《可定义群的元素的指数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可定义群的元素的指数（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、近世代数n n第二章 群论 2元素的阶 1 1元素的指数在群在群中，由于中，由于结合律成立，合律成立，有意有意义，据此，据此, , 可定可定义群的元素的指数群的元素的指数: :设为正整数正整数, , 则规定定: :显然有，然有，其中，其中为任意整数任意整数. .2 2定义1设为群群的一个元素，使的一个元素，使的的最小正整数最小正整数叫做元素叫做元素的的阶，记作作；若不存在；若不存在这样的的，则称称的的阶显然，群中然，群中单位元的位元的阶为1 1，其他元的，其他元的阶为无限无限. .都大于都大于1 1， 3 3例1关于数的普通乘法做成关于数的普通乘法做成4 4次次单位根群位根群. .4 4例2正
2、有理数乘群正有理数乘群单位元的位元的阶是是1 1， 其他元的其他元的阶均均为无限无限. .例例3 3 非零有理数乘群非零有理数乘群1 1的的阶是是1 1， -1-1的的阶是是2 2，其余元的其余元的阶均均为无限无限. .5 5定理1有限群有限群中每个元素的中每个元素的阶均有限均有限. .，在，在中必有相等的中必有相等的. . 设则，从而，从而阶有限有限. .证明：明：设 6 6注：无限群中元素的无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，可能无限，也可能有限，其中，其中是是次次单位根群位根群关于普通乘法作成无限交关于普通乘法作成无限交换群，群，甚至可能都有限甚至可能都有限. .例例4 4，则其中每个
3、元素的其中每个元素的阶都有限都有限. .7 7定理2若群若群中中，则证明：明： 令令 ，则. .证明明中中，只需，只需证. .（2 2）若）若 8 8定理3若群中若群中，则，其中，其中为任意的整数任意的整数. .设，则证明：明： 9 9两个推论：推推论1 1 在群中，若在群中，若, ,则，其中，其中s，t 均均为正整数正整数. . 推推论2 2 在群中，若在群中，若，则1010定理4在群中，若在群中，若，则当当且且时，证明：明： ，于是，于是若若 同理同理，1111例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域是有理数域Q上的全体二阶满秩上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群方阵关于矩阵乘法做成的群. .1212例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域是有理数域Q上的全体二阶满秩上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群方阵关于矩阵乘法做成的群. .1313思考题：n n设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其n n余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无n n限，就是素数.1414
