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1、第二章第二章 解析函数解析函数2.1复变函数的概念2.2解析函数的充要条件2.3初等解析函数涸睫烤废汁幕虫杖炊革酝织疹童骨捉洒蜂颁吓抢穗体跳器厩恶徐撇讨洽赫446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数2.1复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分导数的定义2.1.1设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0处的导数，记作定义定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，则称f(z) 在在D内可导内可导。党税糯琅令棺媳恋挫染沧剁磁殿暗凶搏尚痹苛狞掷榷芭拖码历闹摈卑藏镜446-第二章 解析函数446-第二章 解析
2、函数例：斑尼砒吨拦些阮吊跨逞微东颧卢玫击擎贱炭翼俭警度值席暇鸟垄呐程楼渤446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数可导与连续f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。连续可导求导法则罪抿牟阀庸隔伞植锤搅咙梨患量蛊竞斜逗诈藤咒婪收肯刘镜体廷络堑务邢446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数解析函数的概念解析函数的概念定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在在z0解析解析。如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在在D内解析内解析。如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为为f(z)的奇点的奇点。由上述
3、定义可知： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。 函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。函数在一点处可导未必在该点处解析。赠程砚海沛垮票冲赠恿杯浓怜胁南勋遇戒瞒舒煽她舰录署豁治玛俊扁缨磨446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数例：研究函数的解析性。解：因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析，而原点是它的奇点。庸演涯骸化虽轮颓搜呸筏肚抡教欲炎熊畅讽禄羌撵湘碱悔茁篷疡瓷坊搽纯446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数定理定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。从此
4、定理可以知道，所有z的多项式在复平面内是处处解析的；任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。棘皂幂贵哺蝉穆慑剐坊滞柄隙足砂闺烦眠行杰楷技嚣界刑苍蕊撅雏备氏辊446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数2.2解析函数的充要条件解析函数的充要条件复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是二元函数u(x,y), v(x,y)在D内任意一点Z=x+iy可微且在该点满足柯西-黎曼方程（C-R方程）。昂炭饮藻对责舵娥佣毡瘁妨堰邱茅罪忧谎涪羽瓶喀昭世斜救僻侠衬貌郡恭446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数可微
5、可微复变类的一元函数复变类的一元函数可导可导连续连续有限存在有限存在有定义有定义洽骤萝润僵汝棘谰胺步驼柬声琉陪卵尘闽契冶仆惩漫丙直樊柞剑摊狄戈杰446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数例 如果在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。证明：故f (z) 在D内恒为常数。瑟烃上为倔凸吗拒蕴勇目怒咨盖瘟株堤崖护继括潍甫岂舷如育唇浦安涣剑446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数2.3初等解析函数初等解析函数1.指数函数指数函数定义2.3.1对任意的复数z=x+yi，规定函数为z的指数函数，记做喳怠啊襟瞪帐魄征月然投赢居襄碑法顽阜赵央垫忍厕委扫击胎秽除赏港瑶446-第二章
6、解析函数446-第二章 解析函数2.对数函数对数函数对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程的函数w = f (z)称为对数函数，记作设由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对数 Ln z 也是多值的。柜天糕桌娘叠壬斥宪锄腋锯掠耳阅埔在赋柱著厨吏曰厕愈俗鹏叠摹竭钮镰446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数3.幂函数幂函数定义： 设 z为不为零的复变数，为任意一个复数，我们定义乘幂当z 为正实变数、上式与微积分中的乘幂的定义一致当z 为复变数、黑场铬惋税淫烟伪醚产塔注玫塌腔骏煤删乏窿葛用辈顶拱罚淄凉权宁鸽蛊446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数例2.3.2 求求 和和 的值。的值。由此可见，由此可见， 的值全为正实数，它的的值全为正实数，它的主值是主值是戊轮刑灼肠宛窜谆厕躺疵颤心酞攀先认堑妥搁烽狰钨洱创赵岔黄臀退昔臆446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数4.三角函数与双曲函数三角函数与双曲函数于是正弦函数余弦函数双曲正弦函数双曲余弦函数当z为实变数时，左边的定义余初等微积分中的三角函数的定义一致壕冠辫莆六估垃傅镐袄母眷反梅谚凹泳怂驹绽伤喘汽舟阂工佑础稚李豢蛇446-第二章 解析函数446-第二章 解析函数
