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1、 复习课 老河口市第三中老河口市第三中学学 二次函数知识点导航：二次函数知识点导航：1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c及相关符号的确定5、抛物线的平移6、二次函数与一元二次方程的关系7、二次函数的应用题8、二次函数的综合运用本章共分两课时：第一课时复习知识点本章共分两课时：第一课时复习知识点15 第二课时复习知识点第二课时复习知识点8 1 1、二次函数的定义、二次函数的定义定义： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ） 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，
2、y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。 2.当当m_时时,函数函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？是二次函数？2 2、二次函数的图像及性质、二次函数的图像及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0,开口向上开口向上a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大
3、而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. xy0xy0中考链接中考链接：例例 ： （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的的坐标。坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。 （3）x为何值时，为何值时，y随随x的增大而减少，的增大而减少，x为为何值时，何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？值是多少？（4）x为何值时，为何值时，y0？已知二次函数已知二次函数0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0
4、)3 2yx由图象可知：由图象可知： 当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0,则则a+b+c0当当x=1时，时，y0，则，则a+b+c0,则则a-b+c0当当x=-1，y0,则则a-b+c0当当x=-1，y=0,则则a-b+c=0-2 二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的几个的几个特例：特例：1 1）、当、当x=1 x=1 时，时，2 2）、当、当x=-1x=-1时，时，3 3）、当、当x=2x=2时，时，4
5、4）、当、当x=-2x=-2时，时，y= y=y=y=6）、2a+b 0. xyo 1-12 5）、b-4ac 0. a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c 二次函数二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则在下列的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是各不等式中成立的个数是_1-10xyabc0 a+b+c b2a+b=0 开口方向开口方向:向上向上a0;向下向下a0;在在y轴负半轴轴负半轴c0;唯一唯一b2-4ac=0;没有没有b2-4ac0a+b+c由当由当x=1时的点的位置决定时的点的位置决定;a-b+c由当由当x=-1时的点的位置决定时的点的位置决定xy、二次函数、
6、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0, 0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0, 0 0 BACooo中考链接：中考链接
7、：熟练掌握熟练掌握a，b， c，与抛物线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异) c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况： a a 0,b0,b 0,c0,c 0. 0. xyo=6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个
8、数是（其中正确的结论的个数是（ ）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。5 5、抛物线的平移、抛物线的平移左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y
9、=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2y = ax2y = ax2 + k y = a(x h )2y = a( x h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移各种顶点式的二次函数的关系各种顶点式的二次函数的关系左加右减左加右减上加下减上加下减将将 向左平移向左平移3个单位个单位,再向下平移再向下平移2个单位个单位后后,
10、所得的抛物线的关系式是所得的抛物线的关系式是(0,0)(0,k)(h,0)(h,k) 由二次函数由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x26 6二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系我们知道我们知道:代数式代数式b2-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作用.w二次函数二次函数y=axbxc的图象和的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程方程axbxc=0的
11、解。w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :w(1)(1)有两个交点有两个交点w(2)(2)有一个交点有一个交点w(3)(3)没有交点没有交点二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac0, b-4ac0 -316(-1,8)-13. 如图，在同一坐标系中，函数如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与与 y=ax2+bx(ab0)的图象只可能是（的图象只可能是（ ）xyoABxyoCxyoDxyo 4. 4.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c
12、(a0)0)与一与一次函数次函数y=ax+cy=ax+c在同一坐标系内的大在同一坐标系内的大致图象是（）致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C5. 如图，半圆如图，半圆A和半圆和半圆B均与均与y轴相切于点轴相切于点O，其，其直径直径CD、EF均和均和x轴垂直，以轴垂直，以O为顶点的两条抛为顶点的两条抛物线分别经过点物线分别经过点C、E和点和点D、F，则图中阴影部分，则图中阴影部分的面积是的面积是 。 中考链接：中考链接：6 、如图、如图， 已知抛物线已知抛物线 y=ax+bx+3 （a0）与与 x轴交于点轴交于点A(1，0)和点和点B (3，0)，与，与y轴交于点轴交于
13、点C (1) 求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；（2）在在（1）中）中抛物线的对称轴上是否存在点抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得 QAC的周长最小？若存在，求出的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，点的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由. (3) 设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与 x轴交于点轴交于点M, 问在对称轴上是否问在对称轴上是否存在点存在点P，使，使 CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 (4) 如图如图，若点，若点E为第二象限抛物线上一动
14、点，连接为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时面积的最大值，并求此时E点的坐标点的坐标6.如图如图， 已知抛物线已知抛物线y=ax+bx+3 （a0）与）与 x轴交于点轴交于点A(1，0)和点和点B (3，0)，与与y轴交于点轴交于点C (1) 求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；（2）在在（1）中）中抛物线抛物线的对称轴上是否存在点的对称轴上是否存在点Q，使得，使得 QAC的周长的周长最小？若存在，求出最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，点的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由. Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=-x-2x+3Q(
15、-1,2)6.(3) 设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与 x轴交于点轴交于点M ，问在对，问在对称轴上是否存在点称轴上是否存在点P，使，使 CMP为等腰三角形？若为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由以以M M为圆心，为圆心，MCMC为半径画为半径画弧，与对称轴有两交点弧，与对称轴有两交点; ;以以C C为圆心，为圆心，MCMC为半径画弧，为半径画弧，与对称轴有一个交点（与对称轴有一个交点（MCMC为腰）。为腰）。作作MCMC的垂直平分线与对的垂直平分线与对称轴有一个交点（称轴有一个交点（MC
16、MC为底为底边）。边）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)6.(4) 如图如图，若点，若点E为为第二象限第二象限抛物线上一抛物线上一动点，连接动点，连接BE、CE，求四边形，求四边形BOCE面积面积的最大值，并求此时的最大值，并求此时E点的坐标点的坐标EF(1,0)(0,3)(-3,0)(m,-m-2m+3 )课堂小结：1、二次函数的概念：、二次函数的概念： 二次函数的概念：函数二次函数的概念：函数y= (a、b、c为常数，其中为常数，其中 )叫做二次函数。叫做二次函数。2、二次函数的图象：、二次函数的图象： 二次函数的图象是一条二次函数的图象是一条抛物线抛物线。3、二次函数的性质：、二次函数的性质： 包括抛物线的包括抛物线的三要素三要素，最值最值，增减性增减性。4、抛物线的平移抛物线的平移5、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系 6 、二次函数的综合运用二次函数的综合运用二次函数的综合运用二次函数的综合运用7 、二次函数的实际应用二次函数的实际应用二次函数的实际应用二次函数的实际应用ax2+bx+ca
