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1、静电平衡和静电场问题静电平衡和静电场问题 导体静电平衡条件导体静电平衡条件 导体上的电荷分布导体上的电荷分布 静电场唯一性定理静电场唯一性定理 唯一性定理的应用唯一性定理的应用大竹县石河中学：胡禹大竹县石河中学：胡禹 QQ：446105011技能教育导体静电平衡条件导体静电平衡条件2技能教育u导体静电平衡条件导体静电平衡条件 （1）导导体体的的刚放入电场刚放入电场（2）导体中的）导体中的电子作定向运动电子作定向运动 （3）导体中的）导体中的电子无定向运动电子无定向运动 静电平衡：静电平衡：导体上任何部分都没有电荷导体上任何部分都没有电荷定向运动的现象定向运动的现象 导体静电平衡条件导体静电平衡
2、条件3技能教育导体静电平衡条件导体静电平衡条件4技能教育导体静电平衡条件：导体静电平衡条件：1 1）导体内部任何一点的场强等于）导体内部任何一点的场强等于 0 0 。2 2）导体表面任何一点的场强都垂直表面）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。反证法：反证法：设导体内部某点设导体内部某点 E E 0 0，则该处有则该处有此力将驱动电子运动此力将驱动电子运动 导体未达静电平衡。导体未达静电平衡。 同理可证同理可证 2 2）例如：在均匀场放入一导体的情况例如：在均匀场放入一导体的情况导体静电平衡条件导体静电平衡条件5技能教育静电平衡条件小结静电平衡条件小结: :电场表述电场表述（1 1）导体内部场
3、强处处为零；）导体内部场强处处为零；电势表述电势表述（1 1）导体是等势体；）导体是等势体； （2 2）导体表面附近的场强方向处处与它的）导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直表面垂直（2 2）导体表面是等势面）导体表面是等势面导体静电平衡条件导体静电平衡条件问题问题: :电势表述如何证明？电势表述如何证明？6技能教育净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。导体内任取高斯面导体内任取高斯面+Su实心导体实心导体证：证：导体上的电荷分布导体上的电荷分布7技能教育 u空腔导体空腔导体 + l腔内无带电体时：腔内无带电体时：净电荷分布在导体外表面。净电荷
4、分布在导体外表面。导体内表面处处无净电荷。导体内表面处处无净电荷。在体内取一高斯面在体内取一高斯面S ，由高斯定理：，由高斯定理：可知：可知：内表面电荷代数和为零。内表面电荷代数和为零。证明：证明：已经证明导体实体部分处处无净电荷。现只需证已经证明导体实体部分处处无净电荷。现只需证明导体空腔的内表面上处处无净电荷。明导体空腔的内表面上处处无净电荷。若内表面上有正负两种电荷，若内表面上有正负两种电荷，则：必有电力线由正电荷指向则：必有电力线由正电荷指向 负电荷，与导体的静电平衡条件相矛盾。负电荷，与导体的静电平衡条件相矛盾。导体上的电荷分布导体上的电荷分布8技能教育腔体内表面所带的电量和腔内带电
5、体所带的电量等量异腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。l腔内有带电体：腔内有带电体：思考：如何证明这个结论？思考：如何证明这个结论？q2+q1+qq+12q1+导体上的电荷分布导体上的电荷分布9技能教育u导体表面附近场强导体表面附近场强证证: 表面附近作圆柱形高斯面，表面附近作圆柱形高斯面，= 一半在内，一半在外。一半在内，一半在外。其中：其中： 是导体表面的电荷是导体表面的电荷面密度面密度导体上的电荷分布导体上的电荷分布10技能教育导线导线即：即：用导线连接两导体球，用导线连接两导体球，则必有
6、：则必有：导体表面的的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关：曲率导体表面的的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关：曲率半径大处电荷密度低；即：表面上愈尖锐处电荷密度越大。半径大处电荷密度低；即：表面上愈尖锐处电荷密度越大。u导体表面的电荷分布导体表面的电荷分布定性的证明：定性的证明：所以才有尖端放电现象。所以才有尖端放电现象。避雷针即利用避雷针即利用尖端放电原理。尖端放电原理。导体上的电荷分布导体上的电荷分布11技能教育导体上的电荷分布导体上的电荷分布12技能教育u静电屏蔽静电屏蔽以静电平衡为前提以静电平衡为前提l空腔内有带电体的导体壳空腔内有带电体的导体壳 设导体带电荷设导体带电荷Q，空腔内有一
7、带电体，空腔内有一带电体+q，则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0。证明：证明：在导体壳内作一高斯面在导体壳内作一高斯面S由高斯定理：由高斯定理：得证得证由电荷守恒：由电荷守恒：+qQS+q导体上的电荷分布导体上的电荷分布13技能教育讨论+qQ+qQ+qQS+q1 腔内腔内+q所处位置不同，对内外表所处位置不同，对内外表 面电荷分布及电场分布的影响。面电荷分布及电场分布的影响。2 若将腔内带电体与导体壳连接，若将腔内带电体与导体壳连接， 会出现什么情况？会出现什么情况？腔内无电荷分布：腔内无电荷分布：E内内=0屏蔽外场屏蔽外场3 若将导体壳接地
8、，又会出现什么情况？若将导体壳接地，又会出现什么情况？屏蔽内场屏蔽内场导体壳外：导体壳外：E外外=0思考：空腔内如果没电荷呢思考：空腔内如果没电荷呢?导体上的电荷分布导体上的电荷分布14技能教育例题例题:半径为半径为R的金属球与地相连接，在与球心相距的金属球与地相连接，在与球心相距d=2R处有一点电荷处有一点电荷q(0)，问球上的感应电荷，问球上的感应电荷 q=?解：解： 利用金属球是等位体利用金属球是等位体球体上处处电位球体上处处电位:球心处：球心处：Uo= 0U= 0q = q？导体上的电荷分布导体上的电荷分布思考：如果不是导体球，而是其他形状的导体呢思考：如果不是导体球，而是其他形状的导
9、体呢?15技能教育例题例题: 一金属平板，面积为一金属平板，面积为S带电带电Q，在其旁放置第二，在其旁放置第二块同面积的不带电金属板。求块同面积的不带电金属板。求 (1)静电平衡时，电荷分静电平衡时，电荷分布及电场分布。布及电场分布。 (2)若第二块板接地？忽略边缘效应。若第二块板接地？忽略边缘效应。.P解：解： (1)设四个面上电荷面度为设四个面上电荷面度为 1 2 3 4则有：则有：如图取高斯柱面可得：如图取高斯柱面可得：导体内任意一点导体内任意一点P，其电场，其电场 E=0联立求解联立求解可得：可得：导体上的电荷分布导体上的电荷分布16技能教育按电场叠加原理可求得：按电场叠加原理可求得：
10、(2)第二板接地第二板接地则则 与大地构成一导体与大地构成一导体同理可得：同理可得：联立求解：联立求解：.P导体上的电荷分布导体上的电荷分布17技能教育静电场唯一性定理静电场唯一性定理u问题提出问题提出给定导体系中各导体的电量或电势以给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体的形状、相对位置（统称边及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在界条件），求空间电场分布，即在一一定边界条件定边界条件下求解下求解泊松方程泊松方程拉氏方程拉氏方程边值问题边值问题u定理表述定理表述边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来即给定边界条件后，不可能
11、存在不同的静电场分布即给定边界条件后，不可能存在不同的静电场分布该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要理论证明在电动力学中给出，重要理论证明在电动力学中给出，p59 给出物理上的论证给出物理上的论证18技能教育引理一引理一极大极大极小极小u定理证明定理证明在无电荷的空间里电势不在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值可能有极大值和极小值思考：阅读教材，简述证明过程。思考：阅读教材，简述证明过程。若所有导体的电势为若所有导体的电势为0,则导体外空间的电势处处为则导体外空间的电势处处为0引理二引理二思考：阅读教材，简述证明过程
12、。思考：阅读教材，简述证明过程。若所有导体都不带电若所有导体都不带电,则各导体的电势都相等则各导体的电势都相等引理三引理三思考：阅读教材，简述证明过程。思考：阅读教材，简述证明过程。静电场唯一性定理静电场唯一性定理19技能教育在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：组边界条件：1：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk（或总电量（或总电量Qk）2：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk（或总电量（或总电量Qk)设设U、 U满足上述两条件，则它们的线性组合满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a U+b U必满足条件必满足条
13、件3:3:给定每个导体的电势给定每个导体的电势Uk=a Uk+b U k （或总电量（或总电量Qk= Qk a k+b Q k）特例特例 ： 取取Uk U k，则，则U=UU(a=1,b=-1)满足满足4：给定每个导体的电势为：给定每个导体的电势为0 叠加原理叠加原理静电场唯一性定理静电场唯一性定理20技能教育给定每个导体电势的情形给定每个导体电势的情形定理证明定理证明静电场唯一性定理静电场唯一性定理给定每个导体上总电量的情形给定每个导体上总电量的情形:第第k个导体上的电量个导体上的电量21技能教育唯一性定理表明：唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性一旦找到某种电荷分布，
14、既不违背导体平衡特性,又又是物理实在是物理实在,则这种电荷分布就是则这种电荷分布就是唯一唯一可能的分布。可能的分布。 唯一性定理的应用唯一性定理的应用u静电屏蔽的解释静电屏蔽的解释22技能教育像电荷像电荷在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布的电场分布和导体表面上的电荷分布基本思想：基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，解利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解是唯一的，可以寻找合理的试探解u电像法电像法唯一性定理的应用唯一性定理的应用23技能教育解解: 第一步第一步:寻找像电荷寻找像电
15、荷对称性分析，确定像电荷位对称性分析，确定像电荷位使球面上电势使球面上电势0任取任取 P点，利用叠加原理求出像点，利用叠加原理求出像电荷位置电荷位置对所有对所有 都成立，即要求都成立，即要求例题例题:真空中有一半径为真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为的接地导体球，距球心为a(aR)处有一点电荷处有一点电荷Q,求空间各点电势求空间各点电势唯一性定理的应用唯一性定理的应用24技能教育第二步第二步: :根据叠加原理求解根据叠加原理求解电势电势唯一性定理的应用唯一性定理的应用课堂小结：参考教材课堂小结：参考教材P66P66课后作业：教材习题课后作业：教材习题P78 1-48,1-49,1-51,1-64问题：最后结果如何？问题：最后结果如何？25技能教育
