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1、 第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 多项式对数值计算和理论分析都十分方便多项式对数值计算和理论分析都十分方便, 所以在所以在研究某些复杂函数时研究某些复杂函数时, 常常希望将它们表示为一个常常希望将它们表示为一个多项式多项式. 假设假设(x)又为多少呢又为多少呢?问题问题:在在 x0 的邻域的邻域内能够表示为一个多项内能够表示为一个多项式式1. 多项式多项式的系数应如何确定呢的系数应如何确定呢?(1)若若(x)为一个关于为一个关于x的多项式的多项式, 即即下面对下面对(x)分两种情形来讨论以上问题分两种情形来讨论以上问题.假设假设(x)在在x0 的某邻域内表示为的某邻域内表示为
2、的多项式的多项式, 即即 因为多项式函数具有任意阶的连续导数因为多项式函数具有任意阶的连续导数, 则可对上则可对上式两边求式两边求 x 的的 1 至至n 阶导数阶导数, 有有在上列各式中在上列各式中, 令令 , 由由从而从而则得则得并记并记(x)与与 (2)若若(x)不是多项式不是多项式, 而是一个在而是一个在 x0 的某邻域的某邻域内具内具有直到有直到(n + 1)阶导数的一般函数则我们可仿照上式构阶导数的一般函数则我们可仿照上式构造一个关于造一个关于 x 的多项式的多项式 很小且在允许的误差范围内时很小且在允许的误差范围内时, 就可用就可用 当当去近似代替去近似代替(x), 即有即有那么那
3、么, 误差误差如何确定呢如何确定呢?2024/7/213-3 泰勒公式7一、泰勒一、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理【泰勒公式泰勒公式】2024/7/213-3 泰勒公式8证明证明: :2024/7/213-3 泰勒公式92024/7/213-3 泰勒公式102024/7/213-3 泰勒公式11泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理说明：中值定理说明： 函数如果在某个开区间内满足具有直到函数如果在某个开区间内满足具有直到( (n+1)+1)的导数，则一定可以构造出一个多项式的导数，则一定可以构造出一个多项式函数来逼近它，并且误差是：函数来逼近它，并且误差是：20
4、24/7/213-3 泰勒公式122024/7/213-3 泰勒公式13n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日形式拉格朗日形式的余项的余项n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺（皮亚诺）皮亚诺）形式的形式的余项余项【书书P142P142下面的注下面的注】2024/7/213-3 泰勒公式15注意注意: :2024/7/213-3 泰勒公式16麦克劳林麦克劳林( (MaclaurinMaclaurin) )公式：公式：带带拉格朗日形式拉格朗日形式余项的余项的n 阶麦克劳林公阶麦克劳林公式式带带佩亚诺形式佩亚诺形式余项的余项的n 阶麦克劳林公阶麦克劳林公式式2024/7/213-3 泰勒公式17解
5、解代入公式代入公式, ,得得几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式2024/7/213-3 泰勒公式182024/7/213-3 泰勒公式19其中其中2024/7/213-3 泰勒公式20类似可得类似可得其中其中2024/7/213-3 泰勒公式21其中其中2024/7/213-3 泰勒公式22已知已知其中其中类似可得类似可得2024/7/213-3 泰勒公式2342246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近2024/7/213-3 泰勒公式2442246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近2024/7/213-3 泰勒公式252024/7/213-3 泰勒公式26202
6、4/7/213-3 泰勒公式272024/7/213-3 泰勒公式282024/7/213-3 泰勒公式292024/7/213-3 泰勒公式302024/7/213-3 泰勒公式312024/7/213-3 泰勒公式322024/7/213-3 泰勒公式332024/7/213-3 泰勒公式342024/7/213-3 泰勒公式352024/7/213-3 泰勒公式362024/7/213-3 泰勒公式372024/7/213-3 泰勒公式382024/7/213-3 泰勒公式392024/7/213-3 泰勒公式402024/7/213-3 泰勒公式412024/7/213-3 泰勒公式4
7、22024/7/213-3 泰勒公式432024/7/213-3 泰勒公式442024/7/213-3 泰勒公式452024/7/213-3 泰勒公式46二、泰勒公式的应用二、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.2024/7/213-3 泰勒公式47已知已知例例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过解解:令令 x = 1 , 得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 , 因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为2024/
8、7/213-3 泰勒公式48解解分子分母同次分子分母同次2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限2024/7/213-3 泰勒公式49由题设对由题设对证证:有有且且3. 利用泰勒公式做证明题利用泰勒公式做证明题2024/7/213-3 泰勒公式50下式减上式下式减上式 , 得得令令2024/7/213-3 泰勒公式51内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .2024/7/213-3 泰勒公式522. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 )3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , 2024/7/213-3 泰勒公式53 作业作业 P145 1 ; 5 ; 10(1),(2) 8,9 8,9不用做不用做 其他题目自己做书上！其他题目自己做书上！
