第七章误差理论的基本知识

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1、第七章第七章 误差理论的基误差理论的基本知识本知识第七章第七章 误差理论的基本知识误差理论的基本知识 第一节第一节 测量误差概念测量误差概念 在各项测量工作中，长期的测量实践证明，对于某一客观存在的量，如地面某两点之间的距离或高差、某三点之间构成的水平角等，尽管采用了合格的测量仪器和合理的观测方法，测量人员的工作态度也认真负责，但是多次重复测量的结果总是有差异的，这说明观测值中存在着测量误差，或者说，测量误差是不可避免的。 2真误差 测量中真值与观测值之差称为误差，严格意义上讲应称为真误差真误差。 即：i=Li-X 在实际工作中真值不易测定，一般把某一个量的测量值与其最或是值之差也称为误差。3

2、产生测量误差的原因 ：1 1观测者的原因观测者的原因观测者的原因观测者的原因 由于观测者感觉器官的辨别能力存在局限性，所以，由于观测者感觉器官的辨别能力存在局限性，所以，对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不同程度的影响。同程度的影响。2 2仪器的原因仪器的原因仪器的原因仪器的原因 测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。器具有一定的精密度，使测

3、量结果受到一定的影响。3 3外界环境的影响外界环境的影响外界环境的影响外界环境的影响 测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。刻在变化，使测量结果产生误差。4观测条件：观测条件： 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1. 仪器误差2. 观测误差3. 外界条件的影响观测条件5第二节第二节 测量误差的种类测量误差的种类 测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为

4、： 1.系统误差 2.偶然误差 3.粗差 6一、系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。例如，用名义长度为30m，而实际正确长度为30004m的钢卷尺量距，每量一尺段就有使距离量短了0004m的误差，其量距误差的符号不变，且与所量距离的长度成正比。因此，系统误差具有积累性。 系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱 7二、偶然误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然

5、误差偶然误差”。偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素(如人眼的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等)共同引起的测量误差，其数值的正负、大小纯属偶然。 8三、粗差 由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差，如瞄错目标、记录错误、读数错误等。 有粗差的观测值应该舍弃并重测 为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，一般需要进行多于必要的观测，称为“多余观测多余观测”。 9第三节 偶然误差特性及精度指标偶然误差特性及精度指标真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差误误差区差区差区差区间间（33）负误负误差差差差正正正正误误差差差差误误差差差差绝对值绝对值个数个

6、数个数个数（k k）相相相相对对个个个个数数数数（k/nk/n）个数个数个数个数（k k）相相相相对对个个个个数数数数（k/nk/n）个数个数个数个数（k k）相相相相对对个个个个数数数数（k/nk/n）0-30-345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543-63-640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266-96-933330.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849-129-1223230.0640.06421210.0590.05944440.1230.12312-1

7、512-1517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.09215-1815-1813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.07318-2118-216 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.03121-2421-244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上以上以上0 00 00 00 00 00 0 1811810.5050.5051771770.4950.4953583581.0001.00010 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，

8、 可相互抵消；（对称性） 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度过一定的限度; ;（有界性）（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性）会要多；（密集性）（抵偿性）11频率直方图频率直方图 12用概率论解释偶然误差特性按概率论的观点，符合上述特性的误差服从正态分布正态分布概率论研究随机事件的统计规律。随机变量取某个值就相当于某个随机事件。随机变量的特征取值是随机的取值是随机的取具体值的概率是确定的取

9、具体值的概率是确定的13正态分布数学表达：正态分布曲线的数学方程式为： 为标准差，标准差的平方 2为方差 ：14精度：精度：指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差评定精度的指标评定精度的指标15中误差中误差 标准差的平方标准差的平方2为方差，为了统一为方差，为了统一衡量在一定观测条件下观测结果的精度，衡量在一定观测条件下观测结果的精度，取标准差取标准差作为依据是比较合适的。但是，作为依据是比较合适的。但是，在实际测量工作中，不可能对某一个量作在实际测量工作中，不可能对某一个量作无穷多次观测。因此，在测量中定义，按无穷多次观测。因此，在测量中

10、定义，按有限观测次数的偶然误差求得的标准差为有限观测次数的偶然误差求得的标准差为“中误差中误差”，用，用m表示，即：表示，即： 16式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。17解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高说明：中误差越小，观测精度越高18 相对误差K 是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即: 相对误差相对误差 一一般般情情况况 :角度测量没有相对误差，只有距

11、离测量才用相对误差来评定。19例 已 知 ： D1=100m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20 定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。 容许误差（极限误差）容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差。 即容=2m 或容=3m 极限误差的作用：极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。21第四节第四节 误差传播定律及应用误差传播定律及应用 在实际工作中，有许多未知量不是直接观测的，而是通过观测值计算出来的，观测值中误差与观

12、测函数中误差之间的关系定律，称为误差传播定律。22倍数函数 函数形式： Z=kx 式中式中Z Z为观测值的函数，为观测值的函数，k k为常数（无误差），为常数（无误差），x x为观测值为观测值中误差关系式： mZ=kmx 即：观测值与常数乘积的中误差，等于观测观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。值中误差乘常数。 23例题：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离d=163.6mm，其中误差md=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。 解：D=kd=500163.6（mm） =81.8（m） （k k为比例尺分母）为比例尺分母） mD=kmd=5000.2（m

13、m） =0.1（m） D=81.80.1(m)24和差函数和差函数 函数形式： Z=x1x2xn 中误差关系式：mZ2= m12+ m22+ mn2 即：n个观测值代数和（差）的中误差平方，个观测值代数和（差）的中误差平方，等于等于n个观测值中误差的平方之和个观测值中误差的平方之和 。25例题：例题： 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h h1 1=15.316m5mm=15.316m5mm，h h2 2=8.171m4mm=8.171m4mm，h h3 3=-=-6.625m3mm6.625m3mm，试求总的高差及其中误差。，试求总的高差及其中误

14、差。 解：解： h = h h = h1 1 + h + h2 2 + h + h3 3 =15.316+8.171-6.625 =15.316+8.171-6.625 =16.862( =16.862() ) m m 2 2h h= m = m 1 12 2+ m+ m2 2 2 2mm3 3 2 2=5=52 2+4+42 2+3+32 2=50=50 m m h h=7.1(mm)=7.1(mm) h=16.882m7.1mm h=16.882m7.1mm26 在同精度观测时，观测值代数和（差）在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数的中误差，与观测值个数n的平方根成正比

15、。的平方根成正比。 当各观测值xi为同精度观测时，设它们的中误差为m，即：m1=m2=mn=m，则前式将变为： 27量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比的平方根成正比 设用长度为L的钢尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差为m，求全长S的中误差mS。解：因为：S=L+L+L （式中共有（式中共有n n个个L L） 而L的中误差为m，则得： 28 在距离丈量中，距离在距离丈量中，距离S的量距中误的量距中误差与长度差与长度S的平方根成正比。的平方根成正比。 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都是m，则每公里长度的量距中误差mkm也是相等的。当对长度为S公

16、里的距离丈量时，全长S的中误差将为：29 水准测量高差的中误差，与测站水准测量高差的中误差，与测站数数n的平方根成正比的平方根成正比 为了求得A、B两水准点间的高差，从A点开始进行水准测量，经n站后测完至B点，已知每测站的高差中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差mhAB。 因为A、B两点间的高差等于各测站的观测高差之和，即：hAB=h1+h2+hn 则有：30 水准测量高差的中误差，与距离水准测量高差的中误差，与距离S的平方根成正比的平方根成正比 当水准路线通过平坦地区时，各测站的视线长度大致相等，每公里的测站数也接近相等，因而每公里的水准测量高差中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B

17、两点间的水准路线为S公里时，A、B两点间高差中误差为：31线性函数线性函数 函数形式： Z=k1x1+ k2x2+ knxn中误差关系式： mZ2= (k1m1)2+ (k2m2)2+(knmn)2 32 算术平均值的中误差为观测值中误差的算术平均值的中误差为观测值中误差的 倍倍 计算算术平均值的公式为：则： 故：33设有线性函数： 其中x1、x2、x3中误差分别为m1=5mm、m2=6mm、m3=4mm，求z的中误差。解：根据前式得： =3.4mm34一般函数一般函数 函数形式：中误差关系式：35 例题： 设有某函数：式中观测值：S=150.11m0.05m，求z的中误差mZ。 解：应用误差

18、传播定律的一般公式得：解：应用误差传播定律的一般公式得：即： mZ=4.4cm 36例题：已知三角形的三个内角，在相同的观测条件下，采用等精度观测， 已知观测误差： 三角形的闭合差： 各角度改正数： 经改正后的角度值： 求：三角形闭合差的中误差 和改正后的角度中误差37解：由 得：故：在在 式中，由于式中，由于 不是不是相互独立相互独立的，的，它们之间存在函数关系，不能直接利用误差传播它们之间存在函数关系，不能直接利用误差传播定律，而必须将函数式右边化为各个独立的观测定律，而必须将函数式右边化为各个独立的观测值，才能使用误差传播定律。值，才能使用误差传播定律。 因此：因此：同理可得：同理可得：

19、38第五节 等精度观测值的直接平差 在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次观测，其观测值分别为l1，l2,ln，将这些观测值取算术平均值x，作为该量的最可靠的值，称为“最或是值”。即： 算术平均值的中误差为：39 利用真误差计算同精度观测值中误差的公式为：利用真误差计算同精度观测值中误差的公式为： 利用改正数计算同精度观测值中误差的公式为：利用改正数计算同精度观测值中误差的公式为：40例题：设以相同精度观测三角网中各三角形的内角，每例题：设以相同精度观测三角网中各三角形的内角，每个三角形的内角观测值为：个三角形的内角观测值为：每个三角形的闭合差为：每个三角形的闭合差为：请按三角形闭合差求出测

20、角中误差。请按三角形闭合差求出测角中误差。解：按真误差的定义可看出：闭合差就是三角形解：按真误差的定义可看出：闭合差就是三角形内角和（内角和（ ）的真误差）的真误差 ，故可得三角形，故可得三角形内角和的中误差为：内角和的中误差为：式中：式中：由于：由于：则有：则有： 故：故：将将 代入上式得：代入上式得：这就是由三角形闭合计算测角中误差的公式，也称为这就是由三角形闭合计算测角中误差的公式，也称为菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式。 41例题：对某一水平距离，在同样的观测条件下进行了例题：对某一水平距离，在同样的观测条件下进行了6 6次次观测，求该段距离的最或是值、观测值的中误差及最或观测

21、，求该段距离的最或是值、观测值的中误差及最或是值中误差。是值中误差。 =23mm次序次序观测值观测值l/ml/ml/mml/mmv v/mm/mmvvvv精度精度评评定定1 1120.030120.030+30+30-22-224844842 2120. 015120. 015+15+15-7-749493 3119.983119.983-17-17+25+256256254 4120.024120.024+24+24-16-162562565 5120.020120.020+20+20-12-121441446 6119.976119.976-24-24+32+3210241024( (x

22、x0 0=120.000)=120.000) l l =48=48 v v =0=0 vvvv =2582=258242第六节 不等精度观测值的平差计算 在测量实践中，除了等精度观测以外，还有不在测量实践中，除了等精度观测以外，还有不等精度观测。例如，有一个待定水准点，需要从两等精度观测。例如，有一个待定水准点，需要从两个或多个已知点经过不同长度的水准路线测定其高个或多个已知点经过不同长度的水准路线测定其高程，则从不同路线测得的高程是不等精度的，不能程，则从不同路线测得的高程是不等精度的，不能简单地取其算术平均值，并据此评定其精度。这时，简单地取其算术平均值，并据此评定其精度。这时，就需要引入

23、就需要引入“ “权权” ”的概念来处理这类问题。的概念来处理这类问题。 “ “权权” ”的原来意义为秤锤，此处用做的原来意义为秤锤，此处用做“ “权衡轻权衡轻重重” ”之意。对某一观测值或观测值的函数来说，其之意。对某一观测值或观测值的函数来说，其精度越高，中误差越小，相应的权就越大。精度越高，中误差越小，相应的权就越大。43权的定义 测量误差理论中，以P表示权，并定义权与中误差的平方成反比： 式中，C为任意正数。权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用mo（或0）表示。因此，权的另一种表达式为：44例：已知例：已知L L1 1的中误差的中误差mm1 1=3mm=3mm，L2L2的中误差的

24、中误差mm2 2=4mm=4mm，L L3 3的中误差的中误差mm3 3=5mm=5mm，求各观测值的权。，求各观测值的权。 解：设单位权中误差解：设单位权中误差mm0 0=m=m1 1=3mm=3mm，则：，则：也可以设单位权中误差也可以设单位权中误差mm0 0=m=m1 1=1mm=1mm，则：，则： 上述两组权由于所取的单位权中误差不同，其权值上述两组权由于所取的单位权中误差不同，其权值也不同，但是它们的比值关系不变，即：也不同，但是它们的比值关系不变，即：45例：按同精度丈量三条边，得：例：按同精度丈量三条边，得：S S1 1=3km=3km，S S2 2=4km=4km，S S3 3

25、=6km=6km，试确定这三条边的权。，试确定这三条边的权。解：因为是同精度丈量，所以每公里的丈量精度是相同的，解：因为是同精度丈量，所以每公里的丈量精度是相同的，设每公里丈量中误差是设每公里丈量中误差是mmkmkm，得三条边的丈量精度为：，得三条边的丈量精度为： 由权的定义公式得：由权的定义公式得：令：令： 则：则：如设c=3，则 ：46例：例： 如图是一个结点水准网。网中水准点如图是一个结点水准网。网中水准点AA、BB、CC、DD的高程为已知，由四条同一等级的水准路线来测定的高程为已知，由四条同一等级的水准路线来测定E E点的高程。设四个观测值分别为点的高程。设四个观测值分别为h h1 1

26、、h h2 2、h h3 3、h h4 4，相应的水准路线长为，相应的水准路线长为S S1 1=6km=6km，S S2 2=5km=5km，S S3 3=5km=5km，S S4 4=8km=8km，试确定这四条水准路线的权。，试确定这四条水准路线的权。47解：因为这四条水准路线是按同一等级测量的，所以它们每公里水准测量的中误差都是mkm，按可得四个观测高差的中误差为：令： 则： 设：c=10， 则： 当每公里水准测量的精度相同时，水当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比。准路线观测高差的权与路线长度成反比。 48 在水准测量中，也可以按水准路线的测站数n来定权，

27、按公式可得，水准测量的高差测量高差中误差：按上述定权的方法，得各观测值的权为： 当各测站的观测高差精度相同时，水准当各测站的观测高差精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。路线观测高差的权与测站数成反比。 49例: 设对某角作三组同精度观测， 第一组测10测回，其算术平均值为 第二组测6测回，其算术平均值为 第三组测8测回，其算术平均值为 求 、 、 的权。50解：按求算术平均值中误差的公式得：式中：m为一测回中误差，n为测回数。按定权公式得： 令： 则上式为： 由不同个数的同精度观测值求得的平均值，其权与观测个数成正比由不同个数的同精度观测值求得的平均值，其权与观测个数成正比 51加

28、权平均值 对某一个未知的量，L1，L2，Ln为一组不等精度的观测值，其中误差m1，m2，mn，其权为P1，P2，Pn。按下式计算其加权平均值，作为该量的最或是值：52加权平均值的中误差 不等精度观测值的加权平均值的计算公式可以写成不等精度观测值的加权平均值的计算公式可以写成线性函数的形式：线性函数的形式：根据线性函数的误差传播定律公式，得：根据线性函数的误差传播定律公式，得：将将 （mm0 0为单位权中误差）代入上式，得：为单位权中误差）代入上式，得： 加权平均值的权即为观测值的权之和，即：加权平均值的权即为观测值的权之和，即：Px=PPx=P 53单位权中误差的计算 由真误差求单位权中误差的

29、公式：由改正数求单位权中误差的公式：54例：对某水平角用同一精度进行了例：对某水平角用同一精度进行了3 3组观测，各组分别观组观测，各组分别观测了测了2 2、4 4、6 6测回，计算不等精度的角度观测值的加权测回，计算不等精度的角度观测值的加权平均值、单位权中误差及加权平均值的中误差。平均值、单位权中误差及加权平均值的中误差。编编号号号号测测回回回回数数数数L Li iL Li i()()权权P Pi iP Pi iL Li i i i()()P Pi i i iPP1 12 24020144020144 42 28 8+4+4+8+832322 24 44020174020177 74 42

30、828+1+1+4+44 43 36 640202040202010106 66060-2-2-12-122424 x x0 0=402010=402010121296960 0606055解：为计算方便各计算数据如上表。计算步骤如下：解：为计算方便各计算数据如上表。计算步骤如下：1 1）计算最或是值）计算最或是值x x及检验及检验令令x x0 0=402010=402010，按，按L Li i=L=Li ix x0 0, ,求得求得L Li i填入表中。填入表中。按公式按公式 进行定权填入表中，这里取进行定权填入表中，这里取c=1c=1，以一测回观测值的权，以一测回观测值的权为单位权。为单位

31、权。 计算计算P Pi i L Li i填入表中。填入表中。计算计算: : 计算改正值计算改正值 和和p pi iv vi i填入表中填入表中。检验：当检验：当检验：当检验：当 pvpv=0=0时，说明前面计算正确，当时，说明前面计算正确，当时，说明前面计算正确，当时，说明前面计算正确，当 pvpv00时，可能是很小时，可能是很小时，可能是很小时，可能是很小 的凑整误差，也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。的凑整误差，也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。的凑整误差，也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。的凑整误差，也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。562) 2) 评定精度评定精

32、度 在单位权中误差前先计算出在单位权中误差前先计算出 pvvpvv 填写入表中，再按公式填写入表中，再按公式计算单位权中误差。计算单位权中误差。 最后按公式最后按公式 计算最或是值的中误差。计算最或是值的中误差。 57 例例: :设在已知水准点设在已知水准点AA、BB之间，如下图，为了测量之间，如下图，为了测量CC、DD、E E点的高程，布设了一条符合水准路线，测得高差分别点的高程，布设了一条符合水准路线，测得高差分别是是h hACAC、h hCDCD、h hDEDE、h hEBEB，各段水准路线长分别为，各段水准路线长分别为S SACAC、S SCDCD、S SDEDE、S SEBEB，试求

33、出，试求出CC、DD、E E点的最或是高程值。点的最或是高程值。 58 解：先求出解：先求出CC点高程：点高程： 从从AA点求点求CC点的高程值得：点的高程值得：从从BB点求点求CC点的高程值得：点的高程值得： 由于路线的长度不同，它们的精度是不同的，它们的权分别是：由于路线的长度不同，它们的精度是不同的，它们的权分别是：所以所以CC点高程最或是值是：点高程最或是值是：用同样的方法可求得用同样的方法可求得用同样的方法可求得用同样的方法可求得DD、E E两点的最或是高程值。两点的最或是高程值。两点的最或是高程值。两点的最或是高程值。 59为了得出其规律性，再进一步向下运算：该水准路线的闭合差为：

34、该水准路线的闭合差为： 或或60同理可得： 从上式可以看出，单一水准路线上任何点的最或是高程可以这样计算：从水准路线的某一端（例如A点），算出该点的观测高程（如 ），再加这条水准路线闭合差反号乘以该点离开起算点的距离与路线总长之比值。或者说，将单一水准路线的闭合差反号，按距离成比例地分配到各段观测高差上，得到改正后的高差，然后从水准路线某一已知点开始，按改正后的高差计算水准路线上各点的高程值。 61第七节第七节 平差应用举例平差应用举例一、由同精度双观测值的差数求观测值中一、由同精度双观测值的差数求观测值中误差误差二、由不同精度双观测值的差数求中误差二、由不同精度双观测值的差数求中误差三、等权

35、代替法平差三、等权代替法平差62由同精度双观测值的差数求观测值中误差 在测量工作中，常常对一系列被观测量进行两次或往返观测，这种观测称为双观测。对同一未知量进行两次观测，称为一个观测对。63由同精度双观测值的差数求观测值中误差 设对未知量设对未知量各进行两次观测，得观测值：各进行两次观测，得观测值： 和和 从理论上讲，对任何一个被观测量来说，其从理论上讲，对任何一个被观测量来说，其两次观测值差值两次观测值差值 的真值的真值应该为应该为“ “0”0”。各差值的真误差就是其本身，即：。各差值的真误差就是其本身，即： 由于所有的观测值都是同精度的，所以由于所有的观测值都是同精度的，所以 也都是同精度

36、的。根据由真误差求中误差的公式也都是同精度的。根据由真误差求中误差的公式, ,得差数的中误差为：得差数的中误差为： 式中：式中：式中：式中：n n是观测对的个数，不是观测值的个数。是观测对的个数，不是观测值的个数。是观测对的个数，不是观测值的个数。是观测对的个数，不是观测值的个数。64 设观测值的中误差为m，则有： 代入上式得： 在计算时，总是取两次同精度观测值的平均值作为相应量的最或是值。即： 根据误差传播定律，最或是值的中误差为： 65例：对八条边作等精度双次观测，观测结果如下表，取例：对八条边作等精度双次观测，观测结果如下表，取每条边两次观测的算术平均值作为该边的最或是值，求每条边两次观

37、测的算术平均值作为该边的最或是值，求观测值中误差和每边的最或是值中误差。观测值中误差和每边的最或是值中误差。编编号号号号LLLL（m m m m）LLLL（m m m m）d d（mmmm）dddd1 1101.437101.437101.440101.440-3-39 92 2100.258100.258100.264100.264-6-636363 3102.369102.369102.361102.361+8+864644 499.14799.14799.13999.139+8+864645 598.24798.24798.25498.254-7-749496 6103.254103.2

38、54103.265103.265-11-111211217 799.99099.990100.003100.003-13-131691698 8102.267102.267102.274102.274-7-74949 56156166 解：因为八条边的长度相差较小，又是在相同观测条件下丈量的，所以这些观测值都可认为是等精度的。 按公式可求得观测值的中误差： 各边最或是值的中误差：67由不同精度双观测值的差数求中误差 在测量工作中，经常会遇到不同精度的双观测问题，如对长度不同边作双次观测，对长度不同的水准路线作往返水准测量等。这时，对一个观测对来说，其两次观测或往返观测的精度是相同的，对不同的观

39、测对，它们的精度是不同的。 68设对未知量 各进行双次观测，得观测值： 和 。观测值 的权为 ； 的权为 ； 的权为 。而每观测对的差值： 真值从理论上讲应该为“0”。各差值的真误差就是其本身，即：69 按公式按公式 可知，要先求出不同精度观测时的单位可知，要先求出不同精度观测时的单位权中误差，需要知道真误差及相应的权，真误差已求出，根据权中误差，需要知道真误差及相应的权，真误差已求出，根据 按权倒数传播定律可得：按权倒数传播定律可得： 将以上两式代入公式得单位权中误差：将以上两式代入公式得单位权中误差： 式中：式中： 是是 的权，的权， 是第是第i i对观测值之差，对观测值之差，n n为观测

40、对个数。为观测对个数。 观测值观测值 的中误差为：的中误差为：每个观测对平均值每个观测对平均值 的中误差为：的中误差为： 70例：设有例：设有8 8段高差，各往返观测一次，观测结果和水准路线长度见表：段高差，各往返观测一次，观测结果和水准路线长度见表：试求：（试求：（1 1）每公里高差的中误差；（）每公里高差的中误差；（2 2）第二段观测高差的中误差；）第二段观测高差的中误差；（3 3）第二段最或是高差的中误差；（）第二段最或是高差的中误差；（4 4）全长一次（往测或返测）观）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差；（测高差的中误差；（5 5）全长最或是高差的中误差。）全长最或是高差的中误差。

41、 测测段号段号段号段号LLLL（mm） LLLL（mm）d d（mmmm）dddd路路路路线长线长S S（kmkm）1 1+2.598+2.598-2.606-2.606-8-864643.53.518.318.32 2-1.577-1.577+1.588+1.588+11+111211214.04.030.330.33 3-3.657-3.657+3.645+3.645-12-121441443.63.640.040.04 4+4.325+4.325-4.335-4.335-10-101001003.23.231.331.35 5+1.256+1.256-1.250-1.250+6+6363

42、64.64.67.87.86 6+2.541+2.541-2.530-2.530+11+111211213.43.435.635.67 7-4.254-4.254+4.268+4.268+14+141961962.82.870.070.08 8-2.987-2.987+2.979+2.979-8-864645.25.212.312.3 30.330.3245.6245.671解：（解：（1 1）设）设c=1c=1，即以一公里观测高差的中误差作为单位，即以一公里观测高差的中误差作为单位权中误差，则有：权中误差，则有：按公式得单位权中误差为：按公式得单位权中误差为：即：一公里观测高差的中误差为即：

43、一公里观测高差的中误差为3.93.9mmmm。（2 2） 第二段观测高差的中误差为：第二段观测高差的中误差为：（3 3）第二段最或是高差的中误差为：）第二段最或是高差的中误差为：（4 4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差：）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差：（5 5）全长最或是高差的中误差：）全长最或是高差的中误差： 72等权代替法平差等权代替法平差 引例 设有一个结点水准网如下图所示，为了求得E点的高程，则先定各观测值的权而后用加权平均值求E点的最或是高程值，即：这里令： 则有： 这样，左图的原水准路线就可理解成右图所示的单一水准路线。即用一条虚拟路线S(1,2 ) 代替水准路线

44、S1和S2，由虚拟路线求得E点高程：虚拟路线的权为：虚拟路线的长度为：通过虚拟路线S(1,2 )和S3再求得E点的最或是高程值HE。73结论：这种平差方法称为等权代替法，两条或多条水准路线用一条虚拟的路线代替，虚拟路线的观测值就是那些路线的加权平均值，它的权等于那些路线的权之和，它的路线长度与其权成反比，即： 注意：这里S(1,2j)S1+S2+Sj，而必须由上式求出。74实例：实例： 如图为双结点水准网，已知水准点如图为双结点水准网，已知水准点AA、BB、CC、DD的高程值分别为的高程值分别为HHAA=70.000m=70.000m，HHBB=68.594m=68.594m，HHCC=78.

45、476m=78.476m，HHDD=84.318m=84.318m；各段观测高差分；各段观测高差分别为：别为：h h1 1=+5.974m=+5.974m，h h2 2=7.360m=7.360m，h h3 3=+2.468m=+2.468m，h h4 4=-0.066m=-0.066m，h h5 5=-5.896m=-5.896m；各段路线的长度分别为：各段路线的长度分别为：S S1 1=40.0km=40.0km，S S2 2=66.7km=66.7km，S S3 3=55.0km=55.0km，S S4 4=50.0km=50.0km，S S5 5=40.0km=40.0km。试求出。试

46、求出E E、F F两点的最或然高程值并两点的最或然高程值并评定其精度。评定其精度。75解：（1）由S1和S2两条路线求E点的局部加权平均值，设c=100km。先由S1路线求出E点的观测高程为：权为：再由S2路线求出E点的观测高程为：权为： 求E点的局部带权平均值得： 它的权为：它的距离为：通通过上面的上面的计算，将算，将S1和和S2两条水准路两条水准路线合并合并为一条虚一条虚拟的水准路的水准路线S(1,2)，左，左图双双结点水准路点水准路线变成了右成了右图的的单结点水准路点水准路线。76（2）求单结点水准路线F点高程的最或是值.由S4路线求出F点的观测高程为：权为：由S5路线求出F点的观测高程

47、为：权为：由S（1,2）和S3路线求出F点的观测高程为：权为：利用加权平均值的公式求F点的最或是高程值为：77（3）求各观测高差的改正值和E点高程最或是值通过以上计算，把F点作为固定点，把路线（A,B）F看作单一水准路线，用F点的最或是高程值减去由此路线所算得的高程值：就是改正值即：按照与距离成正比分配各段闭合差的计算方法，得各段线路的改正值为： 由此可计算出E点高程最或是值为： 78（4）评定精度 在评定E和F两点高程精度之前，需要先求出单位权中误差，在计算单位权中误差时又要先算出各段的改正值，即：改正值=最或是值-观测值 79计算单位权中误差时，采用公式：式中：n为观测值的个数，t为结点的

48、个数，本例中n=5，t=2。等权路线的改正值和不参加计算中心结点F高程最或是值的权为：F点高程最或是值的中误差为：将数据代入上式得单位权中误差为：80要求E点高程最或是值的中误差，需要把E点当作中心结点，重新计算其权。则： 中心结点E高程最或是值的权为：E点高程最或是值的中误差为：81使用等权代替法进行水准测量计算的步骤如下：使用等权代替法进行水准测量计算的步骤如下：使用等权代替法进行水准测量计算的步骤如下：使用等权代替法进行水准测量计算的步骤如下： （1 1）根据水准路线图选择中心结点，并考虑如何合并水）根据水准路线图选择中心结点，并考虑如何合并水准路线；准路线；（2 2）从离中心结点最远的

49、结点开始，将两长或多条路线）从离中心结点最远的结点开始，将两长或多条路线合并为一条路线，并求出其中几条路线的加权平均值，合并为一条路线，并求出其中几条路线的加权平均值，虚拟路线的权和路线长度；虚拟路线的权和路线长度；（3 3）将虚拟路线与其它路线连接，求出新路线的距离长）将虚拟路线与其它路线连接，求出新路线的距离长度与权；度与权；（4 4）当合并完路线，余下最后一个结点时，就按加权平）当合并完路线，余下最后一个结点时，就按加权平均值的方法计算其最或是高程；均值的方法计算其最或是高程；（5 5）计算各路线的改正值，非中心结点的最或是值，可）计算各路线的改正值，非中心结点的最或是值，可通过观测值加

50、相应的改正值求得；通过观测值加相应的改正值求得；（6 6）评定精度，通过各段的改正数和相应的权先求得单）评定精度，通过各段的改正数和相应的权先求得单位权中误差，再根据单位权中误差和相应高程点总权值位权中误差，再根据单位权中误差和相应高程点总权值求出其观测中误差。求出其观测中误差。 82习题与思考题习题与思考题 1.1.影响测量误差的因素有哪些？影响测量误差的因素有哪些？2.2.测量误差按其性质可分为哪两类？各有何特性？测量误差按其性质可分为哪两类？各有何特性？3.3.评定测量精度的指标有哪些？分别是如何计算的？评定测量精度的指标有哪些？分别是如何计算的？4.4.在在1 1：10001000比例

51、尺地形图上，量得某堤坝的坝轴线长比例尺地形图上，量得某堤坝的坝轴线长为为125.6mm125.6mm，其中误差，其中误差mm为为0.1mm0.1mm。求该堤坝。求该堤坝轴线的实际长度及其中误差轴线的实际长度及其中误差mmDD。5.5.设用钢尺量得三段距离分别为：设用钢尺量得三段距离分别为：S1=124.358m6mmS1=124.358m6mm，S2=187.564m7mmS2=187.564m7mm，S2=91.204m4mmS2=91.204m4mm，求全长，求全长S S及其中误差及其中误差mmS S。836.6.设有某函数：，式中观测值设有某函数：，式中观测值S=94.511m10mmS

52、=94.511m10mm，求求y y的中误差的中误差mm y y。7.7.设使用设使用J6J6经纬仪对某水平角进行测回法观测，已知其经纬仪对某水平角进行测回法观测，已知其一测回方向值中误差为一测回方向值中误差为66，求其半测回方向值中误，求其半测回方向值中误差、半测回角度值和一测回角度值中误差分别是多少差、半测回角度值和一测回角度值中误差分别是多少？8 8在长为在长为25km25km的水准路线上，进行往返观测，已知往的水准路线上，进行往返观测，已知往返测高差中数的每公里中误差为：返测高差中数的每公里中误差为：mmkmkm=10mm=10mm，试求该段往返高差较差的中误差是多少？试求该段往返高差

53、较差的中误差是多少？9 9对某段距离，同精度进行了对某段距离，同精度进行了6 6次观测，观测值分别为：次观测，观测值分别为：541.367541.367、541.375541.375、541.370541.370、541.380541.380、541.366541.366、541.377541.377，求该段距离的最或是值、观，求该段距离的最或是值、观测值的中误差及最或是值中误差。测值的中误差及最或是值中误差。841010如图是一个结点水准网。网中水准点如图是一个结点水准网。网中水准点AA、BB、CC、DD的高程分别为：的高程分别为：HHAA=126.452=126.452，HHBB=128.

54、357=128.357，HHCC=129.874=129.874，HHDD=125.966=125.966。由四条同一等级的水准路线来。由四条同一等级的水准路线来测定测定E E点的高程。四个观测值分别为点的高程。四个观测值分别为h h1 1=2.256=2.256、h h2 2=0.348=0.348、h h3 3=-1.150=-1.150、h h4 4=2.755=2.755，相应，相应的水准路线长为的水准路线长为S S1 1=5.6km=5.6km，S S2 2=4.5km=4.5km，S S3 3=6.5km=6.5km，S S4 4=8.2km=8.2km，试求，试求E E点高程最或点高程最或是值、单位权中误差和是值、单位权中误差和E E点高程最或是值的中点高程最或是值的中误差。误差。85