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1、一元二次不等式的定义象x 5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式探究一元二次不等式x 5x 0的解集怎样求不等式1的解集呢？探究：1二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：x1 0,x25二次函数有两个零点：x1 0,x25于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。2观察图象，获得解集画出二次函数y x 5x的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时，y0,即x 5x 0；当 0x5 时，函数图象位于 x 轴下方，此时，y0 与ax bx c 0与 x 轴的相关位置，分为三种
2、情况，这可以由一元二次方程ax bx c=0 的判别式 b 4ac三种取值情况( 0，=0，0来确定.因此，要分二种情况讨论2a0222222221分O，=0，0 与ax bx c0(或0) 计算判别式，分析不等式的解的情况：.0 时，求根x1x2，2若A 0，则x x1或 x2；若A 0，则x1 x x2.若A 0，则x x0的一切实数；.=0 时，求根x1x2x0，若A 0，则x；若A 0，则x x .0.0 时，方程无解，若A 0，则xR；若A 0，则x. 写出解集.求解不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉， 可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。2x2+3x-40-
3、4x1 或。(x+4)(x-1)0或或原不等式解集为x|-4x1。x2+3x-40(x+)2|x+|-x+-4x1。原不等式解集为x|-4x1。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式， 通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按一、按x项的系数项的系数a的符号分类，即的符号分类，即a 0,a 0,a 0; ;例例 1 1解不等式：ax2a 2x 1 0分析：分析：此题二次项系数含有参数， a 24a a2 4 0，故只需对二次项22系数进行分类讨论。解解： a 24a a2 4 02a 2a2 4a2a24解得方程ax a 2x 1
4、 0两根x1, x22a2a2 a 2a2 4 a 2a2 4或x 当a 0时,解集为x | x 2a2a当a 0时，不等式为2x 1 0,解集为x | x 122 a 2a2 4 a 2a 4 x 当a 0时, 解集为x |2a2a3二、按判别式二、按判别式的符号分类，即的符号分类，即 0, 0, 0；例例 2 2 解不等式x2 ax 4 0分析分析 此题中由于x2的系数大于 0,故只需考虑与根的情况。解：解： a216当a 4,4即 0时，解集为R；当a 4即0 时，解集为x xR且x a2；当a 4或a 4即 0, 此 时 两 根 分 别 为xa a21612xa a21622，显然x1
5、 x2,不等式的解集为x x a a216或xa a21622例例 3 3 解不等式m21x24x 1 0mR解解 因m21 0, (4)24m21 43m2所以当m 3，即 0时，解集为x | x 12；当3 m 3，即 0时，解集为23m223m2x x 或xm21m21；当m 3或m 3，即 0时，解集为 R。4，三、按方程三、按方程ax bx c 0的根的根x1,x2的大小来分类，即的大小来分类，即x1 x2,x1 x2,x1 x2；例例 4 4 解不等式x (a 221)x 1 0 (a 0)a1) 0，故对应的方程必有两解。此题a分析：分析：此不等式可以分解为：x a(x 只需讨论两根的大小即可。解：解：原不等式可化为：x a(x 当a 1或0 a 1时，a 11) 0，令a ，可得：a 1aa1，故原不等式的解集为x | a x a1；a当a 1或a 1时，a 1,可得其解集为；a11,解集为x | x a。aa当1 a 0或a 1时,a 5
