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1、3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式教学内容：教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分；曲面积分；2.斯托克斯公式；斯托克斯公式；3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。的条件。教学重点：教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型曲面积分曲面积分教学难点：教学难点：斯托克斯公式斯托克斯公式一、高一、高 斯斯 公公 式式高斯高斯公式公式2.几点说明：几点说明：GaussGauss公式的实质公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面表达了空间闭区域上的三重积分与
2、其边界曲面上的曲面积分之间的关系上的曲面积分之间的关系.GaussGauss公式中第二型曲公式中第二型曲面积分一定为封闭面，面积分一定为封闭面，若不是封闭面，要添加若不是封闭面，要添加特殊的曲面或平面才能特殊的曲面或平面才能用用GaussGauss公式。公式。与与格林公式的异同格林公式的异同利用利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式公式可以得出用曲面积分求体积的公式例例2：P289习题习题1(1)、（、（2）练习：练习：P289习题习题1（2）、）、P295习题习题1（1）、（）、（2）二、斯托克斯二、斯托克斯( (stokes)stokes)公式公式1.双测曲面双测曲面的侧与边界曲
3、线的侧与边界曲线方向的规定方向的规定右手法则右手法则 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线2.2.斯托克斯斯托克斯( (stokes)stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式其中其中的侧与的侧与的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定便于记忆形式便于记忆形式3.几点说明：几点说明：StokesStokes公式公式的实质的实质: : 表达了有向曲面上的表达了有向曲面上的曲面积分曲面积分与其边界曲线与其边界曲线上的上的曲线积分曲线积分之间的关系之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件 设设 为空间区域为空间区域, , 如果如果 内任一闭曲线均内任一闭曲线均可以不经过可以不经过 以外的点而连续地收缩为属于以外的点而连续地收缩为属于 的一点，的一点，则称则称 为空间为空间单连通单连通区域区域, , 否则称为否则称为复连通复连通区域区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域1.空间单连通区域空间单连通区域GG2.2.空间曲线积分与路径无关的等价命题空间曲线积分与路径无关的等价命题
