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1、2.12.1 随机变量及其随机变量及其分布分布2.2 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.3 随机变量的方差与标准差随机变量的方差与标准差2.4 常用离散分布常用离散分布2.5 常用连续分布常用连续分布2.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.7 分布的其他特征数分布的其他特征数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.22.1 随机变量及其分布随机变量及其分布 (1 1) 掷一颗骰子，掷一颗骰子， 出现的点数出现的点数 X1，2，6. (2) n个产品中的不合格品个数个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3) 某商场一天内来的顾客数某商场一天内来的顾客数 Z 0，1
2、，2， (4) 某种型号电视机的寿命某种型号电视机的寿命 T ： 0, + )2.32.1.1 随机变量的定义随机变量的定义定义定义2.1.1 设设 = 为某随机现象的样本空间，为某随机现象的样本空间， 称称定义在定义在 上上的的实值函数实值函数X=X( )为为随机变量随机变量.2.4注注 意意 点点 (1) 随机变量随机变量X( )是样本点是样本点 的函数，的函数， 其其定义域定义域为为 ，其，其值域值域为为R = (，) 若若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，表示掷一颗骰子出现的点数， 则则 X=1.5 是不可能事件是不可能事件. (2) 若若X为随机变量，则为随机变量，则 X = k 、
3、a X b 、 均为随机事件均为随机事件.即即 a X b = ；a X( ) b 2.5注注 意意 点点(3) 注意以下一些表达式：注意以下一些表达式： X = k= X k X k； a b = X b. (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量同一样本空间可以定义不同的随机变量.2.6掷一枚骰子，掷一枚骰子，令令X =出现的点数出现的点数,则则X 就是一个随机就是一个随机变量变量, ,它的取值为它的取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6我们还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：我们还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：等等等等实例实例6高级教学2.7若随机变量若随机变
4、量 X 可能取值的个数为可能取值的个数为有限个有限个或或 可列个可列个，则称，则称 X 为为离散离散随机变量随机变量. .若随机变量若随机变量 X 的可能取值的可能取值充满充满某个区间某个区间 a, b，则称，则称 X 为为连续连续随机变量随机变量. .前例中的前例中的 X, Y, Z 为为离散离散随机变量随机变量； 而而 T 为为连续连续随机变量随机变量. .两类随机变量两类随机变量2.8定义定义2.1.2 设设X为一个随机变量，对任意实数为一个随机变量，对任意实数 x， 称称 F(x)=P( X x) 为为 X 的的分布函数分布函数.基本性质基本性质： (1) F(x) 单调不降；单调不降
5、； (2) 有界：有界：0 F(x) 1，F()=0，F(+ )=1； (3) 右连续右连续.2.1.2 随机变量随机变量的分布函数的分布函数2.9用分布函数表示事件的概率用分布函数表示事件的概率2.102.1.3 离散随机变量的分布列离散随机变量的分布列设离散随机变量设离散随机变量 X 的可能取值为：的可能取值为：x1，x2，xn， 称称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 为为 X 的的分布列分布列.分布列也可用表格形式表示：分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 2.11分布列的基本性质分布列的基本性质 (1) pi 0， (2)(正则性正则性)(非负
6、性非负性)2.12注注 意意 点点 (1)求求离散随机变量的离散随机变量的分布列分布列应注意应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值; ; (2) 计算每个取值点的概率计算每个取值点的概率. 2.13例例2.1.1从从1 11010这这1010个数字中随机取出个数字中随机取出5 5个数字，令个数字，令 X：取出的：取出的5 5个数字中的最大值个数字中的最大值试求试求 X 的分布的分布列列具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布的分布列列： 解：解：X 的取值为的取值为5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，101013高级教学2.14例例2.1.2已知已知 X
7、 的分布列如下：的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求求X 的分布函数并画图的分布函数并画图. .解：解：2.152.16注注 意意 点点 (2) 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数应注意应注意： (1) F(x)是递增的是递增的阶梯函数阶梯函数; ; (2) 其间断点均为右连续的其间断点均为右连续的; ; (3) 其间断点即为其间断点即为X的可能取值点的可能取值点; ; (4) 其间断点的其间断点的跳跃高度跳跃高度是对应的概率值是对应的概率值.2.17X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：例例2.1.3已知已知 X 的分布函数如下的分布函数如下, ,
8、求求 X 的分布列的分布列. .2.182.1.4 连续连续随机变量的密度函数随机变量的密度函数连续随机变量连续随机变量X的可能取值充满某个区间的可能取值充满某个区间 (a, b).因为对因为对连续随机变量连续随机变量X，有，有P(X=x)=0， 所以所以无法无法仿离散随机变量用仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续来描述连续随机变量随机变量X的分布的分布.注意离散随机变量与注意离散随机变量与连续随机变量的差别连续随机变量的差别. .2.19定义定义2.1.4设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x),则称则称 X 为为连续随机变量连续随机变量，若存在非负可积函数若存在非负可
9、积函数 p(x) ，满足：满足：称称 p(x)为为概率密度函数概率密度函数，简称简称密度函数密度函数.2.20密度函数的基本性质密度函数的基本性质满足满足(1) (2)的函数都可以看成某个的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数.(非负性非负性)(正则性正则性)2.21注意点注意点(1) (1) (2) F(x) 是是 ( , +) 上的连续函数上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x) F(x 0) = 0; 2.22 (4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b) F(a).注意点注意点(2)(5) 当当F(x) 在在x点可
10、导时点可导时, p(x) =当当F(x) 在在x点不可导时点不可导时, 可令可令p(x) =0.2.23连续型连续型1.密度函数密度函数 X p(x) ( 不唯一不唯一 )2.4. P(X=a) = 0离散型离散型1.分布列分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(a a 和和 B = Y a 独立，独立，解解: 因为因为 P(A) = P(B), P(A B) = P(A)+P(B) P(A)P(B)从中解得从中解得且且 P(A B)=3/4, 求常数求常数 a .且由且由A、B 独立，得独立，得= 2P(A) P(A)
11、2 = 3/4从中解得从中解得: P(A)=1/2, 由此得由此得 0a a )例例2.1.62.27 设设 X p(x)，且，且 p( x) = p(x)，F(x)是是 X 的分布函的分布函数，数， 则对任意实数则对任意实数 a0，有，有( ) F( a) =1 F( a)= F( a) = F(a) F( a) = 2F(a) 1课堂练习课堂练习2.282.2 随机变量的数学期望随机变量的数学期望分赌本问题分赌本问题( (17世纪世纪) ) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元元.无平局，谁先赢无平局，谁先赢3 3局，则获全部赌注局，则获全部赌注.当甲当甲赢赢2局
12、、乙局、乙赢赢1局时，中止了赌博局时，中止了赌博.问如何分赌本问如何分赌本?2.29两种分法两种分法 1. 按已赌局数分：按已赌局数分： 则甲分总赌本的则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的按已赌局数和再赌下去的“期望期望” 分：分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的、乙分总赌本的1/4 2.302.2.1 数学期望数学期望的概念的概念 若按已赌局数和再赌下去的若按已赌局数和再赌下去的“期望期望” 分，分， 则甲的所得
13、则甲的所得 X 是一个可能取值为是一个可能取值为0 或或100 的随机变量，其分布列为：的随机变量，其分布列为： X 0 100P 1/4 3/4甲的甲的“期望期望” 所得是：所得是：0 1/4 +100 3/4 = 75.2.312.2.2 数学期望的定义数学期望的定义定义定义2.2.1 设离散随机变量设离散随机变量X的分布列为的分布列为P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若级数若级数绝对收敛，则称该级数为绝对收敛，则称该级数为X 的的数学期望数学期望，记为记为2.32数学期望简称为数学期望简称为期望期望.数学期望又称为数学期望又称为均值均值.数学期望是一种数学期望是一种加权
14、平均加权平均.注注 意意 点点2.33例例2.2.1则则E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.32.34例例2.2.2 分组验血分组验血2.35解解2.362.372.38到站时刻到站时刻概率概率例例2.2.32.39解2.402.41连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望定义定义2.2.2 设连续随机变量设连续随机变量X的密度函数为的密度函数为p(x), 若积分若积分绝对收敛，则称该积分为绝对收敛，则称该积分为X 的的数学期望数学期望，记为记为2.42例例2.2.4 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为
15、的概率密度函数为求求EX 。2.43解解随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望引例引例 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为2.44则有则有因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X), 且且则有则有2.452.2.3 数学期望的性质数学期望的性质定理定理2.2.1 （随机变量函数的数学期望）（随机变量函数的数学期望） 设设 Y=g(X) 是随机变量是随机变量X的函数，若的函数，若 E(g(X)存在，则存在，则2.46例例2.2.5 设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为求求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+
16、2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/42.47数学期望的性质数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)2.48例例2.2.6设设 X 求下列求下列 X 的函数的数学期望的函数的数学期望.(1) 2X 1, (2) (X 2)2解解: (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2 = 11/6. 2.492.3 随机变量的方差与标准差随机变量的方差与标准差数学期望反映了数学期望反映了X 取值的取值的中心中心.方差反映了方差反映了X 取值的取值的离散程度离散程度.
17、2.502.3.1 方差与标准差的定义方差与标准差的定义定义定义2.3.1 若若 E(X E(X)2 存在，则称存在，则称 E(X E(X)2 为为 X 的方差，记为的方差，记为Var(X)=D(X)= E(X E(X)2 2.51(2) 称称注注 意意 点点 X = (X)=(1) 方差反映了随机变量相对其均值的方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度偏离程度. . 方差越大方差越大, , 则随机变量的取值越分散则随机变量的取值越分散. .为为X 的的标准差标准差.标准差的量纲与标准差的量纲与随机变量随机变量的量纲相同的量纲相同.2.522.3.2 方差的性质方差的性质(1) Var(c)=0
18、. 性质性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2) E(X)2. 性质性质 2.3.12.53例例2.3.1 设设 X , 求求 E(X), Var(X).解解: (1) E(X)= 1(2) E(X2) = 7/6所以所以, Var(X) = E(X2) E(X)2 = 7/6 1 = 1/62.54课堂练习课堂练习 设设，则方差，则方差 Var(X)=( )。问题：问题：Var(X) = 1/6, 为什么为什么？2.55随机变量的标准化随机变量的标准化 设设 Var(X)0, 令令则有则有 E(Y)=0, Va
19、r(Y)=1.称称 Y 为为 X 的的标准化标准化.2.562.3.3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的方差存在的方差存在(这时均值也存在这时均值也存在), 则则 对任意正数对任意正数，有下面不等式成立，有下面不等式成立2.57 例例2.3.2设设 X证明证明证明证明: :E(X) = n+1E(X2) = (n+1)(n+2)所以所以, ,Var(X) = E(X2) (EX)2 = n+1,(这里这里, = n+1)由此得由此得2.58定理定理 2.3.2 Var(X)=0P(X=a)=12.592.4 常用离散分布常用离散分布 2.4.1 二项分布二项分布 记为记为
20、 X b(n, p).X为为n重伯努利试验中重伯努利试验中“成功成功”的次数的次数,当当n=1时，称时，称 b(1, p) 为为 0- -1分布或两点分布分布或两点分布.2.60 试验次数为试验次数为 n=4, “成功成功”即取得合格品的概率为即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以所以, X b(4, 0.8) 思考思考： 若若 Y 为不合格品件数，为不合格品件数，Y ？Y b(4, 0.2) 一批产品的合格率为一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取有放回地抽取4次次, 每次一件每次一件, 则取得合格品件数则取得合格品件数 X 服从二项分布服从二项分布.2.61200件产品中件产品中,有有
21、190件合格品件合格品,10件不合格品件不合格品,现从中现从中随机抽取一件随机抽取一件, 若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X b(1, 0.04) .2.62 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2.63二项分布的图形二项分布的图形2.64分析分析2.65解解2.66图示概率分布图示概率分布2.67已知随机变量已
22、知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有两点分布的期望和方差两点分布的期望和方差2.68则有则有二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差2.692.702.712.72 例例2.4.1 设设X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知已知 P(X 1) = 8/9， 求求 P(Y 1).解解: 由由 P(X 1) = 8/9 ，知，知 P(X=0) = 1/9. 由此得：由此得： P(Y 1) = 1 P(Y=0)所以所以 1/ 9 = P(X=0) =(1 p)2，从而解得从而解得: p = 2/3.= 1- 1- (1 p)4 4 = 80/81.2.73 有一繁忙的汽车站有一繁忙
23、的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少? 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解例例2.4.2故所求概率为故所求概率为二项分布二项分布 泊松分泊松分布布2.74若随机变量若随机变量 X 的概率分布为的概率分布为则称则称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 记为记为 X P( ).2.4.2 泊
24、松分布泊松分布2.75泊松分布的图形泊松分布的图形2.76则有则有泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差设设X P( )，其分布律为，其分布律为2.77所以所以2.78泊松定理泊松定理定理定理2.4.1 ( (二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似) )在在n重伯努里试验中，记重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中为一次试验中成功的概率成功的概率. .若若 npn ，则，则2.79 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率为所求概率为解解例例2.4.22.4.2续续 一繁忙的汽车站一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过
25、每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?2.80记为记为 X h(n, N, M).超几何分布对应于不返回抽样模型超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有个产品中有 M 个不合格品，个不合格品， 从中抽取从中抽取n个，不合格品的个数为个，不合格品的个数为X .2.4.3 超几何分布超几何分布2.81记为记为 X Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中，为独立重复的伯
26、努里试验中， “首次成功首次成功”时的试验次数时的试验次数. 几何分布具有无记忆性，即：几何分布具有无记忆性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 几何分布几何分布2.82负二项分布负二项分布(巴斯卡分布巴斯卡分布)记为记为X Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中，为独立重复的伯努里试验中， “第第 r 次成功次成功”时的试验次数时的试验次数.2.83注注 意意 点点 (1) 二项随机变量是独立二项随机变量是独立 0- -1 随机变量之和随机变量之和. (2) 负二项随机变量是负二项随机变量是独立独立几何随机变量之和几何随机变量之和.2.84常用离
27、散分布的数学期望常用离散分布的数学期望 几何分布几何分布Ge(p) 的数学期望的数学期望 = 1/p 0- -1 分布的数学期望分布的数学期望 = p 二项分布二项分布 b(n, p)的数学期望的数学期望 = np 泊松分布泊松分布 P( ) 的数学期望的数学期望 = 2.85常用离散分布的方差常用离散分布的方差 0 0- - - -1 1 分布的方差分布的方差分布的方差分布的方差 = = p p(1(1 p p) ) 二项分布二项分布二项分布二项分布 b b( (n n, , p p) )的方差的方差的方差的方差 = = npnp(1(1 p p) ) 泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布 P
28、P( ( ) ) 的方差的方差的方差的方差= = 几何分布几何分布几何分布几何分布GeGe( (p p) ) 的方差的方差的方差的方差 = (1= (1 p p)/ )/p p2 22.862.5 常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布正态分布正态分布、均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布、指数分布指数分布指数分布指数分布、伽玛分布伽玛分布伽玛分布伽玛分布、贝塔分布贝塔分布贝塔分布贝塔分布。2.87记为记为X N( , 2),其中其中 0， 是任意实数是任意实数. 是位置参数是位置参数. 是尺度参数是尺度参数. .2.5.1 正态分布正态分布2.88P(x)x2.89正态概率密度函数的几何特征正
29、态概率密度函数的几何特征p(x)2.90p(x)p(x)2.91p(x)2.92p(x)x0x x标准正态分布标准正态分布N(0, 1)密度函数记为密度函数记为 (x),分布函数记为分布函数记为 (x).2.93 (x) 的计算的计算(1) x 0 时时, 查标准正态分布函数表查标准正态分布函数表.(2) x a) =1 (a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若若a 0, 则则 P(|X|a) = P( aX 1.96) , P(|X| 1.96)P(|X|1/2, 所以所以 b 0, 反查表反查表得得: (1.66) = 0.9515, 故故 b = 1.66而而 (a
30、) = 0.0495 1/2,所以所以 a 0, ( a) = 0.9505, 反查表反查表得得: (1.65) = 0.9505, 故故 a = 1.65例例2.5.22.96一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化定理定理2.5.1 设设 X N( , 2),则则 Y N(0, 1).推论推论: 若若 X N( , 2), 则则2.97若若 X N( , 2), 则则 P(Xa) = 2.98 设设 X N(10, 4), 求求 P(10X13), P(|X 10|2).解解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X 10|2) = P(8Xk = PXk,
31、 则则 k = ( ).3课堂练习课堂练习(1)2.101 设设 X N( , 42), Y N( , 52), 记记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则则( ) 对任意对任意的的 ，都有，都有 p1 = p2 对任意对任意的的 ，都有，都有 p1 p2课堂练习课堂练习(2)2.102 设设 X N( , 2), 则随则随 的增大，的增大， 概率概率 P| X | ( ) 单调增大单调增大 单调减少单调减少 保持不变保持不变 增减不定增减不定课堂练习课堂练习(3)2.103正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差则有则有2.1042.105正态分布的正态分布的 3 原则原则设设 X
32、 N( , 2), 则则 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 则则 P(A) = P( X 3) = 2/3设设 Y 表示三次独立观测中表示三次独立观测中 A 出现的次数出现的次数,则则 Y b(3, 2/3)，所求概率为，所求概率为 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例例2.5.52.108均匀分布的期望和方差均匀分布的期望和方差则有则有2.1092.1102.5.3 指数分布指数分布记为记为 X Exp( ), 其中其中 0.特别特别：指数分布具有无忆性，即：指数分布具有无忆性，即：P( X
33、s+t | X s )=P( X t )2.111指数分布的期望和方差指数分布的期望和方差 则有则有设设 X Exp( ), 密度函数为密度函数为 2.1122.1132.5.4 伽玛分布伽玛分布记为记为 X Ga( , ),其中其中 0， 0.为为伽玛函数伽玛函数.称称2.114注意点注意点 (1) (1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp( )Ga(n/2, 1/2) = 2(n)2.1152.5.5 贝塔分布贝塔分布记为记为 X Be(a, b), 其中其中a 0，b 0.称称为为贝塔函数贝塔函数.2.116注意点注意点 (1) (2) B
34、(a, b) =B(b, a)B(a, b) = (a) (b) / (a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)2.117常用连续分布的数学期望常用连续分布的数学期望 均匀均匀分布分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数指数分布分布 Exp( ) : E(X) = 1/ 正态正态分布分布 N( , 2) : E(X) = 伽玛伽玛分布分布 Ga( , ) : E(X) = / 贝塔贝塔分布分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)2.118常用连续分布的方差常用连续分布的方差 均匀均匀分布分布 U(a, b) 的方差的方差 = (b a)2/12
35、 指数指数分布分布 Exp( ) 的方差的方差= 1/ 2 正态正态分布分布 N( , 2) 的方差的方差= 22.119例例2.5.6 已知随机变量已知随机变量 X 服从二项分布，且服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数则参数 n, p 的值为的值为多少多少？例例2.5.7 设设 X 表示表示 10 次独立重复射击命中目标次独立重复射击命中目标 的次的次数数,每每 次射中目标的概率为次射中目标的概率为0.4, 则则 E(X2)的值为的值为多少？多少？解：解：从从 2.4= np, 1.44 = np(1 p) 中解得中解得解：解：因为因为 E(X) = np
36、 = 4, Var(X)= 2.4, 所以所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.42.120 设设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常，则对任意常 数数 C， 必有（必有（ ）.课堂练习课堂练习2.1212.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题：问题：已知已知 X 的分布，求的分布，求 Y = g(X) 的分布。的分布。例如：例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .2.122 当当 X 为离散随机变量时，为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量为离散随机变量. 将将g(xi) 一一列
37、出一一列出, 再将相等的值合并即可再将相等的值合并即可. 2.6.1 离散离散随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.123Y 的分布律为的分布律为例例2.6.1 设设解解2.124 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数解解例例2.6.22.6.2 连续随机变量函数的分布连续随机变量函数的分布1 当当g(x)为严格单调时为严格单调时2.125第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.2.1262.6.2 连续随机变量函数的分布连续随机变量函数的分布定理定理2.6.1 设设 X pX(x)，y = g(x) 是是 x 的严格的严格 单调函数，记单调函数，记 x
38、= h(y) 为为 y = g(x) 的反函数的反函数, 且且h(y)连续可导，则连续可导，则Y = g(X)的密度函数为的密度函数为:2.127例例2.6.3 设设 X 求求 Y =eX 的分布的分布.y = ex 单调可导单调可导,反函数反函数 x = h(y) = lny,所以当所以当 y 0 时时,由此得由此得解：解：2.128解解2 当当g(x)为其他形式时为其他形式时例例2.6.4的概率密度。的概率密度。2.129再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度.2.130正态变量的线性不变性正态变量的线性不变性定理定理2.6.2 设设 X N ( , 2)，则当，则当a 0 时，时，
39、 Y = aX+b N (a +b, a2 2).由此得：由此得： 若若 X N ( , 2)， 则则 Y = (X )/ N(0, 1).2.131对数正态分布对数正态分布定理定理2.6.3 设设 X N ( , 2)，则，则 Y = e X 的服从的服从2.132伽玛分布的有用结论伽玛分布的有用结论定理定理2.6.4 设设 X Ga ( , )，则当，则当k 0 时，时， Y = kX Ga ( , /k).2.133均匀分布的有用结论均匀分布的有用结论 定理定理2.6.5 设设 X FX (x)，若，若FX (x)为严格单调增的连为严格单调增的连 续函数，则续函数，则Y = FX (X)
40、 U(0, 1).2.1342.7 分布的分布的其它特征数其它特征数矩、变异系数、分位数、中位数矩、变异系数、分位数、中位数2.1352.7.1 k 阶原点矩和中心矩阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩阶原点矩： k = E(Xk) ， k = 1, 2, . 注意注意: 1 = E(X). k 阶中心矩阶中心矩： k = EX E(X)k ， k = 1, 2, . 注意注意: 2 = Var(X). 定义定义2.7.12.1362.7.2 变异系数变异系数定义定义2.7.2 为为 X 的变异系数的变异系数.作用：作用：称称CV 是无量纲的量是无量纲的量, 用于比较用于比较量纲不量纲不同同的两个随
41、机变量的波动大小的两个随机变量的波动大小.2.1372.7.3 分位数分位数P P( ( X X x xp p ) = ) = F F( (x xp p) = ) = p p定义定义定义定义2.7.32.7.3 设设设设 0 0 p p 1 1， 若若若若 x xp p 满足满足满足满足则称则称则称则称 x xp p 为此分布为此分布为此分布为此分布 p p - - - - 分位数，分位数，分位数，分位数，亦称亦称亦称亦称 x xp p 为为为为下侧下侧下侧下侧 p p - - - - 分位数分位数分位数分位数. .2.138注注 意意 点点(1) (1) 因为因为因为因为 X X 小于等于小
42、于等于小于等于小于等于 x xp p 的可能性为的可能性为的可能性为的可能性为 p p ， 所以所以所以所以 X X 大于大于大于大于 x xp p 的可能性为的可能性为的可能性为的可能性为 1 1 p p . .(2) (2) 对离散分布不一定存在对离散分布不一定存在对离散分布不一定存在对离散分布不一定存在 p p - - - - 分位数分位数分位数分位数. .(3)(3) 2.139上侧上侧 p - 分位数分位数若记若记若记若记 x x p p 为为为为上侧上侧上侧上侧 p p - - - - 分位数，即分位数，即分位数，即分位数，即则则则则P P( (X X x x p p) ) = =
43、 p p 2.1402.7.4 中位数中位数定义定义定义定义2.7.42.7.4 称称称称 p p = 0.5 = 0.5 时的时的时的时的p p 分位数分位数分位数分位数 x x0.5 0.5 为为为为中位数中位数中位数中位数. .2.141中位数与均值中位数与均值 相同点相同点相同点相同点：都是反映随机变量的位置特征都是反映随机变量的位置特征都是反映随机变量的位置特征都是反映随机变量的位置特征. . 不同点不同点不同点不同点： 含义不同含义不同含义不同含义不同. .2.142统计中常用的统计中常用的 p - - 分位数分位数 (1) (1) N N(0, 1)(0, 1)： Z Z , , U U (2) (2) 2 2( (n n) )： (3) (3) t t ( (n n) )： (4) (4) F F ( (n, mn, m) )：
