三角函数型应用题(高一)

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1、三角函数型应用题（高一）三角函数型应用题（高一）1 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB 20米，AD 10 3米，记BHE .（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域； （2）若sincos2，求此时管道的长度L； （3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.EH 解： （1）1010FH cos，sinEF 1010AF 10 3tansincos由于BE 10tan10 3，3

2、 101010 tan3, L ,36 3cossinsincos，6 3.，sincos12,L 20( 2 1);(2)sin cos2时，L （3）101010sincos110()cossinsincos=sincost21 sincos,2由于6 3，设sincost则t sincos2sin()4所以3 1,22L 3 120,2t 1在2内单调递减，t 3 1,2时63时 ，L的最大值20( 3 1)米.于是当答：当6或3时所铺设的管道最短，为20( 3 1)米.2某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50 米，BC=25 3米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司

3、将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF 和 OF，考虑到小区整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且EOF=90，如图所示（1） 设BOE=， 试将OEF的周长l表示成的函数关系式， 并求出此函数的定义域；（2） 经核算， 三条路每米铺设费用均为400 元， 试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用DCEFAOB解：(1)在 RtBOE 中，OB=25, B=90，BOE=，OE=在 RtAOF 中，OA=25, A=90，AFO=，OF=25.2 分cos25.4 分sin又EOF=90，EF=OE2OF2(25225225,) ()

4、=cossincossin252525cossincossin25(sincos1)即l 6分cossin当点 F 在点 D 时，这时角最小，求得此时=；6当点 E 在 C 点时，这时角最大，求得此时=3 故此函数的定义域为,.8分6 3(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF的周长l的最小值即可.25(sincos1) 由（1）得，l ， , cossin6 3t21设sincost，则sincos，225(sincos1)25(t 1)50l 12分2t 1cossint 123 13 157由，得t 2，t 12 1，22124121从而2 13 1，15分t 1当，即 BE=2

5、5 时，lmin 25( 2 1),4l OE OF EF 所以当 BE=AE=25 米时，铺路总费用最低，最低总费用为10000( 2 1)元.16 分3. 如图，ABCD 是块边长为 100m的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在弧ST 上，相邻两边CQ、CR 落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。DSARCPTQB解：设PAB (0 90),延长RT交AB于MAM 90cos,MP 90sinPQ MB 10090cos.PR MR MP 10090si

6、nS矩形PQRC PQ PR (100 90cos)(100 90sin)100009000(sin cos)8100sincos(0 90),t21令t sin cos(1 t 2),sincos2S矩形PQRC故当t t211010000 9000t 8100 4050(t )2950-10291022时，S 的最小值为950m,当t 2时 S 的(14050 9000 2)m94如图，在半径为3、圆心角为60的扇形的弧上任取 一点P，作扇 形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N,M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,按下列要求写出函数的关系式： （1）设PN x，将y表示成x的函数关

7、系式；设POB，将y表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值解： （1）因为ON 3 x2，OM APQBNMO33x，x，所以MN 3 x22 分，33所以y x( 3 x 233x),x(0, ). 4 分3233sin sin，3因为PN 3sin，ON 3cos，OM 所以MN ON OM 3cossin 6 分2所以y 3sin( 3cossin)，即y 3sincos3sin，(0,3) 8 分（2）选择y 3sincos3sin3sin(226)3， 12 分235(0,)2(,) 13 分所以ymax. 14 分366625 如下图， 某小区准备绿化

8、一块直径为BC的半圆形空地，ABC的内接正方形PQRS为一水池，ABC外的地方种草,其余地方种花. 若BC=a,ABC=，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值（1）试用a,表示S1和S2；PS1称为“规划合理度”.S2（2）若a为定值，当为何时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值ASBQRC（1）在RtABC中，AB acos, AC asin，11AB AC a2sincos3 分22x设正方形的边长为x则BP , AP xcos，sinx由BP AP AB，得 xcos acos，sinasincos故x 1sincosasincos22所以S2 x ()6 分1si

9、ncos1(1sin2)22S1 (1sincos)112sin21， 8 分（2）1S22sincossin2sin24S1令t sin2，因为0 2所以0 2，则t sin2(0,110 分S1111所以1t 1 g(t)，g(t) 2 0，S2t4t4所以函数g(t)在(0,1上递减，12 分9因此当t 1时g(t)有最小值g(t)min g(1)，4此时sin21,所以当，414 分4时，“规划合理度”最小，最小值为915 分46 如图所示，一条直角走廊宽为2 米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为 1 米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DPAC

10、于P，DQBC于Q；若平板车卡在直角走廊内，且CAB ，试求平板面的长(用表示)；若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解： （1）DM=2mNED2mMFAPlCQB212，DN=，MF=，EN=tan，sincostan212EF=DM+DN-MF-EN=+tansincostan2(sin cos)1=（0 ）sincos2（2） “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角 （0 2） ， 平板车的长度不能通过，t21即平板车的长度 lmin；记sin cos t,1 t 2，有sincos=，2=2(sin cos)14t 2=2sincost 1m 2）或直接求导，4此后

11、研究函数的最小值，方法很多；如换元（记4t 2 m，则t 以确定函数在1,2上的单调性；当t 2时取得最小值4 2 27 （本小题满分 15 分） 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长 L 关于的函数关系式：L；（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值22解： （1）如图，AB 2222L AC AB BC ,BC 0 cossincossin2（2）L2cossinsincos令t cossin2sin，因为0 ，所以t 1,2，442sin cos1t21则sincosC22L 2 2t2 21t 1,2t ，当时，随着t的增大而增大，1t21tt tAB2所以t

12、 0,1t2所以L4,22所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为415 分8 如图，A，B，C 是三个汽车站，AC，BE 是直线型公路已知 AB120 km，BAC75，ABC45有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站 A，C 之间，到达车站后停留 10 分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站 B 开往另一个城市 E，途经车站 C，并在车站 C 也停留 10 分钟已知早上 8 点时甲车从车站 A、乙车从车站 B 同时开出 （1）计算 A，C 两站距离，及 B，C 两站距离； （2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C 处利用停

13、留时间交换 （3）求 10点时甲、乙两车的距离 （参考数据：2 1.4，3 1.7，6 2.4，111 10.5）（1）在ABC 中，ACB6012032ECABABBCAC，sin60sin75sin45AC 120sin 45sin6022 40 6 96(km)，BC 120sin 75sin601206 24 60 2 20 6 132(km)32（2）甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为96，即 9 点到 C 站，1（小时）60（分钟）96132，1.1（小时）66（分钟）120即 9 点零 6 分到站，9 点零 16 分开出则两名旅客可在9 点零 6 分到 10 分这段时间内交

14、换到对方汽车上至 9 点零 10 分开出乙车从车站B 开到车站 C 约用时间为（3）10 点时甲车离开 C 站的距离为5096 80(km)，乙车离开 C 站的距离为604412088(km)，两车的距离等于60802882 28088cos60 8 1001211108 111 810.5 84(km)9 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室， 已知已有两面墙的夹角为 60（即C 60） ，现有可供建造第三面围墙的材料6 米（两面墙的长均大于 6 米） ， 为了使得小老虎能健康成长， 要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC ，问当为多少时，所建造的三

15、角形露天活动室的面积最大？解：在ABC中，由正弦定理：ACABBC 3分sinsinsin()33化简得：AC 4 3sinBC 4 3sin(所以SABC3)1ACBCsin231312 3sinsin() 12 3sin( sincos) 8分3221cos23 6 3(sin23sincos) 6 3(sin2)221 6 3sin(2)262) 即SABC 6 3sin(2)3 3 (0 12分63所以当2623答：当 60时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。 15分1另解：SABCACBCsin12 3sinsin() 6 3cos(2)cos233332 6 3cos(2)3

16、3 (0 )（下同）33,即时，(SABC)max=9 3 14分10 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶， 经过 t 小时与轮船相遇（1） 若希望相遇时小艇的航行距离最小， 则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解： （1）设相遇时小艇航行

17、的距离为s 海里，则s900t2400230tcos(9030) 900t2600t4001故当 t 时，smin10 3，此时 v30 33ACD30O即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（2）如图，由（1）得 OC10 3，AC10，故 OCAC，且对于线段 AC 上任意点 P，有OPOCAC而小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含 C）的任意位置相遇10 3设COD（0 ） ，则在 RtCOD 中，CD10 3tan，OD，2cos1010 3tan10 3由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和 t，30 v cos1010 3tan10 315 33所以， 解得 v 又 v30， 故 sin( )， 从而 30 v cos6262sin( )61010 3tan32由于 时，tan 取得最小值，于是当 时，t取得最小值 .636303此时，在AOB 中，OAODAD20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 ，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇6