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1、8.2 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法 类似地 可定义函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y的偏导数v偏导数的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 v偏导数的符号 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么f(x y)对x的偏导数是x、y的函数 这个函数称为函数zf(x y)对x的偏导函数(简称偏导数) 记作v偏导函数一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 v偏导
2、数的符号 v偏导函数v偏导函数的符号 v偏导函数 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如 三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 v偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时 只要把其它自变量看作常数 然后按一元函数求导法求导即可 v偏导函数讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数 解 例2 求zx2sin2y的偏导数 解 解 证 例3 例4 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
3、求证v偏导数的几何意义 fx(x0 y0) f(x y0)x fy(x0 y0) f(x0 y)y zf(x y0) zf(x0 y) 是截线zf(x y0)在点(x0 y0)处的切线Tx对x轴的斜率 是截线zf(x0 y)在点(x0 y0)处的切线Ty对y轴的斜率 v偏导数的几何意义v偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如但函数在点(0 0)并不连续在点(0 0) 有fx(0 0)0 fy(0 0)0 提示：提示：当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 二、高阶偏导数v二阶偏导数 如果函数zf(x y)的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 函数zf(x y)的二阶偏导数有四个其中fxy(x y)、fyx(x y)称为混合偏导数 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数 解 此例中两个混合偏导数是相等的 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 定理 解 证 例7 证 例8 提示 证 例8
