高三数学数列求和

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1、数列求和的方法数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和然后分别求和. 将数列相邻的两项将数列相邻的两项( (或若干项或若干项) )并成一项并成一项( (或一组或一组) )得到一个得到一个新数列新数列( (容易求和容易求和) ).一、一、拆项求和拆项求和二、二、并项求和并项求和例例 求和求和 Sn=12+23+n(n+1).例例 求和求和 Sn=1- -2+3- -4+5- -6+(- -1)n+1n.三、裂项求和三、裂项求和 将数列的每一项拆将数列的每一项拆( (裂开裂开) )成两项之差成两项之差, 使得正负项能相互使得正负项能相互抵消抵消, 剩下

2、首尾若干项剩下首尾若干项.n2Sn=- - ,n 为偶数时为偶数时, , n 为奇数时为奇数时. n+1 2n(n+1)(n+2) 3 n+1n例例 求和求和 Sn= + + .121231n(n+1)1四、错位求和四、错位求和 将数列的每一项都作相同的变换将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减动一个位置与原数列的各项相减.例例 等比数列求和公式的推导等比数列求和公式的推导. 五、倒序求和五、倒序求和 将数列的倒数第将数列的倒数第 k 项项( (k=1, 2, 3, ) )变为正数第变为正数第 k 项项, 然后然后将得到的新数列与原

3、数列进行变换将得到的新数列与原数列进行变换( (相加、相减等相加、相减等) ).例例 等差数列求和等差数列求和公式的推导公式的推导.典型例题典型例题(1)已知已知 an= , 求求 Sn; n(n+1)2 2n+1 (2)已知已知 an= , 求求 Sn; (2n- -1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n- -1 Sn=3n- -2n( (公比为的等比数列公比为的等比数列) ) 23(4)Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1; 法法1 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+nn- -(n- -1) =n(

4、1+2+3+n)- -2 1+3 2+n(n- -1) =n(1+2+3+n)- -12+22+(n- -1)2- -1+2+(n- -1) 法法2 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1 =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n) 而而 an=1+2+3+n= n(n+1). 12(5)Sn=3n- -1+3n- -22+3n- -322+2n- -1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn; 0 1 2 3 n n(n+1)(n+2) 6 课后练习课后练习 1.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列, 且且 a1=2, a1+a2+a3

5、=12, (1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式; (2)令令 bn=an 3n, 求数列求数列 bn 前前 n 项和的公式项和的公式.解解: (1)设数列设数列 an 的公差为的公差为 d, 则由已知得则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故数列故数列 an 的通项公式的通项公式为为 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得数列得数列 bn 前前 n 项和项和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 将将 式减式减 式得式得:

6、- -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 2又又 a1=2, 2.将上题将上题 (2) 中中“ bn=an 3n ” 改为改为“ bn=an xn(x R)”, 仍求仍求 bn 的前的前 n 项和项和.解解: 令令 Sn=b1+b2+bn, 则由则由 bn=an xn=2nxn 得得:Sn=2x+4x2+(2n- -2)xn- -1+2nxn xSn=2x2+4x3+(2n- -2)xn+2nxn+1 当当 x 1 时时, 将将 式减式减 式得式得: (1- -x)Sn=2(x+x2+xn)-

7、 -2nxn+1= - -2nxn+1. 2x(1- -xn) 1- -x Sn= - - .2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x 当当 x=1 时时, Sn=2+4+2n=n(n+1); 综上所述综上所述, Sn= n(n+1), x=1 时时, 2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x - - , x 1 时时. 3.求和求和: Sn=1+(1+ )+(1+ + )+(1+ + + ).121412121412n- -1 121412n- -1 解解: an=1+ + + = =2- - . 1- - 121- - 1212n- -1 1

8、2n- -1 Sn=2n- -(1+ + + ) 121412n- -1 =2n- -2+ . 12n- -1 4.求数列求数列 n(n+1)(2n+1) 的前的前 n 项和项和 Sn.解解: 通项通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n) n2(n+1)2 = + + 2n(n+1) 2n(n+1)(2n+1) 2= . n(n+1)2(n+2) 2 5.数列数列 an 中中, an= + + , 又又 bn= , 求求数列数列 bn 的前的前 n 项的和项的和.n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+

9、1 2解解: an= (1+2+n)= , n+1 1 2 nbn= =8( - - ). 2 n2 n+12 n+1 1 n1Sn=8(1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 1213121314n+1 1 n1=8(1- - ) n+1 1 n+1 8n = . 6.已知已知 lgx+lgy=a, 且且 Sn=lgxn +lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn, 求求 Sn. 解解: Sn=lgxn+lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn,又又 Sn=lgyn +lg(xyn- -1)+lg(xn- -1y)+lgxn,2Sn=

10、lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 项项 =n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a, lg(xy)=a.Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 注注: 本题亦可用对数的运算性质求解本题亦可用对数的运算性质求解: Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 Sn=lgxn+(n- -1)+3+2+1 y1+2+3+(n- -1)+n, 8.求求数列数列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通项的通项 an 及前及前 n 项和项和Sn.解解: an= +1+ +2+ +nn(n- -1)

11、 2 n(n- -1) 2 n(n- -1) 2 n2(n- -1) 2 = + = n3+ n. n(n+1) 2 1212 Sn= (13+23+n3)+ (1+2+n)1212n(n+1) 2 = 2+ 1212n(n+1) 2 = (n4+2n3+3n2+2n). 187.求证求证: Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n. 0 1 2 n 证证: 令令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn. 0 1 2 n 又又 Sn=(2n+1)Cn+(2n- -1)Cn +3Cn+Cn, n n- -1 1 0 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1) 2

12、n. 0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n.0 1 2 n 9.已知递增的等比数列已知递增的等比数列 an 前前 3 项之积为项之积为 512, 且这三项分别且这三项分别减去减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列, 求数列求数列 的前的前 n 项和项和.an n 解解: 设设等比数列等比数列 an 的公比为的公比为 q, 依题意得依题意得:a1a2a3=512a23=512a2=8.前三项分别减去前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列,( - -1)+(8q- -9)=2(8- -3) q=2 或或 q= ( (舍去舍去) ).

13、q812an=a2qn- -2=8 2n- -2=2n+1.所求数列的前所求数列的前 n 项和项和 Sn= + + 122 223 2n+1 n2n+1 n- -1 123 224 Sn= + + + 122n+2 n- - 得得: Sn= + + - -2n+1 1 122 123 122n+2 nSn= + + - -12n 122 2n+1 n12=1- - - - .12n 2n+1 n 10.已知数列已知数列 an 中中, a1=1, (2n+1)an=(2n- -3)an- -1(n2, n N*), 求数列求数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn. = . an- -1 an

14、2n- -3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解解: (2n+1)an=(2n- -3)an- -1, 则则 = , , = , = . an- -2 an- -1 2n- -5 2n- -1 a2 a3 37a1 a2 15 = . a1 an (2n+1)(2n- -1) 3 an=(2n+1)(2n- -1)3 = ( - - ). 321 2n- -1 1 2n+1 321 2n- -1 1 2n+1 = (1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 13151315173n 2n+1 = . 解解: (1) a1C - -a2C +a3C =a1- -2a1q+a

15、1q2=a1(1- -q)2. 222210 11.已知已知 an 是是 首首 项项 为为 a1, 公公 比比 为为 q 的的 等等 比比 数数 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的结果归纳概的结果归纳概括出关于正整数括出关于正整数 n 的一个结论的一个结论, 并加以证明并加以证明; (3)设设q1, Sn是是an的前的前 n 项和项和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n3210a1C - -a2C +a3C - -a4C

16、 =a1- -3a1q+3a1q2- -a1q3=a1(1- -q)3. 3333(2) 归纳概括的结论为归纳概括的结论为: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n, 其中其中, 3n210nnnnnn 为正整数为正整数. 证明如下证明如下: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C 3n210nnnnn=a1C - -a1qC +a1q2C - -a1q3C +(- -1)na1qnC 3n210nnnnn=a1C - -qC +q2C - -q3C +(- -1)nqnC 3n210nnnnn=a1(

17、1- -q)n. a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n. 3n210nnnnn解解: (3)记记 t= , 则由则由 Sn=t(1- -qn) 得得: 1- -q a1 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =t(1- -q)Cn- -(1- -q2)Cn+(1- -q3)Cn+ +(- -1)n(1- -qn+1)Cn 012n0123n- -tqCn- -qCn+q2Cn- -q3Cn+ +(- -1)nqnCn=tCn- -Cn+Cn- -Cn+ +(- -1)nCn 012n

18、3=t(1- -1)n - -tq(1- -q)n =- -tq(1- -q)n, 从而有从而有: 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =- -tq(1- -q)n =- - (1- -q)n. 1- -q a1q 11.已知已知 an 是是 首首 项项 为为 a1, 公公 比比 为为 q 的的 等等 比比 数数 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的结果归纳概的结果归纳概括出关于正整数括出关于正整数 n 的一个结论的一个结论, 并加以证明并加以证

19、明; (3)设设q1, Sn是是an的前的前 n 项和项和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n(1)证证: 由已知由已知 S1=a1=a, Sn=aqn- -1, 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=aqn- -1- -aqn- -2=a(q- -1)qn- -2. 在在 an中中, 从第从第 2 项开始成等比数列项开始成等比数列. 12.数列数列 an 中中, a1=a, 前前 n 项和项和 Sn 构成公比为构成公比为 q(q 1) 的等的等比数列比数列. (1)求证求证: 在在 an中中, 从第从第

20、 2 项开始成等比数列项开始成等比数列; (2)当当 a=250, q= 时时, 设设 bn=log2|an|, 求求 |b1|+|b2|+|bn|.12an+1an = =q(n2), a(q- -1)qn- -2 a(q- -1)qn- -1 (2)解解: 由由(1)知知 an= a, n=1, a(q- -1)qn- -2, n2. 当当 a=250, q= 时时, b1=log2|a1|=log2250=50, 12 n2 时时, bn=log2|an|=log2|250( - -1)( )n- -2|=51- -n, 1212bn=51- -n(n N*). 当当 1n51 时时,

21、|b1|+|b2|+|bn| =(51- -1)+(51- -2)+(51- -n) =51n- -n(n+1) 2=- - n2+ n; 101212当当 n52 时时, |b1|+|b2|+|bn|= + 50(50+1) 2(n- -51)(1+n- -51) 2= n2- - n+2550. 101212 n2- - n+2550, n52. 101212综上所述综上所述 |b1|+|b2|+|bn|=- - n2+ n, 1n51, 101212=(50+49+1)+1+2+(n- -51) =51n- -(1+2+n) 购物好实惠购物好实惠 云购易商城云购易商城 云购易云购易 ht

22、tp:/ http:/ 购物好实惠购物好实惠 云购易商城云购易商城 云购易云购易 wpd79xry wpd79xry 在得出了一个猜测在得出了一个猜测”“”“快说啊！什么猜测？快说啊！什么猜测？”慕容凌娢迫不及待地想要知道答案。慕容凌娢迫不及待地想要知道答案。“就是找到一种名为灵石的矿物质，在一些特定的就是找到一种名为灵石的矿物质，在一些特定的时间和地点，激活灵石的能量，就能穿越回去了。时间和地点，激活灵石的能量，就能穿越回去了。”第第011011章章 选择选择“就是找到一种名为灵石的矿物质，在特定的时间和地点激发它的能量，就是找到一种名为灵石的矿物质，在特定的时间和地点激发它的能量，就可以回

23、去了。就可以回去了。”“”“灵石啊灵石啊”慕容凌娢迟疑了一会儿，问道，慕容凌娢迟疑了一会儿，问道，“那在哪里能找到你所说的灵石呢？那在哪里能找到你所说的灵石呢？”“”“不不清楚。不不清楚。”夏先生十分干脆夏先生十分干脆的回答吧慕容凌娢吓了一跳。的回答吧慕容凌娢吓了一跳。“大叔，你不是在开玩笑吧？大叔，你不是在开玩笑吧？”慕容感觉自己就像是被泼了一盆冷水，刚抓住的救命稻草又断了。慕容感觉自己就像是被泼了一盆冷水，刚抓住的救命稻草又断了。“你这干你这干脆的回答让我很不爽啊。脆的回答让我很不爽啊。”“”“其实关于灵石，还有一种传说。其实关于灵石，还有一种传说。”夏先生依旧是不紧不慢的说着，夏先生依旧

24、是不紧不慢的说着，“这是一种来自宇宙中的陨石，千年前掉这是一种来自宇宙中的陨石，千年前掉落在这片土地上，由于时间过长，大部分陨石己经被侵蚀，变为普通的岩石。只有两块还拥有可以助人穿越到能量。落在这片土地上，由于时间过长，大部分陨石己经被侵蚀，变为普通的岩石。只有两块还拥有可以助人穿越到能量。”“”“感觉这是科幻小感觉这是科幻小说的套路啊。说的套路啊。”慕容凌娢仍然不忘记吐槽，慕容凌娢仍然不忘记吐槽，“不过为什么才两块？传说就不能编的美好一些吗？至少也要七块吧，可以召唤神龙了！不过为什么才两块？传说就不能编的美好一些吗？至少也要七块吧，可以召唤神龙了！”“”“你就不想听听传说中灵石都藏在什么地方

25、吗？你就不想听听传说中灵石都藏在什么地方吗？”“”“当然想。当然想。”一听到还有一丝希望，慕容凌娢马上冷静了下来。一听到还有一丝希望，慕容凌娢马上冷静了下来。“据说据说这两块灵石，这两块灵石，一块被镶嵌在了当朝的传国玉玺之上，另一块嘛一块被镶嵌在了当朝的传国玉玺之上，另一块嘛流传至江湖，被制作成了江湖盟主的令牌，所以说流传至江湖，被制作成了江湖盟主的令牌，所以说”“”“等等，下面的情节我已经等等，下面的情节我已经猜到了。猜到了。”慕容凌娢对于始终是慢条斯理的夏先生已经有些绝望了，要按他的速度讲下去，估计大结局之前也讲不完。慕容凌娢对于始终是慢条斯理的夏先生已经有些绝望了，要按他的速度讲下去，估

26、计大结局之前也讲不完。“是不是该让我自是不是该让我自主选择人物养成路线了？主选择人物养成路线了？”“”“没错，你现在是想走宫廷路线还是江湖路线呢？没错，你现在是想走宫廷路线还是江湖路线呢？”“”“哪个路线更简单一点？哪个路线更简单一点？”慕容凌娢对于这个传说持相信慕容凌娢对于这个传说持相信的态度。的态度。“我个人认为江湖路线比较好走。我个人认为江湖路线比较好走。”夏先生捋了一下自己的胡须。夏先生捋了一下自己的胡须。“毕竟是明枪易躲暗箭难防。闯荡江湖靠的是实力，入朝为官毕竟是明枪易躲暗箭难防。闯荡江湖靠的是实力，入朝为官靠的是心机。靠的是心机。”“”“不过我好像没有任何实力啊！不过我好像没有任何

27、实力啊！”慕容凌娢有些沮丧。慕容凌娢有些沮丧。“我之前在学校里不会惹事，也不打架，就小学的时候学了一年的我之前在学校里不会惹事，也不打架，就小学的时候学了一年的跆拳道，现在也忘得差不多了跆拳道，现在也忘得差不多了“哎呀，确实有些难办，不过这根本不是问题。哎呀，确实有些难办，不过这根本不是问题。”夏先生是一副意料之中的表情，夏先生是一副意料之中的表情，“下面面试正式开始，回下面面试正式开始，回答完我的问题，就可以证明你适合那条路线了。答完我的问题，就可以证明你适合那条路线了。”“”“诶诶真的有面试这个环节啊！真的有面试这个环节啊！”慕容凌娢脸上是大写的懵逼，慕容凌娢脸上是大写的懵逼，“我还以为是

28、说着玩我还以为是说着玩的，完全没准备啊。话说需要简历吗的，完全没准备啊。话说需要简历吗”“”“姓名，慕容凌娢。年龄，姓名，慕容凌娢。年龄，1313岁。穿越前是初二学生。岁。穿越前是初二学生。”夏先生说到这里，露出了一个狡诈的夏先生说到这里，露出了一个狡诈的笑容，笑容，“没错吧？没错吧？”“”“哇塞，这么准。大叔你是怎么知道的？哇塞，这么准。大叔你是怎么知道的？”慕容凌娢不禁有些敬仰这个算命先生了。慕容凌娢不禁有些敬仰这个算命先生了。“那当然了，你也不想想我是谁。那当然了，你也不想想我是谁。”夏先生不动声色的把手中握着的那张写有慕容凌娢资料的纸放在了桌旁，夏先生不动声色的把手中握着的那张写有慕容凌娢资料的纸放在了桌旁，“我掐指一算，一切我掐指一算，一切