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1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法第一课时第一课时 立体几何研究的主要问题有立体几何研究的主要问题有共点，共共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题决立体几何问题. . 问题提出问题提出在空间中，取定点在空间中，取定点O O作为基点，可以用什作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点么方法表示空间任意一点P P与点与点O O的的相对相对位置位置？ O OP P 向量向量 称为点称为点P P的位置向量的位
2、置向量 探求新知探求新知过空间一点过空间一点A A可以作无数条直线，其中可以作无数条直线，其中以某非零向量以某非零向量a a为方向向量的直线有几为方向向量的直线有几条？如何用条？如何用向量式向量式表示？表示？A AaP P过空间不同两点过空间不同两点A A、B B的直线如何用的直线如何用向向量式量式表示？表示？ A AB BP P设过点设过点O O的两条相交直线确定的平面为的两条相交直线确定的平面为，如何用，如何用向量形式向量形式表示平面表示平面内的内的点点P P的位置？的位置？ O OP P x xay ybab若直线若直线l l平面平面，a a为直线为直线l l的方向向的方向向量，则向量量
3、，则向量a a叫做平面叫做平面的的法向量法向量，如，如何用向量形式表示过点何用向量形式表示过点O O且法向量为且法向量为a a的平面的平面内的点内的点P P的位置？的位置？ aO OP Pa0 0 从以上可以看出，用空间向量确定点、直线、平面的位置时，都需要事先确定某个定点，作为表达式中向量的起点。 设直线设直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为a a，b b，平面平面，的法向量分别为的法向量分别为u u，v v. . l l/m m，l l/，/的的充要条件充要条件分别是分别是ba l/m a/b akb； 探求新知探求新知uauvl/ au au0 0 / u/v ukv l
4、lm m，l l，的的充要条件充要条件分别是分别是ba lm ab ab0 0 ual a/u aku uv uv uv0. 例例 求证：若一个平面内的两条相交直线求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行与另一个平面平行，则这两个平面平行. . uvabp典例讲评典例讲评复习回顾复习回顾 设直线设直线l l，m m 的方向向量分别为的方向向量分别为a a，b b，平面平面，的法向量分别为的法向量分别为u u，v v，则，则 l/m a/b akb； l/ au au0 0 / u/v ukv l a/u aku uv uv0. lm ab ab0 0 直线直线l l和
5、和m m所成的角所成的角与向量与向量a a，b b的关系的关系 baua直线直线l l和平面和平面所成的角所成的角与向量与向量a a，u u的的关系关系是是 平面平面和平面和平面所成的角所成的角与向量与向量u u，v v的关系的关系是是O OvA AB BuP P直线直线l l上上一点一点P P到平面到平面的距离的距离d d与向量与向量a a，u u 的关系是的关系是 A AaO Od duP P 1.1.直线的方向向量和平面的法向量都直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数可以为任意正数. . 2.2.设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为a a，对平面，对平面内的任一向量内的任一向量p p，若，若a ap p0 0，则，则l l. . 3.3.用向量方法研究与平面有关的问题用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算时，一般利用平面的法向量进行运算. .课堂小结课堂小结作业：作业：P104P104练习：练习：1 1，2.2.
