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1、第第43讲不等式恒成立问题讲不等式恒成立问题考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.1.设y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2，2上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为_.解析设f(t)y(log2x1)t(log2x)22log2x1， t2，2，诊 断断 自自 测对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x22mxm4x26x3(xR)，即2x2(62m)x(3m)0对一切实数x恒成立.则(62m)28(3m)0， 解得1m3，故实数m的取值范围是(1，3).答案
2、(1，3)g(x)ming(1)3a， 3a0 a3.即所求实数a的取值范围为(3，). (x)max (1)3， a3，即所求实数a的取值范围为(3，).答案(3，)1.恒成立问题转化成最值处理af(x)对xD恒成立af(x)max，af(x)对xD恒成立 af(x)min.知知 识 梳梳 理理2.恒成立问题处理方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立_(xD)；若f(x)在区间D上存
3、在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.f(x)maxAf(x)min2xa1在a1，1上恒成立.设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)0在a1，1上恒成立，则须满足故实数的取值范围是(，0)(2，).考点二一元二次不等式恒成立问题【例2】 已知x时，不等式12x(aa2)4x0恒成立，求实数a的取值范围.考点三高次不等式恒成立问题考点四绝对值不等式恒成立问题解()当x0时，显然f(x)0成立，此时aR.此时a的范围是(1，3).综合()()得a的范围是(1，3).规律方法(1)当f(x)含有绝对值时，先去掉绝对值号，(2)这种思路是：首先是分离变量，其次用极端值原理.把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出.考点五线性规划恒成立问题考点六基本不等式恒成立问题【例6】 已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围是_.
