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1、第十一章第十一章 动力学普遍定理及应用动力学普遍定理及应用第一节第一节第一节第一节 动力分析概述动力分析概述动力分析概述动力分析概述 第二节第二节第二节第二节 动量定理动量定理动量定理动量定理 第三节第三节第三节第三节 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理 第四节第四节第四节第四节 动能定理动能定理动能定理动能定理 第一节第一节 动力分析概述动力分析概述 一、工程动力学的任务与地位一、工程动力学的任务与地位一、工程动力学的任务与地位一、工程动力学的任务与地位 （一）工程动力学的的任务与中心问题（一）工程动力学的的任务与中心问题（一）工程动力学的的任务与中心问题（一）工程动力学的的任务与中心
2、问题 工程动力学的任务是研究物体上作用的力系与其运动间的关系。工程动力学的任务是研究物体上作用的力系与其运动间的关系。工程动力学的任务是研究物体上作用的力系与其运动间的关系。工程动力学的任务是研究物体上作用的力系与其运动间的关系。 工程动力学任务的中心问题是对给定的物体力学模型建立描述其运动状态工程动力学任务的中心问题是对给定的物体力学模型建立描述其运动状态工程动力学任务的中心问题是对给定的物体力学模型建立描述其运动状态工程动力学任务的中心问题是对给定的物体力学模型建立描述其运动状态变化的数学模型，简称为动力学建模。变化的数学模型，简称为动力学建模。变化的数学模型，简称为动力学建模。变化的数学
3、模型，简称为动力学建模。（二）工程动力学的地位（二）工程动力学的地位（二）工程动力学的地位（二）工程动力学的地位 现代工程对象动力分析的基础。现代工程对象动力分析的基础。现代工程对象动力分析的基础。现代工程对象动力分析的基础。 现代工程动力学、机械动力学和结构力学等后续课程的基础。现代工程动力学、机械动力学和结构力学等后续课程的基础。现代工程动力学、机械动力学和结构力学等后续课程的基础。现代工程动力学、机械动力学和结构力学等后续课程的基础。 研究力系运动效应问题的主体部分。研究力系运动效应问题的主体部分。研究力系运动效应问题的主体部分。研究力系运动效应问题的主体部分。二、工程力学的模型二、工程
4、力学的模型二、工程力学的模型二、工程力学的模型 质点：是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。（如研究质点：是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。（如研究质点：是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。（如研究质点：是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。（如研究太空船空间轨道）太空船空间轨道）太空船空间轨道）太空船空间轨道） 质点系：物体的形状和大小在所研究的问题中可忽略不计则物体可抽象为质点系：物体的形状和大小在所研究的问题中可忽略不计则物体可抽象为质点系：物体的形状和大小在所研究的问题中可忽略不计则物体可抽象为质点系：物体的形状和大小在所研究的问题
5、中可忽略不计则物体可抽象为质点系。质点系。质点系。质点系。 刚体：是质点系的一种特殊形式，其中任意两点间距离保持不变，也称为刚体：是质点系的一种特殊形式，其中任意两点间距离保持不变，也称为刚体：是质点系的一种特殊形式，其中任意两点间距离保持不变，也称为刚体：是质点系的一种特殊形式，其中任意两点间距离保持不变，也称为不变的质点系。不变的质点系。不变的质点系。不变的质点系。三、工程动力学两类应用问题三、工程动力学两类应用问题三、工程动力学两类应用问题三、工程动力学两类应用问题 工程中的动力学问题可以用以下框图表示工程中的动力学问题可以用以下框图表示工程中的动力学问题可以用以下框图表示工程中的动力学
6、问题可以用以下框图表示 第一类问题，已知运动求力；第一类问题，已知运动求力；第一类问题，已知运动求力；第一类问题，已知运动求力； 第二类问题，已知作用力求运动。第二类问题，已知作用力求运动。第二类问题，已知作用力求运动。第二类问题，已知作用力求运动。 第二节第二节第二节第二节 动量定理动量定理动量定理动量定理 一、动量的计算一、动量的计算一、动量的计算一、动量的计算 （一）质点系的动量（一）质点系的动量（一）质点系的动量（一）质点系的动量 质点系的动量等于质点中每一个质点的动量的矢量和，即质点系的动量等于质点中每一个质点的动量的矢量和，即质点系的动量等于质点中每一个质点的动量的矢量和，即质点系
7、的动量等于质点中每一个质点的动量的矢量和，即 质点系的动量又等于质点系的总质量与质心速度乘积。质点系的动量又等于质点系的总质量与质心速度乘积。质点系的动量又等于质点系的总质量与质心速度乘积。质点系的动量又等于质点系的总质量与质心速度乘积。 （二）刚体的动量（二）刚体的动量（二）刚体的动量（二）刚体的动量 设第设第设第设第i i个刚体的动量为个刚体的动量为个刚体的动量为个刚体的动量为mmi iv vc c，则整个系统的动量等于每个刚体的动量的矢量，则整个系统的动量等于每个刚体的动量的矢量，则整个系统的动量等于每个刚体的动量的矢量，则整个系统的动量等于每个刚体的动量的矢量和。和。和。和。二、动量定
8、理二、动量定理二、动量定理二、动量定理 （一）质点系动量定理（一）质点系动量定理（一）质点系动量定理（一）质点系动量定理 对质点系内任一质点对质点系内任一质点对质点系内任一质点对质点系内任一质点mmi i，其动量定理，其动量定理，其动量定理，其动量定理 因为各质点间的内力成对出现，互为作用与反作用力，所以，因为各质点间的内力成对出现，互为作用与反作用力，所以，因为各质点间的内力成对出现，互为作用与反作用力，所以，因为各质点间的内力成对出现，互为作用与反作用力，所以， ，于是有于是有于是有于是有 即为质点系的动量定理即为质点系的动量定理即为质点系的动量定理即为质点系的动量定理质点系总动量对时间的
9、导数等于作用在质点质点系总动量对时间的导数等于作用在质点质点系总动量对时间的导数等于作用在质点质点系总动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。系上所有外力的矢量和。系上所有外力的矢量和。系上所有外力的矢量和。 （1 1）微分形式）微分形式）微分形式）微分形式 即质点系动量的微分等于作用于质点系上所有外力元冲量的矢量和。即质点系动量的微分等于作用于质点系上所有外力元冲量的矢量和。即质点系动量的微分等于作用于质点系上所有外力元冲量的矢量和。即质点系动量的微分等于作用于质点系上所有外力元冲量的矢量和。（2 2）积分形式）积分形式）积分形式）积分形式 即在某一时间间隔内，质点动量的改变量等
10、于作用在质点系上的所有外即在某一时间间隔内，质点动量的改变量等于作用在质点系上的所有外即在某一时间间隔内，质点动量的改变量等于作用在质点系上的所有外即在某一时间间隔内，质点动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔的冲量的矢量合。力在同一时间间隔的冲量的矢量合。力在同一时间间隔的冲量的矢量合。力在同一时间间隔的冲量的矢量合。 （3 3）投影形式）投影形式）投影形式）投影形式 （二）质点系的动量守恒（二）质点系的动量守恒（二）质点系的动量守恒（二）质点系的动量守恒 当质点系所受的合外力为零时，可得当质点系所受的合外力为零时，可得当质点系所受的合外力为零时，可得当质点系所受的合外力为零
11、时，可得 即当质点系所受的合外力为零时，质点系的动量保持不变，称为即当质点系所受的合外力为零时，质点系的动量保持不变，称为即当质点系所受的合外力为零时，质点系的动量保持不变，称为即当质点系所受的合外力为零时，质点系的动量保持不变，称为动量动量动量动量守恒。守恒。守恒。守恒。 当质点系所受的合外力在某一方向（如当质点系所受的合外力在某一方向（如当质点系所受的合外力在某一方向（如当质点系所受的合外力在某一方向（如x x轴）上的投影为零时，可得轴）上的投影为零时，可得轴）上的投影为零时，可得轴）上的投影为零时，可得（三）质心运动微分方程（三）质心运动微分方程（三）质心运动微分方程（三）质心运动微分方
12、程 将将将将 代入质点系动量定理，得代入质点系动量定理，得代入质点系动量定理，得代入质点系动量定理，得 若质点系质量不变，则若质点系质量不变，则若质点系质量不变，则若质点系质量不变，则 即质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量即质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量即质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量即质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和和和和质心运动定理。质心运动定理。质心运动定理。质心运动定理。 1 1、直角坐标式、直角坐标式、直角坐标式、直角坐标式 2 2、刚体系统的质心运动定
13、理、刚体系统的质心运动定理、刚体系统的质心运动定理、刚体系统的质心运动定理 设第设第设第设第i i个刚体的质量为个刚体的质量为个刚体的质量为个刚体的质量为mmi i，质心的加速度为，质心的加速度为，质心的加速度为，质心的加速度为a ac c，则刚体系统的质心运动定理有，则刚体系统的质心运动定理有，则刚体系统的质心运动定理有，则刚体系统的质心运动定理有矢量式：矢量式：矢量式：矢量式： 投影式：投影式：投影式：投影式： （四）质心运动守恒定律（四）质心运动守恒定律（四）质心运动守恒定律（四）质心运动守恒定律 当质点系所受的合外力为零时（当质点系所受的合外力为零时（当质点系所受的合外力为零时（当质点
14、系所受的合外力为零时（），则），则），则），则a ac c=0=0，v vc c=常量，质心作匀常量，质心作匀常量，质心作匀常量，质心作匀速直线运动；若初始时系统静止，即速直线运动；若初始时系统静止，即速直线运动；若初始时系统静止，即速直线运动；若初始时系统静止，即vco=0=0，则则则则rc为常量，质心位置不变。为常量，质心位置不变。为常量，质心位置不变。为常量，质心位置不变。 例、如图所示例、如图所示例、如图所示例、如图所示, ,电动机的外壳固定在水平基础上，定电动机的外壳固定在水平基础上，定电动机的外壳固定在水平基础上，定电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为子的质量为子的质量为子的
15、质量为mm1 1，转子的质量为，转子的质量为，转子的质量为，转子的质量为mm2 2，转子的轴力通过定子，转子的轴力通过定子，转子的轴力通过定子，转子的轴力通过定子的质心的质心的质心的质心O O1 1，但由于制造误差，转子的质心，但由于制造误差，转子的质心，但由于制造误差，转子的质心，但由于制造误差，转子的质心O O2 2到到到到O O1 1的距离为的距离为的距离为的距离为e e。 求：转子以角速度求：转子以角速度求：转子以角速度求：转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动作匀速转动时，基础作用在电动作匀速转动时，基础作用在电动作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束力。机底座上的约束力。机底
16、座上的约束力。机底座上的约束力。 解：解：解：解： 取整个电动机作为质点系研究，受力分析如图。取整个电动机作为质点系研究，受力分析如图。取整个电动机作为质点系研究，受力分析如图。取整个电动机作为质点系研究，受力分析如图。 运动分析：定子质心及速度运动分析：定子质心及速度运动分析：定子质心及速度运动分析：定子质心及速度a a1 1=0=0转转子子子子质质心心心心O O2 2的加速度大小的加速度大小的加速度大小的加速度大小, ,方向指向方向指向方向指向方向指向O1O1。建立如。建立如。建立如。建立如图图坐坐坐坐标标系，根系，根系，根系，根据据据据质质心运心运心运心运动动定理，有定理，有定理，有定理
17、，有则则则则 则则则则 可得：可得：可得：可得：第三节第三节第三节第三节 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理 一、动量矩的计算一、动量矩的计算一、动量矩的计算一、动量矩的计算 （一）质点和质点系的动量矩（一）质点和质点系的动量矩（一）质点和质点系的动量矩（一）质点和质点系的动量矩 1 1、质点动量矩、质点动量矩、质点动量矩、质点动量矩 设质点某瞬时的动量为设质点某瞬时的动量为设质点某瞬时的动量为设质点某瞬时的动量为mvmv，对固定点，对固定点，对固定点，对固定点O O的矢径为的矢径为的矢径为的矢径为r r。则质点动量则质点动量则质点动量则质点动量mvmv对对对对O O点之矩称为质点对点之
18、矩称为质点对点之矩称为质点对点之矩称为质点对O O点的动量矩，记点的动量矩，记点的动量矩，记点的动量矩，记为为为为 质点对质点对质点对质点对O O点的动量矩是矢量，其方位垂直于点的动量矩是矢量，其方位垂直于点的动量矩是矢量，其方位垂直于点的动量矩是矢量，其方位垂直于r r和和和和mvmv所决定的平面，指向用右所决定的平面，指向用右所决定的平面，指向用右所决定的平面，指向用右手螺旋法则确定。手螺旋法则确定。手螺旋法则确定。手螺旋法则确定。其单位为其单位为其单位为其单位为 kgmkgm2 2/s /s 质点动量质点动量质点动量质点动量mvmv对固定轴对固定轴对固定轴对固定轴x x、y y和和和和z
19、 z轴之矩的表达式为轴之矩的表达式为轴之矩的表达式为轴之矩的表达式为 2 2、质点系动量矩、质点系动量矩、质点系动量矩、质点系动量矩 质质点系点系点系点系对对O O点的点的点的点的动动量矩，等于系中各点量矩，等于系中各点量矩，等于系中各点量矩，等于系中各点对对O O点点点点动动量矩的矢量和，即量矩的矢量和，即量矩的矢量和，即量矩的矢量和，即记为记为 质点系对某轴的动量矩，等于系中各点对该轴动量矩的代数和。设为质点系对某轴的动量矩，等于系中各点对该轴动量矩的代数和。设为质点系对某轴的动量矩，等于系中各点对该轴动量矩的代数和。设为质点系对某轴的动量矩，等于系中各点对该轴动量矩的代数和。设为z z轴
20、，轴，轴，轴，则有则有则有则有得得得得 即质点系对某点即质点系对某点即质点系对某点即质点系对某点OO的动量矩在通过该点的轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。的动量矩在通过该点的轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。的动量矩在通过该点的轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。的动量矩在通过该点的轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。 （二）定轴转动刚体对转轴的动量矩（二）定轴转动刚体对转轴的动量矩（二）定轴转动刚体对转轴的动量矩（二）定轴转动刚体对转轴的动量矩 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴z z转动，其角速度为转动，其角速度为转动，其角速度为转动，其角速度为。刚体上任
21、一点。刚体上任一点。刚体上任一点。刚体上任一点 mmi i 的动量为的动量为的动量为的动量为 mmi iv vi i，其对，其对，其对，其对z z轴的动量矩为，其中轴的动量矩为，其中轴的动量矩为，其中轴的动量矩为，其中r ri i是是是是mmi i的转动的转动的转动的转动半径。整个刚体对半径。整个刚体对半径。整个刚体对半径。整个刚体对z z轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为令令令令称为刚体对轴力称为刚体对轴力称为刚体对轴力称为刚体对轴力z z的转动惯量，则有的转动惯量，则有的转动惯量，则有的转动惯量，则有 即定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速即定轴转动
22、刚体对转轴的动量矩，等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速即定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速即定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。度的乘积。度的乘积。度的乘积。二、动量矩定理二、动量矩定理二、动量矩定理二、动量矩定理（一）质点动量矩定理（一）质点动量矩定理（一）质点动量矩定理（一）质点动量矩定理 质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对该点之矩。即对该点之矩。即对该点之矩。即对该点之矩。即
23、其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为 两种特殊情况：两种特殊情况：两种特殊情况：两种特殊情况： 1 1、若、若、若、若 ，则有，则有，则有，则有； 2 2、若、若、若、若 ，则有，则有，则有，则有。 （二）质点系动量矩定理（二）质点系动量矩定理（二）质点系动量矩定理（二）质点系动量矩定理 质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对该
24、点之矩的矢量和。即该点之矩的矢量和。即该点之矩的矢量和。即该点之矩的矢量和。即其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为其在三个坐标轴的投影为两种特殊情况：两种特殊情况：两种特殊情况：两种特殊情况： 1 1、若、若、若、若 ，则有，则有，则有，则有； 2 2、若、若、若、若 ，则有，则有，则有，则有。 三、刚体绕定轴转动方程三、刚体绕定轴转动方程三、刚体绕定轴转动方程三、刚体绕定轴转动方程 或或或或四、转动惯量四、转动惯量四、转动惯量四、转动惯量 平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理 刚体对于任一轴的转动惯量刚体对于任一轴的转动惯量刚体对于任一轴的转动惯量刚
25、体对于任一轴的转动惯量J Jz z，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量J Jzczc，加上刚体的质量，加上刚体的质量，加上刚体的质量，加上刚体的质量mm与两轴间的距离与两轴间的距离与两轴间的距离与两轴间的距离d d的平方的乘积。即的平方的乘积。即的平方的乘积。即的平方的乘积。即 例、如图所示，均质滑轮重为例、如图所示，均质滑轮重为G，半径为，半径为r，绕，绕O轴无摩轴无摩擦转动，其上面吊着的两个重物擦转动，其上面吊着的两个重物GAGB。 求
26、：滑轮的角加速度求：滑轮的角加速度。解：解：解：解： 取整个系统为研究对象，受力分析和运动分析如图；取整个系统为研究对象，受力分析和运动分析如图；取整个系统为研究对象，受力分析和运动分析如图；取整个系统为研究对象，受力分析和运动分析如图；应用动量矩定理求解。应用动量矩定理求解。应用动量矩定理求解。应用动量矩定理求解。 速度速度速度速度v=rv=r； 加速度加速度加速度加速度 a=ra=r 由动量矩定理有由动量矩定理有由动量矩定理有由动量矩定理有 得得得得 第四节第四节第四节第四节 动能定理动能定理动能定理动能定理 一、常见力的功一、常见力的功一、常见力的功一、常见力的功 力的功力的功力的功力的
27、功力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。 元功元功元功元功 总功总功总功总功 力力力力F F在曲线路程在曲线路程在曲线路程在曲线路程MM1 1MM2 2中作功，为中作功，为中作功，为中作功，为 （一）重力的功（一）重力的功（一）重力的功（一）重力的功 （二）弹性力的功（二）弹性力的功（二）弹性力的功（二）弹性力的功 （三）作用于转动刚体上的力及力偶的功（三）作用于转动刚体上的力及力偶的功（三）作用于转动刚体上的力及力偶的功（三）作用于转动刚体上的力及力偶的功 如果作用力偶，其矩为如果作用力偶，其矩为如果作
28、用力偶，其矩为如果作用力偶，其矩为mm，且力偶作用面垂直于转，且力偶作用面垂直于转，且力偶作用面垂直于转，且力偶作用面垂直于转轴，则轴，则轴，则轴，则若若若若mm= =常量，则常量，则常量，则常量，则 二、动能二、动能二、动能二、动能 1 1、质点系的动能、质点系的动能、质点系的动能、质点系的动能 2 2、平动刚体的动能、平动刚体的动能、平动刚体的动能、平动刚体的动能 3 3、定轴转动刚体的动能、定轴转动刚体的动能、定轴转动刚体的动能、定轴转动刚体的动能 4 4、平面运动刚体的动能、平面运动刚体的动能、平面运动刚体的动能、平面运动刚体的动能 三、动能定理三、动能定理三、动能定理三、动能定理 （
29、一）质点系动能定理（一）质点系动能定理（一）质点系动能定理（一）质点系动能定理 对质点系中的任一点，设其质量为对质点系中的任一点，设其质量为对质点系中的任一点，设其质量为对质点系中的任一点，设其质量为mmi i，微分形式的动能定理表达式为，微分形式的动能定理表达式为，微分形式的动能定理表达式为，微分形式的动能定理表达式为 对于整个质点系，有对于整个质点系，有对于整个质点系，有对于整个质点系，有 即即即即 将上式沿路径将上式沿路径将上式沿路径将上式沿路径 S S 积分，可得质点系动能定理的积分形式，即积分，可得质点系动能定理的积分形式，即积分，可得质点系动能定理的积分形式，即积分，可得质点系动能
30、定理的积分形式，即 （二）势力场、势能（二）势力场、势能（二）势力场、势能（二）势力场、势能 力场力场力场力场：若质点在某一空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由其所：若质点在某一空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由其所：若质点在某一空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由其所：若质点在某一空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由其所在位置确定的力的作用，则称此空间为力场。（如磁力场、重力场等）在位置确定的力的作用，则称此空间为力场。（如磁力场、重力场等）在位置确定的力的作用，则称此空间为力场。（如磁力场、重力场等）在位置确定的力的作用，则称此空间为力场。（如磁力场、重力场等）
31、势力场势力场势力场势力场：在力场中，有一类特殊力场，其作用于质点上的场力功只取决于：在力场中，有一类特殊力场，其作用于质点上的场力功只取决于：在力场中，有一类特殊力场，其作用于质点上的场力功只取决于：在力场中，有一类特殊力场，其作用于质点上的场力功只取决于质点的始末位置，于质点的运动路径无关，这种力场称为势力场。质点的始末位置，于质点的运动路径无关，这种力场称为势力场。质点的始末位置，于质点的运动路径无关，这种力场称为势力场。质点的始末位置，于质点的运动路径无关，这种力场称为势力场。 有势力有势力有势力有势力：质点在势力场中受到的场力称为有势力（保守力），如重力、弹：质点在势力场中受到的场力称
32、为有势力（保守力），如重力、弹：质点在势力场中受到的场力称为有势力（保守力），如重力、弹：质点在势力场中受到的场力称为有势力（保守力），如重力、弹性力。性力。性力。性力。 在势力场中，质点从位置在势力场中，质点从位置在势力场中，质点从位置在势力场中，质点从位置MM运动到任选位置运动到任选位置运动到任选位置运动到任选位置MMOO，有势力所作的功称为质点，有势力所作的功称为质点，有势力所作的功称为质点，有势力所作的功称为质点在位置在位置在位置在位置MM相对于位置相对于位置相对于位置相对于位置MMOO的势能，用的势能，用的势能，用的势能，用V V来表示来表示来表示来表示 MMOO作为基准位置，势能为
33、零，称为作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为零势能点零势能点零势能点零势能点。 1 1、重力势能、重力势能、重力势能、重力势能 2 2、弹性力势能、弹性力势能、弹性力势能、弹性力势能 3 3、万有引力场、万有引力场、万有引力场、万有引力场 f f 万有引力常数万有引力常数万有引力常数万有引力常数 （三）有势力的功与势能（三）有势力的功与势能（三）有势力的功与势能（三）有势力的功与势能 设设设设MMOO点为零势能点，质点从点为零势能点，质点从点为零势能点，质点从点为零势能点，质点从MM1 1位置运动至位置运动至位置运动至位置运动至MM2 2位置，势
34、力功为位置，势力功为位置，势力功为位置，势力功为 即即即即 有势力的功等于质点系在运动的始末位置势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置势能之差。 （四）机械能守恒定律（四）机械能守恒定律（四）机械能守恒定律（四）机械能守恒定律 机械能机械能机械能机械能：系统的动能与势能的代数和，表示为：系统的动能与势能的代数和，表示为：系统的动能与势能的代数和，表示为：系统的动能与势能的代数和，表示为 当只有保守力对质点系做功，非保守力均不做功时，质点系的动能定理为当只有保守力对质点系做功，非保守力均不做功时，
35、质点系的动能定理为当只有保守力对质点系做功，非保守力均不做功时，质点系的动能定理为当只有保守力对质点系做功，非保守力均不做功时，质点系的动能定理为即即即即 上式称为上式称为上式称为上式称为机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律。 例、如右图所示系统中，均质圆盘例、如右图所示系统中，均质圆盘例、如右图所示系统中，均质圆盘例、如右图所示系统中，均质圆盘A A、B B重均重均重均重均为为为为G G，半径均为，半径均为，半径均为，半径均为R R，两盘中心在同一水平线上，盘，两盘中心在同一水平线上，盘，两盘中心在同一水平线上，盘，两盘中心在同一水平线上，盘A A上作用一常力偶，其矩为上
36、作用一常力偶，其矩为上作用一常力偶，其矩为上作用一常力偶，其矩为MM；物块；物块；物块；物块D D重为重为重为重为G G1 1。 求：物块求：物块求：物块求：物块D D下落下落下落下落h h时的速度与加速度各是多少时的速度与加速度各是多少时的速度与加速度各是多少时的速度与加速度各是多少？（绳自重不计，绳不可伸长，盘？（绳自重不计，绳不可伸长，盘？（绳自重不计，绳不可伸长，盘？（绳自重不计，绳不可伸长，盘B B作纯滚动，作纯滚动，作纯滚动，作纯滚动，初始时系统静止）初始时系统静止）初始时系统静止）初始时系统静止）解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象由动能定理由动能定理由动能定理由动能定理 T T2 2- - - -T T1 1=W W 得得得得 对动能定理式对时间求导数，得对动能定理式对时间求导数，得对动能定理式对时间求导数，得对动能定理式对时间求导数，得 得加速度为得加速度为得加速度为得加速度为
