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1、 第六章第六章 丈量丈量误差根底知差根底知识6-1 6-1 丈量丈量误差的概差的概念念一、丈量一、丈量误差的来源差的来源1、仪器精度的局限性器精度的局限性2、观测者感官的局限性者感官的局限性3、外界、外界环境的影响境的影响一一.产生丈产生丈量误差的缘量误差的缘由由一、产生丈量误差的缘由一、产生丈量误差的缘由产生丈量生丈量误差的三大要素：差的三大要素：仪器器缘由由 仪器精度的局限器精度的局限, ,轴系剩余系剩余误差差, ,等。等。人的人的缘由由 判判别力和分辨率的限制力和分辨率的限制, ,阅历, ,等。等。外界影响外界影响 气候要素气候要素( (温度温度变化化, ,风, ,大气折光大气折光) )
2、 结论：观测误差不可防止差不可防止( (粗差除外粗差除外) )有关名有关名词：观测条件条件: : 上述三大要素上述三大要素总称称为观测条件条件等精度等精度观测: :在上述条件根本一在上述条件根本一样的情况下的情况下进展的各展的各 次次观测，称，称为等精度等精度观测。二、丈量误差的分类与对策二、丈量误差的分类与对策一分一分类系系统误差差在一在一样的的观测条件下，条件下，误差差 出如今符号和数出如今符号和数值一一样，或按一定的，或按一定的规律律变化。化。例：例： 误差差 钢尺尺尺尺长误差差 DkDk 钢尺温度尺温度误差差 DtDt 水准水准仪视准准轴误差差i i 经纬仪视准准轴误差差C C 处置方
3、法置方法计算算矫正正计算算矫正正 操作操作时抵消抵消( (前后前后视等距等距) )操作操作时抵消抵消( (盘左左盘右取平均右取平均) ) 二、丈量误差的分类与对策二、丈量误差的分类与对策一分类偶偶尔误差差在一在一样的的观测条件下，条件下，误差出差出现的符号和数的符号和数值大小都不一大小都不一样，从，从外表看没有任何外表看没有任何规律性，但大量的律性，但大量的误差差有有“统计规律律粗差粗差特特别大的大的误差差错误例：估例：估读数、气泡居中判数、气泡居中判别、瞄准、瞄准、对中等中等误差，差， 导致致观测值产生生误差差 。二处置原那么粗差粗差细心，多余心，多余观测系系统误差差找出找出规律，加以律，加
4、以矫正正 偶偶尔误差差多余多余观测，制定限差，制定限差如何处置含有偶尔误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为 l1,l2,l3,.ln如何取值？如何评价数据的精度？三、偶尔误差的特性三、偶尔误差的特性 1 1、偶尔误差的定义：、偶尔误差的定义： 设某一量的真值为设某一量的真值为X X，对该量进展了，对该量进展了n n次观测，次观测， 得得n n个观测值个观测值 ，那么产生了，那么产生了n n个真误个真误 差差 ：(6-1-1)(6-1-1)真误差真值观测值例如：对358个三角形在一样的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i= 180 (i +i+ I)其结果如表6-1，图6-
5、1,分析三角形内角和的误差I的规律。误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0
6、181 0.505 177 0.495 358 1.000 表6-1 偶尔误差的统计 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d有限性：偶尔误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶尔误差的平均数趋近于零。偶尔误差的特性偶尔误差的特性有限性：在有限次观测中，偶尔误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶尔误差的平均数趋近于零。6 -2 6 -2 评定精度的定精度的规范范一、方差和规范差
7、中误差中误差二、相二、相对中中误差差平均误差一、中误差一、中误差按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差假设函数是延续型随机变量X的分布密度函数概率正态分布m1m1较小较小, , 误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m2m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 两组观测值中误差图形的比较：两组观测值中误差图形的比较：m1=m1=2.72.7m2=m2=3.63.6正态分布的特征正态分布密度以 为对称轴,并在 处到达最大。当 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐
8、点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率区别错误与误差的阀值随机变量X在区间x1x2 之间的概率为那么函数是延续型随机变量X的分布密度函数假设就得正态分布三、极限误差但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即： =？ m=？寻觅最接近真值的值x6 -3 6 -3 观测值的算的算术平均平均值及及矫正正值 集中趋势的测度最优值中位数：设把n个观测值按大小陈列，这时位于最中间的数就是“中位数。众数：在n个数中，反复出现次数最多的数就是“众数。切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原那么的最优解一、算术平均值：满足最小二乘原
9、那么的最优解证明x是最或然值 将上列等式相加，并除以n,得到 二、观测值的矫正值假设被观测对象的真值不知，那么取平均数 为最优解x矫正值的特性定义矫正值似真差满足最小二乘原那么的最优解最小二乘6 -46 -4观测值的精度的精度评定定规范差可按下式计算中误差证明将上列左右两式相减，得分别取平方取和对代入前式代入前式计算规范差例子 小结一、知真值X，那么真误差一、真值不知，那么二、中误差二、中误差6 -5 6 -5 误差差传播定律播定律知：mx1,mx2,mxn求：my=?y=? 观测值函数的中误差 误差传播定律一一. .观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均间隔实地间隔三角边和或差函数线性函数
10、倍数函数普通函数坐标增量普通函数二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 一和一和( (差差) )函数函数知：mx,my, 求：mz=?二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 一和一和( (差差) )函数函数知：mx,my, 求：mz=?和和二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 一和差函数一和差函数知：mx,my, 求：mz=?和和二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 一和差函数一和差函数知：mx,my, 求：mz=?二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 一和差函数一和差函数知：mx,my, 求：mz=?和和二、几种常用函数的中误差二、几种
11、常用函数的中误差 二倍乘函数二倍乘函数知：mx,求：mz=?和平方二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 二倍乘函数二倍乘函数知：mx,求：mz=?解：解：例例 量得量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =168.5mm 0.2mm, 计算该两点实地间隔计算该两点实地间隔S及其中误差及其中误差ms：列函数式中误差式二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 三线性函三线性函数数知：mxi,求：mz=?三线性函三线性函数数特殊xi为独立观测值例例6间隔误差间隔误差例：例：对某某间隔用精隔用精细量距方法丈量六次，求量距方法丈量六次，求该间隔的算隔的算术 平均平均值 ； 观测值
12、的中的中误差差 ； 算算术平均平均值的中的中误 差差 ； 算算术平均平均值的相的相对中中误差差 ：凡是相对中误差，都必需用分子为1的分数表示。二.误差传播定律( (四四) )普通函数的中普通函数的中误差公式差公式误差差传播定律播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化中误差关系式：中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式留意：只需自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。观测值函数中误观测值函数中误差公式汇总差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差普通函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 例知某矩形例知某矩形
13、长a=500米，米，宽b=400米米, ma=mb=0.02cm，求矩形的面求矩形的面积中中误差差mp。三、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；列出函数式；(2)对函数式线性化对函数式线性化(全微分全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 例题知 有求：错误例题知 有；求：观测值：斜距S和竖直角v待定值：程度间隔D6 -6 6 -6 误差差传播定律播定律运用运用举例例6-6 6-6 误差差传播定律运用播定律运用观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h误差传播定律运用举例算术平均
14、值 知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx算例：用三角形闭合差求测角中误差误差传播定律的运用误差传播定律的运用解：由题意：解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度丈量n测回取平均值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差例：要求三角形最大闭合差 ，问用，问用DJ6经经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。DMPxyXYO由误差传播定律：解：解：P点的点位中误差：例例9：知直线：知直线MP的坐标方位角的坐标方位角=722000， 程度间隔程度间
15、隔D=240m。如知方位角中误差。如知方位角中误差 ，间隔中误差，间隔中误差 ， 求由此引起的求由此引起的P点的坐标中误差点的坐标中误差 、 ， 以及以及P点的点位中误差点的点位中误差 。6 -76 -7加加权平均数及其中平均数及其中误差差现有三组观测值，计算其最或然值A组： 123.34, 123.39, 123.35B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32各组的平均值 A组： 123.360 B组： 123.333 C组： 123.356 =?加权平均数 各组的平均及其权 A组：
16、 123.360 权PA=3 B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5 ( ) ( ) ( )一、权与中误差平均数的权pA=3平均数的中误差m单位权中误差权与误差的平方成反比二、加权平均数三、加权平均值的中误差 四、单位权中误差的计算假设m可以用真误差j计算，那么假设m要用矫正数v计算，那么加权平均值规范差的算例例：对某程度角进展了三组观测，各组分别观测例：对某程度角进展了三组观测，各组分别观测2，4，6测回测回 计算该程度角的加权平均值。计算该程度角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值：1 2 402014 4 1
17、 42 4 40 20 17 7 2 143 6 40 20 20 10 3 30 L0= 40 20 10 6 48vpvv+416+12-21230例：对某程度角进展了三组观测，各组分别观测例：对某程度角进展了三组观测，各组分别观测2，4，6测回测回 计算该程度角的加权平均值。计算该程度角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值：1 2 40 2014“ 4 2 82 4 40 2017“ 7 4 283 6 40 2020“ 10 6 60 L0= 40 2010 12 96vpvv+432+14-22460五、权倒数传播定律有； 权倒数传播定律 m2 m2 m2 m2例题知 求：
