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1、上节课内容复习上节课内容复习1 实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面不同。止液体的总压力的方法与平面不同。 2-6 2-6 作用于曲面的液体压力作用于曲面的液体压力2静止液体作用在曲
2、面上的总压力的计算程序静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序 (1)将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力Fz。(2)水平分力的计算。(3)确定压力体的体积。(4)垂直分力的计算，方向由虚、实压力体确定。(5)总压力的计算。(6)总压力方向的确定。(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。2-6 2-6 作用于曲面的液体压力作用于曲面的液体压力3有一承受液体压强的二维曲面，坐标系的z轴垂直向下2-6 2-6 作用于曲面的液体压力作用于曲面的液体压力总压力 4总压力 （1）水平分力 曲面A在垂直于x轴的坐标平面内的投影面积 对y的面积矩 为投影面积的形心的淹深 5（2）垂直分力为曲面a
3、b和自由液面或者其延长面所包容的体积，称为压力体 （3）总压力的大小和作用点将上述总压力的两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力6压力体压力体压压力力体体是是所所研研究究的的曲曲面面（淹淹没没在在静静止止液液体体中中的的部部分分）到到自自由由液液面面或或自自由由液液面面的的延延长长面面间间投投影影所所包包围围的的一块空间体积。它的计算式一块空间体积。它的计算式 是是一一个个纯纯数数学学体体积积计计算算式式。作作用用在在曲曲面面上上的的垂垂直直分分力力的的大大小小等等于于压压力力体体内内液液体体的的重重量量，并并且且与与压压力力体体内内是是否否充充满满液液体体无无关关。表表示示由由两两个个
4、形形状状、尺尺寸寸和和淹淹深深完完全全相相同同的的曲曲面面所所构构成成的的容容器器，容容器器内内盛有某种液体。盛有某种液体。7压力体 曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积 实压力体压力体充满液体压力体充满液体 虚压力体 压力体中没有液体压力体中没有液体静止液体作用在固体壁面上的总压力这三个压力体的大小均为VOAB.所以，对于同一曲面，当液体深度不变，只是液体的相对位置不同时，压力体与曲面的相对位置不同,但压力体的大小并不改变，曲面所承受的垂直分力的大小也不变化，只是方向改变而已。8静止液体作用在固体壁面上的总压力复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出 实压力体？实压力体？虚压力体
5、？虚压力体？9压力体应由下列周界面所围成：压力体应由下列周界面所围成：（1）受压曲面本身）受压曲面本身（2）自由液面或液面的延长面）自由液面或液面的延长面（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面所作的铅垂平面ABABABC1011静止液体作用在曲面上的总压力的静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序：计算程序： (1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。 (2)水平分力的计算， 。 (3)确定压力体的体积。 (4)垂直分力的计算， 方向由虚、实压力体确定。 (5)总压力的计算， 。 (6)总压力方向的确定， 。 (7)作用点的确定，
6、即总压力的作用线与曲面的交点即是。12【例题例题】一弧形闸门如图所示，闸门宽度一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角，圆心角=45，半径，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。对闸门的静水总压力。解：闸门前水深为解：闸门前水深为ABhOR水平分力：水平分力：铅直分力：铅直分力：静水总压力的大小：静水总压力的大小：静水总压力与水平方向的夹角：静水总压力与水平方向的夹角：静水总压力的作用点：静水总压力的作用点：ZDD答：略。答：略。13静止液体作用在固体壁面上的总压力解对对于于底底盖盖，由由于于在在水水平平方方向向上上压压强强分分布布对对
7、称称，所所以以流流体体静静压压强强作作用用在在底底盖盖上上的的总总压压力力的的水水平平分力为零。底盖上总压力的垂直分力分力为零。底盖上总压力的垂直分力顶盖上的总压力的水平分顶盖上的总压力的水平分力也为零，垂直分力为力也为零，垂直分力为例题：例题：14静止液体作用在固体壁面上的总压力侧盖上总压力的水平分力侧盖上总压力的水平分力侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力15根据上述水平分力和垂直分力
8、可求得总压力的根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的大小和作用线的方向角大小和作用线的方向角由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一定通过球心定通过球心16水水2m4m解解分左右两部分计算 左部：水平分力垂直分力 例题例题如图所示：有一圆形滚门，长1m（垂直园面方向），直径 为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在门上的总压力的大小及作用线的位置。17合力作用线通过中心与铅垂线成角度 。右部：水平分力垂直分力合力18作用线通过中心与垂线成角度 。总水平分力：总垂直分力：合力 19液体作用在浮体和潜体上的总压力总压力的垂直分力为负值说明
9、其方向向上即液体作用在潜体上的总的作用力流体力学中将部分沉浸在液体中的物体称为浮体，全部沉浸在液体中的物体称为潜体，沉入液体底部固体表面上的物体称为沉体作用在浮体和潜体上的总压力作用在浮体和潜体上的总压力202-7 2-7 液体平衡微分方程液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程式一、液体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx ，dy 和dz 的微元平行六面体的流体微团，如图所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。 由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Tayl
10、or）级数展开，欧拉平衡微分方程（欧拉平衡微分方程（1775年由瑞士学者欧拉首先提出）年由瑞士学者欧拉首先提出）21例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：略去二阶以上无穷小量后，分别等于 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：22p图 微元平行六面体x方向的受力分析23 同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为： 24 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ： 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等于零。例如，对于x轴，则为 整理上式，
11、并把各项都除以微元平行六面体的质量dxdydz则得25同理得 写成矢量式 这就是流体平衡微分方程式，是在这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉（年由欧拉（Euler）首先）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度质量力和密度) 均均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：未
12、作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体压缩和不可压缩流体。X,Y,Z为单位质量力在各方向上的分力26n 在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方向并未作具体规定，因而本方程既适用于静既适用于静止流体，也适用于相对静止的流体。止流体，也适用于相对静止的流体。同时，在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制，所以它不但适用于不可压缩流体，而且也适用于不但适用于不可压缩流体，而且也适用于可压缩流体。可压缩流体。另外，流体是处在平衡或相对平衡状态，各流层间没有相对运动，所以它既适用于理想流体，既适用于理想流体，也适用
13、于粘性流体。也适用于粘性流体。n 为了便于积分和工程应用，流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式，即全微分形式全微分形式。27把上式两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即 ，它的全微分为 所以， 28 二、流体平衡条件及二、流体平衡条件及质量力的势函数质量力的势函数 对于不可压缩均质流体，密度常数，可将平衡方程写成 根据数学分析理论可知：根据数学分析理论可知：上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分微分，令势数为，令势数为W W（x x，y y，z z），则），则W W的全微分为：的全微分为：则有： 有势函
14、数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。流体平衡的条件。 29势函数的概念复习 由理论力学知：若某一坐标函数对个坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的投影，则称该坐标函数为力的势函数，而对应的力称为有势力。z则称：质量力 f 有势如：重力、电磁力、惯性力z因为：30 三、等压面三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。P=C 1.等压面方程 2. 等压面特性 等压面就是等势面。 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 等压面不能相交 绝对静止流体的等压面是水平面 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论：结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。31
