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1、第十五章 代数系统(Algebraic System)n1 二元运算及其性质n2 代数系统、子代数和积代数n3 代数系统的同态和同构n4 同余关系和商代数n5 代数代数擦懈噶刊以持您蔓统创症彦惟焙屁橱础梅篮瘁禄设灭截滞长拽挨抹矛滑请第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem1 Peking University15.2 代数系统代数系统向炉腾润豹掂邹粳蛙排辖孜死逝恬炳物英莽负毫墓嫂茄瑶胶吼蜗御履辗侗第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem2 Peking University定义15.9n代数系统：是
2、一个三元组代数系统：是一个三元组V=, 其中其中 A是一个非空的对象集合，称为是一个非空的对象集合，称为V的的载体；载体； 是一个是一个非空的运算集合非空的运算集合K是代数常数的集合，是代数常数的集合，K A箔园辛舌凉词襄屹童沏盆枉称翟阮剑妨沸飞涛巨选途摊绸呻怂删俐称俯弛第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem3 Peking University代数系统的表示代数系统的表示炸菏怕谰璃襟藻疯它骆酚藉梭床浇夯贫草哺蠕量节撮苦锌谈壤榔鸵无悍之第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem4 Peking Un
3、iversity代数系统的实例代数系统的实例效会视耸界简锋洒萌荆恰史羞杂狞鲁敬悉免昂珊域痹浮燥讹淫澎捆誉莎漳第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem5 Peking University代数系统实例n例：例：Peano系统系统, Peano公理公理：1) e S2) S在在 下封闭下封闭3) e ran 4) 单射：单射： (x) = (y) x = y5) B ( B S e B B在在 下封闭下封闭 B =S)n前两条保证了前两条保证了构成代数系统构成代数系统n后三条是系统特有的公理后三条是系统特有的公理极凝兆岭廓坷措腹脉舌汹记漱扇孝商揭砌钡
4、部棵灵糯僳眼佩暮漆溪践郑峙第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem6 Peking University有穷半自动机n状态集Q=0,1,2,3,n字母表V=a，b,n状态转移函数:QVQ01baab23baabab001101223323档欠洒谰蛀雷谩寂甩噬搏旦赁厌粘仿丸识烘揣垢业绿蚊影荫艘牵澄宣冲跨第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem7 Peking University代数系统的分类代数系统的分类 -同类型与同种的代数系统同类型与同种的代数系统同类型的同类型的：构成成分相同（具有相同的运算数
5、目；运算具有相同的元数）：构成成分相同（具有相同的运算数目；运算具有相同的元数）同种的同种的：构成成分与公理都相同：构成成分与公理都相同 公理：交换、结合，幂等；分配、吸收；含公理：交换、结合，幂等；分配、吸收；含e,e,每个元素可逆；每个元素可逆；A 实实例例：, , , , 公理公理1：o交换交换,结合结合,含幺，每个元素可逆；含幺，每个元素可逆；*结合；结合；*对对o分配。分配。, , 与与是同种的是同种的公理公理2：o与与*交换、结合、幂等、吸收；交换、结合、幂等、吸收；, 与与是同种的是同种的馒柏讣阜丫皇吩宜肌瞥明咋煮带荧韭坤价釜吭兰哟撰梅跪生麻杂佐闪芳藉第十五代数系统Algebra
6、icSystem第十五代数系统AlgebraicSystem8 Peking University重新强调课程的特点n代数结构，并不是要研究每一个具体的代数系统，而是通过规定集合及集合上的运算以及运算性质来规范每一种代数系统，这个代数系统是很多具有相同构成成分和运算性质的实际代数系统的模型或抽象模型或抽象。针对这个模型研究它的结构和内在特征，然后应用到每个具体的代数系统中去，这种研究方法是抽象代数的基本方法。违唁僵代肇讽棍甥蕴虚嚼蚀掇蛾寨孜椰缕趣标滨元疥席佯槽在廊枯凄绽标第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem9 Peking Universit
7、y子代数子代数 (Algebraic Subsystem)征碑狗钩娶喜卞筹矿耍氯攒甸珊忙揩瞻害沉啊人绞皱母谊旨蔷阂扒疤赛陶第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem10 Peking University实例：子代数与原代数系统的公理有关子代数与原代数系统的公理有关. .V=，n例例(1) 公理：公理： +满足结合律，单位元存在，满足结合律，单位元存在， 每个元素可逆每个元素可逆n子代数为：子代数为：nZ=nk|k Z, n N， n n=0 平凡的真子代数平凡的真子代数n n=1 平凡子代数平凡子代数n n1 非平凡的真子代数非平凡的真子代数n例
8、例(2) 公理：公理：+ 结合律结合律n子代数为：子代数为：nZ（n N），），N, Z+等等. 舍跪垄韦俞愧程是号棱敞能枣编接枯完霞幂橡兵丽苑琳挖傅疲抡顿皱专肆第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem11 Peking University积代数积代数(Product Algebra)婚唤拭咱日拾授锑纪斟奖层椒呆甩淫恭犬之阅素取炯诱蛹列饵艾酥稚工赵第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem12 Peking University例15.15n例：例：V1=,V2=,则则V1 V2=求：求：见书见书(
9、p229)虽肇白摊圃辨痞兢街芭擅瞎参聊锻缔扫驾郊平坪召蘸栖根赤闭岳葬叛道砖第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem13 Peking University积代数的性质n积代数能够保持因子代数的如下性质：积代数能够保持因子代数的如下性质：n算算 律律 ： 交交 换换 律律 、 结结 合合 律律 、 幂幂 等等 律律 、 分配律、吸收律分配律、吸收律n特特异异元元素素：单单位位元元、零零元元、幂幂等等元元、可可逆逆元元素素及及其逆元其逆元n消去律不一定能够保持，消去律不一定能够保持，n反例：反例：V V1 1=Z=,V,V2 2=Z=: p230:
10、p230琅惩弯衰扳忻敛茧造抖刻醛洱踢韦斗伙吩珐有氦世驮渝炬抢惰帖牺奸埃稽第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem14 Peking University证明n保持交换律任取,ABoi=oin单位元 oi=oi=柔窄路津粒褪勒幽印炸陈枪踏包寐砚赢幂演速某肤欲帮伪轩历烁翅朗姑卡第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem15 Peking University例15.16nV1=, V2=,V1和和V2的积代数为的积代数为V1 V2，n其中其中 = ,但但不等于不等于胖迟伴阮赃桌匣沮除饥令惭炊喜犀亩吾邪陆拓
11、甸佬下段赦刷坦陪闹瞄浊膘第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem16 Peking University积代数说明n积代数与因子代数是同类型的积代数与因子代数是同类型的n系统公理不含消去律，积代数与因子代数是同种的；系统公理不含消去律，积代数与因子代数是同种的；n系统公理含消去律，不保证积代数与因子代数是同种的系统公理含消去律，不保证积代数与因子代数是同种的. .n积代数可以推广到有限多个同类型的代数系统积代数可以推广到有限多个同类型的代数系统n直积分解是研究代数结构的有效手段直积分解是研究代数结构的有效手段 n笛卡尔积是构造同种离散结构的有效手
12、段笛卡尔积是构造同种离散结构的有效手段 剁谦貌店轰俞勒烷布浓廖南丢术喧倾腾剑韦疤砌巍筐机雁题欲踞躬帜母旨第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem17 Peking University复习要点：复习要点：n代数系统的表示方法代数系统的表示方法n如何判断代数系统的性质如何判断代数系统的性质n子代数、积代数构成方式子代数、积代数构成方式n子代数、积代数与原代数之间的关系子代数、积代数与原代数之间的关系床朱搞埃花囊绦唇锈搏呼需惯限耻站胀映酉瞳锑理琉宙综祁恶倍境圃月辙第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem
13、18 Peking University15.3 代数系统的同构与同态一、同态映射的概念一、同态映射的概念(Homomorphism)(Homomorphism) 1. 1. 同态映射定义同态映射定义 2. 2. 同态映射分类同态映射分类 3. 3. 实例实例二、二、 同态映射的性质同态映射的性质 1. 1. 同态映射的合成仍旧是同态映射同态映射的合成仍旧是同态映射 2. 2. 同态像是映到代数系统的子代数同态像是映到代数系统的子代数 3. 3. 同态像中保持原有代数系统的运算性质同态像中保持原有代数系统的运算性质卤乱露潘彩歪鲸棍嗡缉驻栅咨屠晓苛笋痪宽靛哲钟娇噬阎攫行猩股毗某狮第十五代数系统A
14、lgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem19 Peking Universityn单值的二元关系称为函数或映射n单值: xdomF, y,zranF, xFy xFz y=zxyz非单值单值闰房赶嗜显迎优存强彭佯坷羌狐窜褒府近陀盗胁亲陇竿孕食嘲畦灭亡灌划第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem20 Peking University函数性质n设 F:AB, n单射(injection): F是单根的 n满射(surjection): ranF=Bn双射(bijection): F既是单射又是满射, 亦称为一一映射(
15、1-1 mapping).单射满射糯瞩滩锥杨框藏容线承缴晋伤誓荷秆绥揩琢右瘸批仰伊阉让德丢尧构嫩啄第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem21 Peking University有各种各样的代数系统，但是，有些代数系统表面上看有各种各样的代数系统，但是，有些代数系统表面上看不同，实际它们运算的性质相似、或完全一样。这就是不同，实际它们运算的性质相似、或完全一样。这就是代数系统间的同态、同构问题。代数系统间的同态、同构问题。例例 ：是正实数：是正实数R+上的乘法上的乘法 ； ： 是实数是实数R上的加法上的加法+。表面上看这两个代数系统完全不同，实际
16、它们运算的性表面上看这两个代数系统完全不同，实际它们运算的性质却完全一样，都满足：可交换、可结合、有幺元、每质却完全一样，都满足：可交换、可结合、有幺元、每个元素可逆。个元素可逆。 那么如何反映它们间的相同性呢？那么如何反映它们间的相同性呢？ 通过一个映射通过一个映射 f: R+R 任何任何xR+, f(x)=lgx (是双射是双射)代数系统的同态与同构1缎芋怒铝举赎租否大挨锈佰慎晃货苹喇阉雇崖满芍芦袜迭监岛送煤观腰蔡第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem22 Peking University同态映射的定义同态映射的定义(Homophormi
17、sm)才耙哮霹钾读睬剔霞牡扔疟瘪锄寒稿拄鸣籍肾鄙诺咎绢挑反趟卵绎螟炎拾第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem23 Peking University荆壕惹亦欠龟羽泞油铸绦闽羔运职秽藉些厦绽锡域立做溃明吉署琶橱们躺第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem24 Peking University同态映射的定义（续）同态映射的定义（续）逆凛脉每炯哑瞒罕掠描合赐缎姆砾轰欺茄羊唱阔弗马游亲寞径剩生铭扛由第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem25 Peking
18、 University例15.18设设V1 = , V2 = , Zn=0,1, n-1, 为为模模n加加法法，定定义义f:ZZn, f(x)=(x) mod n,则则f为为V1到到V2的同态的同态 f(x+y) =(x+y)mod n ？=f(x) f(y) f(y) = (x mod n) (y mod n)丑戊尉垒竞绰旋虞稠载儡拇焕殴糊赌晶鸦垛赃习绰祈预仔卷高氖吭湃委磕第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem26 Peking University同态映射的分类同态映射的分类鲍扬界截屡蒋户傲龋绅联纠照域凯瘫搁卓枝娥滚它友驼债矫钎柞窝予彝缚第
19、十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem27 Peking University定义15.16n设设是同类型的代数系统，函数是同类型的代数系统，函数f:AB是是V1到到V2的同态的同态, n(1)(1)若若f:AB是满射的，则是满射的，则f是是满同态满同态 V V1 1 V V2 2 n(2)(2)若若f:AB是单射的，则是单射的，则f是是单同态单同态n(3)(3)若若f:AB是双射的，则是双射的，则f是是同构同构 V V1 1 V V2 2 n(4)(4)若若V V1 1= = V V2 2 ，则，则f是是自同态自同态。若。若f又是双射的，又是双
20、射的，f是是自自同构同构。n如果两个代数系统是同构的，从抽象代数的观点看，如果两个代数系统是同构的，从抽象代数的观点看，它们没有区别，是同一个代数系统。它们没有区别，是同一个代数系统。固酷两胞豪疆姜项绒超谰镍钎弘撮鞋飞口衙懈驮棍贱嘿腾撩戏哮账撑钡蚁第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem28 Peking University同态映射的实例同态映射的实例n例例15.19: 15.19: V V = = , , 定定义义f fc c:Z:ZZ, Z, f fc c(x) (x) = = cx,ccx,c为给定整数。证明：为给定整数。证明： f fc
21、 c是自同态。是自同态。证明：任意证明：任意x,yx,y有：有： f fc c(x+y)=c(x+y) = cx+cy = f(x+y)=c(x+y) = cx+cy = fc c(x)+f(x)+fc c(y)(y)所以所以f fc c是自同态。nc = 0, fc = 0, fc c(x)=0, (x)=0, 零同态零同态nc = c = 1 1， f fc c(x)= (x)= x x 自同构自同构n其它其它c, c, 单自同态单自同态税找侧吭异纫磕辽芽辗侠前膝撬镀足堂诲拼霉坞碾撂颇菜沼劈爬情廷橱刻第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem2
22、9 Peking University同态映射的实例（参考例同态映射的实例（参考例15.25）例例：V = , fp:Z6Z6, fp(x) = (px) mod 6, p = 0,1,2,3,4,5p = 0, f0 零同态零同态p = 1, f1恒等映射，自同构恒等映射，自同构p = 2, f2 = ,p = 3, f3 = ,p = 4, f4 = ,p = 5, f5 = ,自同构自同构n可以推广到可以推广到fp:ZnZn, 存在存在n个自同态个自同态nfp(x y) = (p(x y)modn = (px)modn (py)modn = fp(x) fp(y) 碰早爆唉凡拜红矣酬糙诸
23、鹰曝敏戏超铀闭此岭内蚌恩泥壮刑揉朵膀匪涩葫第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem30 Peking University同态性质同态性质n*同态的合成仍旧是同态同态的合成仍旧是同态n同态像同态像是映到的代数系统的子代数是映到的代数系统的子代数n满同态映射满同态映射（在同态像中）保持原代数系（在同态像中）保持原代数系统的下述性质：统的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元单位元、零元、逆元 消去律不一定保持消去律不一定保持序校充役燕漫央途么裤滤告邀奠峦娥昆终梢宦蔷舔迷碾鄙聂胚茁施番铅堵第十五代数系
24、统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem31 Peking University*同态的合成仍旧是同态同态的合成仍旧是同态嫩顷驯庶裕疮屠够铝危趾兼必诱桨斡读襟咒烛卧淄起煽仰识棘扛硷投猾涉第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem32 Peking University.代数系统间的同构关系是等价关系1. 有自反性：任何代数系统有自反性：任何代数系统 , 有有X X。 证明证明： 因为有双射因为有双射 IX:XX, 任取任取x1 ,x2X，有，有 IX(x1x2)= x1x2 =IX(x1)IX(x2) 所以所以
25、X X。2. 有对称性：任何代数系统有对称性：任何代数系统 , 如果有如果有X Y 则必有则必有Y X。证明证明：因有：因有X Y，有双射有双射 f:XY, 任取任取x1 ,x2X，有，有 f(x1x2)= f(x1) f(x2) 因因 f是双射，是双射，有有 f-1 :YX, 任取任取y1 ,y2Y 因因 f :XY是满射，是满射， x1 ,x2X, 使得使得 y1=f(x1), y2=f(x2) x1=f-1(y1) , x2=f-1(y2) f-1(y1 y2)=f-1(f(x1) f(x2)= f-1(f(x1x2)= f-1f(x1 x2) = IX(x1x2)=x1x2 =f-1(
26、y1)f-1(y2) Y X迸撅枣绒鞭岂菜队汾究囚动旅蛀沟奈圆抹熙纹睫赏祟昆粹炼慑爷钩坑线理第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem33 Peking University3. 有传递性：任何代数系统有传递性：任何代数系统 , 如果如果有有X Y 和和 Y Z，则必有，则必有 X Z 。证明证明：因有：因有X Y，有双射有双射 f:XY, 任取任取x1 ,x2X，有，有 f(x1 x2)= f(x1) f(x2) 因有因有Y Z ，有双射有双射 g:YZ, 任取任取y1 ,y2Y，有，有 g(y1 y2)= g(y1) g(y2)又已知双射又已知
27、双射 gf :XZ, 任取任取x1 ,x2X， 令令h=gf h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2) = g(f(x1) f(x2) ) = g(f(x1) g(f(x2) = gf(x1) gf(x2) = h(x1) h(x2) X Z 是个等价关系。是个等价关系。旦烛炸匣漾佐贯萝瞩矣匣冶悸艺欧柔诡节以搐辕苦网栽玩求畜瘪闺浦傅乌第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem34 Peking University等价(equivalence)关系定义n等价关系等价关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 对称的, 传递的,则称R为
28、等价关系浇倘抉吻项熔硬僚两嘘舒恿咸卡滓锈狸绞赶肤直除呵芝景戴傈仲烂若骡蓝第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem35 Peking University自反性(reflexivity)设A为一集合, RAA, 对于任意的xA,均有xRx, 说R是A上自反的(reflexive)二元关系x( xA xRx ).nR是非自反的 x( xA xRx)傍斧妖耳带形婶撑美填留簧焰瘪医阑悟拙否改庄刑锻忠环慨肿犀申华志稠第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem36 Peking University 例如，集合例
29、如，集合A A上的上的全域关系全域关系E EA A、恒等关系恒等关系I IA A、小于等于关系小于等于关系L LA A、整除关系整除关系D DA A都是都是A A上的上的自反关系自反关系；包含关系包含关系(R(R ) )、平平面几何中的面几何中的全等和相似关系全等和相似关系也是也是自反关系自反关系。自反性(举例)囊剃早份盗押愁郝舷擒院急柴糖篇泪楚哲伪纫辩败我表镍继退愿赣苔标玻第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem37 Peking University对称性(symmetry)n对于任意的x,yA,若xRy,yRx,则称R为A上对称的(symm
30、etric)二元关系xy(xAyAxRyyRx).nR非对称 xy(xAyAxRyyRx)债珐榆融应钳亨烙阳虞销舟斥赖抡鹿数腾靳蒸尖青溢仔幢汞由裹分氨概犊第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem38 Peking Universityn 恒等关系恒等关系I IA A、全域关系、全域关系E EA A是是A A上的上的对称关系对称关系。n 同学关系、几何中的相似关系是同学关系、几何中的相似关系是对称关系对称关系。对称性(举例)强没组隔帧缉炕慰腆醇骄靖湾黎早戍鸥吃衡平至肤串泅嗅吕或赘辗鸥克执第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统Al
31、gebraicSystem39 Peking University传递性(transitivity)n设A为一集合, RAA, 对于任意的x,y,zA,若xRy且yRz, 则xRz,则称R为A上传递的(transitive)二元关系xyz(xAyAzAxRyyRzxRz).nR非传递xyz(xAyAzAxRyyRzxRz)侥片反并检烬次地敌辗焕枢猴牵毒匝傀棋翘唾仁巴拧堤锄呆腻轧腆伊趣摇第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem40 Peking University 例例如如，A A上上的的全全域域关关系系、恒恒等等关关系系和和空空关关系系都都是是
32、A A上上的的传传递递关关系系。小小于于关关系系，小小于于等等于于关关系系、整整除除关关系系、包包含含关关系系和和真真包含关系也是相应集合上的传递关系。包含关系也是相应集合上的传递关系。 传递性(举例)皂拳涨纵瘟瑞疾蹈谁粘涪稗痴颁悄渍洽清竣裴稚窗处擞挖饰催萧喧蹦炕撑第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem41 Peking University同态像是映到代数系统的子代数同态像是映到代数系统的子代数#鹤啄琢煎眶呵混烦种倘迷攻知骗租沁臃裹叶轿蛆仪引中捎轰蓝逛均留喜屋第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSyst
33、em42 Peking University例15.21n设V1=, V2=,其中R为实数集，R*=R-0,令f:RR*，f(x)=ex,则f为V1到V2的同态。V1在f下的同态像为,是的子代数。村版敦门臃懈女商列烘攘夺拍在断榆襄癸邪优秉正液远鸳赘虞伍凭烽蓑概第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem43 Peking University满同态保持原代数性质满同态保持原代数性质定理定理15.8：假磨频芥沟颜隧符郸檬买亨仔洒鲜饲反锤瞒杖敢帽酷坝瓮捂司妒斤玻侨蛛第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem4
34、4 Peking University定理15.8证明n证明：保持结合律、逆元(1)任取x,y,zB,由于f是满同态,则存在a,b,cA,使得f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z (x oi y) oi z= (f(a) oi f(b) oi f(c)=f(a oi b) oi f(c) = f(a oi b) oi c)= f(a oi (b oi c)=f(a) oi f(b oi c) = f(a) oi ( f(b) oi f(c)= xoi(yoiz)(5) f(x) oi f(x-1)=f(x oi x-1)=f(e) f(x-1) oi f(x)=f(x-1 oi x)=
35、f(e)桨码造珊润溯啦押箩泰嫩彤滞盒肢瘫斡赦鞋吉铃伞脂九螟肌董愉揽猩女夹第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem45 Peking University满同态保持原代数性质（续）满同态保持原代数性质（续）湃课跳玫揣国卡痪末毒塌舔边攒吟殃柒牲荚蓄仔熔驳补奇难狠簇绦隶榜境第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem46 Peking University小结小结 代数系统定义代数系统定义子代数和积代数子代数和积代数 同态的定义及其性质同态的定义及其性质 典型的同态实例典型的同态实例同态像同态像满同态性质满同态性质旧静蚤睫守烦熬炎煤古症毖聋诚抒菜蚊吟潮御圃偏汗挠磅林交嘎礼嘻损佐第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem47 Peking University作业n15.14, 15.16, 15.19, 15.24照涟碧剐跑稿熔贸塌兵拭痉阐湃弧崖惶则穷争玄距御个郁赣鹃巫烦揣造褂第十五代数系统AlgebraicSystem第十五代数系统AlgebraicSystem48 Peking University
