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1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.定义：定义： 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示用有向线段表示. .字母表示法：字母表示法： 用字母用字母a a, ,b b等或者等或者用有向用有向线段段的起点与的起点与终点字母点字母 表示表示相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD引入引入 复习平面向量复习平面向量向量的加法：向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则(
2、(首尾相连首尾相连) )平面向量的平面向量的加减加减法运算法运算向量的减法向量的减法三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点减向量减向量被减向量被减向量看下面建筑看下面建筑 这个建筑钢架这个建筑钢架中有很多向量，但中有很多向量，但它们有些并不在同它们有些并不在同一平面内一平面内这就这就是我们今天要学习是我们今天要学习的的空间向量空间向量. 1. 1. 空间向量空间向量 在空间，我们把在空间，我们把具有大小和方向具有大小和方向的量叫做的量叫做空间向量（空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的长度长度或或模模 (modul
3、us).探究点探究点1 1 概念概念2. 2. 空间向量的表示空间向量的表示AB 向量向量 的起点是的起点是A，终点是，终点是B，则向量，则向量 也可以记作也可以记作AB，其，其模记为模记为| |或或|AB| （1 1）我们规定，长度为）我们规定，长度为0 0的向量叫做的向量叫做零向量零向量（zero vectorzero vector），记为），记为 . .当有向线段的起点当有向线段的起点A A与与终点终点B B重合时，重合时，AB AB = = . . （2 2）模为）模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量（unit vectorunit vector）. . （3 3）两个向量不
4、能比较大小两个向量不能比较大小，因为决定向量的两，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小方向不能比较大小. .提升总结提升总结 3. 3. 相反向量相反向量 与向量与向量 长度相等而方向相反的向量长度相等而方向相反的向量,称为称为 的相反向量，记为的相反向量，记为 . 4. 4. 相等向量（相等向量（equal vectorequal vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量. （1 1）空间的一个平移就是一个向量）空间的一个平移就是一个向量. . （2 2）向量一般用有向线段表示）向量一般用有向线段表示,
5、,同向等长的同向等长的有向线段表示同一或相等的向量有向线段表示同一或相等的向量 . . （3 3）空间的两个向量可用同一平面内的）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示两条有向线段来表示. . 提升总结提升总结 结论：结论：空间任意两个向量都是共面向量空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.bAOBaba1. 1. 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同的加
6、减运算相同. .AoabB探究点探究点2 2 空间向量的加减运算空间向量的加减运算aoACa+bbBa-b加法加法: : OB=OA+AB=a+bOB=OA+AB=a+b，减法：减法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.b2. 2. 空间向量的加法运算律空间向量的加法运算律 （1 1）加法交换律加法交换律 a + b = b + a （2 2）加法结合律加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能证明你能证明下列性质吗下列性质吗？证明加法结合律证明加法结合律: :abca + b + c a + b ABCO因为因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+B
7、C=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1) (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广. . (2) (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立成立. . (3) (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加相加. .3.3.对空间向量的加减法的说明对空间向量的加减法的说明4.4.扩展扩展 （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量
8、的起点指向末尾向量的终点的量起始向量的起点指向末尾向量的终点的量即：即： （2 2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：形，则它们的和为零向量即：例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCD- -A A B B C C D D ，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量表达式，并标出化简结果的向量.ABCDA B C D 提升总结提升总结 始点相同的三个不共面向量之和始点相同的三个不共面向量之和，等于，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量点为始点
9、的体对角线所表示的向量. .ABCDA B C D 1.1.给出以下命题：给出以下命题：（1 1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同. .（2 2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 . .（3 3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 . .（4 4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则则 . .（5 5）空间中任意两个单位向量必相等）空间中任意两个单位向量必相等. .其中其中不正确不正确命题的个数是（命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4C CD D提升总结提升总结1.1.两个向量的模相等
10、，则它们的长度相等，但方向两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量不确定，即两个向量( (非零向量非零向量) )的模相等是两个向的模相等是两个向量相等的必要不充分条件量相等的必要不充分条件2.2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键一、回顾本节课你有什么收获？一、回顾本节课你有什么收获？1.1.空间向量的概念空间向量的概念. . 在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量. .2.2.空间向量的加减运算空间向量的加减运算. . 空间向
11、量的加减运算空间向量的加减运算: :三角形法则和平行四三角形法则和平行四边形法则边形法则. .3.3.空间向量的加法符合交换律，结合律空间向量的加法符合交换律，结合律. .4.4.平面向量与空间向量平面向量与空间向量. . 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量成为同一平面内的向量. . 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们向量中有关结论仍适用于它们. . 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小定义定义表示法表示法向量的模向量的模平面向量平面向量空间向量空间向
12、量具有大小和方向的量具有大小和方向的量在空间，具有大小和方在空间，具有大小和方向的量向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小二、空间向量的基本概念二、空间向量的基本概念相等向量相等向量相反向量相反向量单位向量单位向量零向量零向量平面向量平面向量空间向量空间向量 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1 1的向量的向量模为模为1 1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量方向相同且模相等的方向相同且模相等的向量向量方向相同且模相等的向方向相同且模相等的向量量平面向量平面向量空间向量空间向量加法减法加法减法运算运算加法：三角形法则或平加法：三角形法则或平行四边形法则行四边形法则减法：三角形法则减法：三角形法则运算律运算律加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律加法加法: :三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法: :三角形法则三角形法则加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律三、空间向量的加法、减法运算三、空间向量的加法、减法运算作业：优化方案作业：优化方案作业：优化方案作业：优化方案
