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1、2.3 2.3 微分方程的经典解法微分方程的经典解法齐次解齐次解(Homogeneous Solution)：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根特征根特征根互不相等单根，则齐次解：互不相等单根，则齐次解：求解流程求解流程写出齐次解形式自由响应（系数待定）写出齐次解形式自由响应（系数待定）特特 解解( (Particular Solution) )：据微分方程右端激励信号的据微分方程右端激励信号的 函数形式函数形式写出写出含待定系数的特解函数式含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数得到特解代入原方程，比较系数得到特解受迫响应。受迫响应。全全 解解 = = 齐次解齐次解+ +特解特解 （
2、由（由n n个初始条件定出齐次解）个初始条件定出齐次解）有一有一k k阶重根阶重根则齐次解：则齐次解：典型激励函数相应的特解典型激励函数相应的特解激励函数激励函数f(t)响应函数响应函数y(t)的特解的特解不等于特征根不等于特征根等于特征单根等于特征单根例：例：解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为特征根特征根齐次解的表达式为齐次解的表达式为例：例：如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。分别求两种情况下此方程的特解。 给定系统方程为给定系统方程为为使等式两端平衡，选特解函数式为使等式两端平衡，选特解函数式 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 （推导见讲义 p2）等式两端各对应
3、幂次的系数应相等，有：等式两端各对应幂次的系数应相等，有：联立求解得：联立求解得：得特解：得特解： 其中其中B是待定系数。是待定系数。说明：说明：微分方程的解限于微分方程的解限于2.2.起起始条件（状态）：始条件（状态）：反映系统的历史状态，与反映系统的历史状态，与激励无关激励无关初初始条件（状态）：始条件（状态）：确定全解所需的边界条确定全解所需的边界条件。件。，表示表示任意时刻任意时刻在在连续连续；则表示则表示有跳变。有跳变。在在说明：说明：全响应自由响应受迫响应全响应自由响应受迫响应(Natural + ForcedResponse)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-i
4、nput + Zero-state Response)暂态响应暂态响应+ +稳态响应稳态响应(Transient + Steady-state Response)系统响应：系统响应： 或固有响应；由系统本身特性决定，与或固有响应；由系统本身特性决定，与 外加激励的形式无关。对应于齐次解。外加激励的形式无关。对应于齐次解。 形式受迫于外加激励。对应于特解。形式受迫于外加激励。对应于特解。 指全响应中暂时出现的有关成分；即随指全响应中暂时出现的有关成分；即随着时间着时间t 的延续，终将消失的响应。的延续，终将消失的响应。 全响应中全响应中随着时间随着时间t t 延续，最终可以保留延续，最终可以保留
5、 下来的响应下来的响应。 无外加激励信号作用，仅由初始状态无外加激励信号作用，仅由初始状态作用于系统所产生的响应。作用于系统所产生的响应。 不考虑系统不考虑系统原始原始储能的作用（初始状态储能的作用（初始状态），仅由外加激励作用于系统所产生的），仅由外加激励作用于系统所产生的 响应。响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：受迫响应：受迫响应：(3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：系统响应系统响应一般情况下换路期间，电容两端的端电压和流过电感中一般情况下换路期间，电容两端的端电压和流过电感中的电流不会发生突变。即电路分析中的换路开关定理：的电流不会发生突变。即电路分析中的换路开关定理：解释-1但当有冲激电流强迫作用于电容，或有冲激电压强迫但当有冲激电流强迫作用于电容，或有冲激电压强迫作用于电感时，状态就会发生跳变作用于电感时，状态就会发生跳变当系统用微分方程表示时，系统从起始状态到初始条件当系统用微分方程表示时，系统从起始状态到初始条件有无跳变：取决于微分方程右端是否包含冲激信号及其各有无跳变：取决于微分方程右端是否包含冲激信号及其各阶导函数。阶导函数。 (讲义例题2.3-1)对于一个具体的电网络，系统的初始状态就是指系统中对于一个具体的电网络，系统的初始状态就是指系统中储能元件的储能情况储能元件的储能情况
