后由后由后由1 1、3 3两轮输出。若齿轮两轮输出。若齿轮两轮输出。若齿轮两轮输出。若齿轮1 1和和和和3 3输出的功率分别为输出的功率分别为输出的功率分别为输出的功率分别为0.76kW0.76kW和和和和2.9kW2.9kW，轴的转速为，轴的转速为，轴的转速为，轴的转速为180rpm, 180rpm, 材料为材料为材料为材料为4545号钢，号钢，号钢，号钢，轴的直径为轴的直径为轴的直径为轴的直径为28m
31、m, 28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于则该轴的最大切应力是多少，位于则该轴的最大切应力是多少，位于则该轴的最大切应力是多少，位于哪段？哪段？哪段？哪段？例题例题65学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 1 1、计算外力矩、计算外力矩、计算外力矩、计算外力矩 2 2、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图 可以看出可以看出可以看出可以看出2 2、3 3轮之间轮之间轮之间轮之间存在扭矩极值存在扭矩极值存在扭矩极值存在扭矩极值 3 3、求最大切应力、求最大切应力、求最大切应力、求最大切应力66学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用某汽车传动轴
32、，用某汽车传动轴，用4545号无缝钢管制成，其外径号无缝钢管制成，其外径号无缝钢管制成，其外径号无缝钢管制成，其外径 D D =90mm, =90mm, 壁厚壁厚壁厚壁厚 t =2.5t =2.5mm,mm,使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为T T =1500Nm=1500Nm，已知钢管允许的最大切应力为，已知钢管允许的最大切应力为，已知钢管允许的最大切应力为，已知钢管允许的最大切应力为60MPa60MPa，问此轴是否满足设计要求？问此轴是否满足设计要求？问此轴是否满足设计要求？问此轴是否满足设计要求？ 若此轴改为实心圆轴，若此轴改为实心圆轴，若此轴改为实心圆轴，
33、若此轴改为实心圆轴，并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径D D1 1 应应应应为多少？从此题中得到什么样的启发？为多少？从此题中得到什么样的启发？为多少？从此题中得到什么样的启发？为多少？从此题中得到什么样的启发？例题例题67学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学D D =90mm, =90mm, t =2.5t =2.5mm, mm, T T =1500Nm=1500Nm， =60MPa=60MPa1 1、抗扭截面模量、抗扭截面模量、抗扭截面模量、抗扭截面模量2 2、
34、轴上最大切应力、轴上最大切应力、轴上最大切应力、轴上最大切应力3 3、若改为实心轴、若改为实心轴、若改为实心轴、若改为实心轴68学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学分析分析分析分析: :实心圆截面面积实心圆截面面积实心圆截面面积实心圆截面面积: :空心圆截面面积空心圆截面面积空心圆截面面积空心圆截面面积: :重量比重量比重量比重量比: :因此，在承载能力相同的条件下，使用空心因此，在承载能力相同的条件下，使用空心因此，在承载能力相同的条件下，使用空心因此，在承载能力相同的条件下，使用空心轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。轴要比使用实心轴节省材料，更加经
35、济。轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。思考思考思考思考: : 理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？69学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力扭转屈服应力：扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的试样扭转屈服时横截面上的最大切应力。最大切应力。扭转强度极限：扭转强度极限：试样扭转断裂时横截面上的试样扭转断裂时横截面上的最大切应力。
36、最大切应力。扭转极限应力：扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极扭转屈服应力与扭转强度极限统称。限统称。70学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学二、轴的强度条件一、强度条件：一般由静载扭转试验确定常用材料的与有如下关系：钢材 =（0.550.60)铸铁 = 0.871学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学9-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形即即有有或或72学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学若若 为常量为常量, ,则有则有式中式中 称为称为抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度. . 比较拉压变形公式比较拉压变形公式: : ，可以看出二者的相
37、，可以看出二者的相似之处。式中似之处。式中 为为抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度。 若轴各段的若轴各段的 T 或或 Ip 不同，则轴两端的不同，则轴两端的相对扭转角相对扭转角相对扭转角相对扭转角为为73学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学若用若用 表示变化律表示变化律 ，有，有为单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角。若在轴长若在轴长 l 的范围内的范围内 为常量，则有为常量，则有74学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学例例例例4-3 4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：T T1 1=1400
38、Nm=1400Nm， T T2 2=600Nm=600Nm， T T3 3=800Nm=800Nm， d d1 1=60mm=60mm，d d2 2=40mm=40mm，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，计，计，计，计算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。75学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学1 1）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图2 2 2 2）AB AB AB AB 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转
39、角：段单位长度扭转角：3 3 3 3）BC BC BC BC 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在BC BC BC BC 段段段段 为为为为 0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m76学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学例例例例4-4 4-4 图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知 d d =40mm =40mm a a =400mm =
40、400mm G G =80GPa =80GPa j j j j DBDB=1=1O O , ,求求求求 : 1) : 1) 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 2 2）j j j j ACAC77学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学1 1）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图2 2）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力首先要求出首先要求出首先要求出首先要求出M M 的数值的数值的数值的数值78学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学79学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学80学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学圆轴扭转时的圆轴扭转时的刚度条件刚度条
41、件刚度条件刚度条件: : : :81学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学1.1.单位长度的扭转角单位长度的扭转角 与（与（ ）无关。）无关。(A) (A) 杆的长度；杆的长度； (B) (B) 扭矩；扭矩；(C) (C) 材料性质；材料性质； (D) (D) 截面几何性质。截面几何性质。 2. 2.若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的度是原来的 倍。倍。82学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力之间和在扭矩相同的情况
42、下，它们的最大切应力之间和扭转角之间的关系有四种答案，正确答案是扭转角之间的关系有四种答案，正确答案是( ( ) )。（A A） 1 1 2 2 ， 1 1 2 2 （B B） 1 1 2 2 ， 1 1 2 2（C C） 1 1 2 2 ， 1 1 2 2 （D D） 1 1 2 2 ， 1 1 2 283学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学例 已知：阶梯轴B处输入功率NB= 45kW输出功率NA= 30kW , NC= 15kW转速 n = 240 r/min d1 = 60mm, d2 = 40mmG=80GPa, =50MPa= 2 /m校核轴的强度与刚度。？如何求解思考两分钟84
43、学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学NB= 45kW，NA= 30kW , NC= 15kWn = 240 r/min G=80GPa, =50MPa= 2 /m解：1. 计算扭矩，绘扭矩图（1）计算转矩（外力偶矩） mA= 9549 NA/n = 1.194 (kNm)同理 mC= 0.597(kNm) ， mB= 1.791 (kNm)d1 = 60mm, d2 = 40mm85学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学（2）求扭矩（内力偶矩）由 mA+ mC - mB = 0 验算： 1.194+0.597-1.791=0AB段： MnAB= mA = -1.194 (kNm)BC段：
44、 MnBC= mC = 0.597 (kNm)（3）绘扭矩图如右图示：2. 校核强度：根据扭矩图分析，危险截面应在AB段和DC段86学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学（1）计算Wn（抗扭截面系数）AB段：DC段：87学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学（2）计算maxAB段：DC段：因为：所以轴是安全的。88学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学3. 校核刚度：（也应校核AB段和DC段两处）AB段：DC段：所以，轴满足刚度条件。89学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学90学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/m
45、in，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合
46、理? ?解：解： 1.1.外力外力 91学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学2.2.扭矩图扭矩图 按刚度条件按刚度条件 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 92学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 5. 5.选同一直径时选同一直径时93学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学6.6.将将主动轮按装在主动轮按装在两从动轮之间两从动轮之间受力合理受力合理94学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学例例例例8-6 8-6 8-6 8-6 图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已
47、知切图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率削功率削功率削功率P P = 8 kW= 8 kW，刀杆转速，刀杆转速，刀杆转速，刀杆转速 n n =60rpm,=60rpm,G G = 80GPa= 80GPa，材料的许，材料的许，材料的许，材料的许用应力用应力用应力用应力 t t t t=60MPa=60MPa=60MPa=60MPa，刀杆的，刀杆的，刀杆的，刀杆的 q q = 0.5 = 0.5 = 0.5 = 0.5/ / / /mm，试根据强度条件和，试根据强度条件和，试根据强度
48、条件和，试根据强度条件和刚度条件确定刀杆的直径。刚度条件确定刀杆的直径。刚度条件确定刀杆的直径。刚度条件确定刀杆的直径。95学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学确定刀杆的扭矩确定刀杆的扭矩根据强度条件确定刀杆件直径根据强度条件确定刀杆件直径根据刚度条件确定刀杆件直径根据刚度条件确定刀杆件直径综合强度和刚度条件，取综合强度和刚度条件，取d =66mm=66mm96学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 圆圆截截面面杆杆扭扭转转时时的的应应力力和和变变形形公公式式, ,均均建建立立在在平平平平面面面面假设假设假设假设 的基础上。的基础上。 对对于于非非圆圆截截面面杆杆, ,受受扭扭时时横横截
49、截面面不不再再保保持持为为平平面面，杆杆的的横横截截面面已已由由原原来来的的平平面面变变成成了了曲曲面面。这这一一现现象象称称为为截面翘曲。截面翘曲。 因因此此, ,圆圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力、变变形形公公式式对对非非圆圆截截面面杆杆均不适用。均不适用。9-8 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介97学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学98学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学非圆截面杆在扭转时有两种情形非圆截面杆在扭转时有两种情形: : 1.1.自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转 在在扭扭转转过过程程中中, ,杆杆的的各各横横截截面面的的翘翘曲曲不不受受任任何何约约束束, ,任任意
50、意两两相相邻邻横横截截面面的的翘翘曲曲程程度度完完全全相相同同。此此时横截面只有切应力时横截面只有切应力, ,而没有正应力。而没有正应力。99学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 2.2.约束扭转约束扭转 扭扭转转时时, ,由由于于杆杆的的端端部部支支座座的的约约束束, ,使使杆杆件件截截面面翘翘曲曲受受到到一一定定限限制制, ,而而引引起起任任意意两两相相邻邻横横截截面面的的翘翘曲曲程度不同程度不同, ,将在横截面上产生附加的正应力。将在横截面上产生附加的正应力。100学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 对对于于矩矩形形和和椭椭圆圆形形的的实实体体截截面面杆杆，由由于于约约束束扭扭
51、转转产产生生的的附附加加正正应应力力很很小小，一一般般可可以以忽忽略略，但但对对于于薄薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。101学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学一、一、矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 在在横横截截面面的的边边缘缘上上各各点点的的切切应应力力均均与与周周边边平平行行, ,且且截截面面的的四四个个角角点点上上切切应应力力均均为为零零。最最大大切切应应力力发发生在长边中点处生在长边中点处. .102学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学103学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学 表3
52、-1矩形截面杆扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743104学习课堂工程力工程力工程力工程力学学学学二、开口薄壁杆件的自由扭转二、开口薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆件开口薄壁杆件: :如角钢、槽钢、工字钢等。如角钢、槽钢、工字钢等。 壁壁厚厚远远小小于于整整个个截截面面的的高高、宽宽尺尺寸寸, ,其其截截面面中中线线是是一一条条不不封封闭闭的的折折线线。开开口口薄薄壁壁杆杆件件在在自自由由扭扭转转时时, ,截面要发生翘曲。截面要发生翘曲。105学习课堂
