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1、气体动理论气体动理论第七章第七章 4.5 4.5 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1、 速率分布函数速率分布函数要深入研究气体的性质，要深入研究气体的性质，一步弄清分子按速率和按一步弄清分子按速率和按能量等的能量等的分布分布情况。情况。不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值，还应该进还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。麦克斯韦麦克斯韦（Maxwell s law of distribution of speeds）设总分子数为设总分子数为 N N 表示速率在表示速率在 v v + v 区间内的分子数。区间内的分子数。 N 与与
2、 v 、 v 有关有关 。 表示速率处在表示速率处在 v v + v 区间内的分子数占总区间内的分子数占总 分子数的百分率。分子数的百分率。也与也与 v 、 v 有关。有关。 分子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的比率。分子数的比率。下面列出了下面列出了HgHg分子在某温度时不同速率的分子分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。数占总分子的百分比。90以下以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0注意注意：以上
3、速率分布情况只要在相同实验条件下多次以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确定的规律。定的规律。 1）实验数据的图示化）实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 从图中可以看出从图中可以看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比占总分子数
4、的百分比 N/N2)所有小面积的和恒等于一。所有小面积的和恒等于一。3）当速率区间）当速率区间，小矩形面积的端点，小矩形面积的端点连成一函数曲线连成一函数曲线-分子速率分布函数。分子速率分布函数。2 2）分布函数）分布函数 的意义的意义要搞清函数的意义，先要要搞清函数的意义，先要弄清纵坐标的意义。弄清纵坐标的意义。在在区间区间作一小矩形，小矩作一小矩形，小矩形的面积：形的面积：按函数的定义按函数的定义故故或：或：当当占总分子数的比例。占总分子数的比例。”率率v 附近单位速率区间的概率。附近单位速率区间的概率。由定义式由定义式可看出可看出 f (v)的意义是：的意义是： 因为因为 所以所以 这称
5、为速率分布函数这称为速率分布函数的的归一化条件归一化条件。 即即 对于一个分子来说，对于一个分子来说，f (v) 就是分子处于速就是分子处于速“ 在速率在速率v 附近，附近，单位速率区间内的分子数单位速率区间内的分子数（function of distribution of speeds）称称 速率分布函数速率分布函数思考：思考：1、若若 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义（1）（2）（3） （4） （5）2、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）年从理论上导出）是分子的质量，是分子的质量，玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数
6、速率分布曲线速率分布曲线 以以 v 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标，画出的曲线称为为纵坐标，画出的曲线称为速率分布曲线速率分布曲线。由上式可得到一个分子在由上式可得到一个分子在 v v + dv 区间的概率为区间的概率为f(v)vv2v1分布曲线的物理意义分布曲线的物理意义 小矩形的面积小矩形的面积表示速率处在表示速率处在 v v + dv 区间内的分子数占总分子区间内的分子数占总分子数的百分率。数的百分率。曲边梯形的面积曲边梯形的面积 表示速率处在表示速率处在 v1 v2 区间内的分子数占总分子数的百区间内的分子数占总分子数的百分率。分率。曲线下的总面积曲线下的总面积归一化条件归一化条件3
7、3、三种统计速率三种统计速率三种统计速率三种统计速率1.最可几速率最可几速率 ( (最概然速最概然速率率) )vpf(v)vvpvp把整个速率区间分成许多相等的小区间把整个速率区间分成许多相等的小区间, , 则速率大小与则速率大小与 相相近的气体分子数占总分子数的比率为最大。近的气体分子数占总分子数的比率为最大。可由求极值条件可由求极值条件 求得求得 分布曲线极大值对应的分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。速率叫最可几速率。物理意义物理意义: :讨论两种情况：讨论两种情况：（1 1）m0 一定一定, , 曲线高峰右移曲线高峰右移, , 同时高度下降。同时高度下降。（2 2）T 一定一定，f(
8、v)vvp1vp2f(v)v2. 平均速率平均速率大量分子速率的算术平均值叫平均速率。大量分子速率的算术平均值叫平均速率。若用若用dN表示速率在表示速率在vv+dv 区间内的分子数区间内的分子数，v 连续连续分布时，上式过渡到积分。分布时，上式过渡到积分。分立：分立：连续：连续：vi v，对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得：Ni dNv=N f (v)dv，平均速率平均速率（average speed）平均速率平均速率 任意函数任意函数 (v)对对全体分子全体分子按速按速率分布的平均值：率分布的平均值：3. 方均根速率方均根速率速率平方的平均值速率平方的平均值方均根速率方均根速率f
9、(v)v三种速率中，三种速率中，最大，最大，次之，最小次之，最小附录附录: 三种统计速率的计算三种统计速率的计算速率分布函数中令速率分布函数中令则速率平方的平均值速率平方的平均值讨论思考题：讨论思考题：试说明下列各式的物理意义试说明下列各式的物理意义速率在速率在 的所有分子的所有分子速率的总和被总分子数除速率的总和被总分子数除速率在速率在 区间内的分区间内的分子数子数速率在速率在 区间内的分区间内的分子数占总分子数的比率子数占总分子数的比率并非并非 之间的分子之间的分子的平均速率的平均速率速率在速率在 的所有分子的所有分子速率总和速率总和分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值速率在速率在 内
10、的分子的内的分子的平均速率平均速率f(v)vT1T2例例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（问（1）哪一条曲线对应的温度高？（）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？是氧气，哪条对应的是氢气？解：解：(1) T1 T2(2) 绿：氧绿：氧 白白：氢：氢例例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子自由电
11、子( “电子气电子气”模型模型 )。设导体中自由电子数为。设导体中自由电子数为 N ,电电子速率最大值为费米速率子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在，且已知电子速率在 v v + d v 区间的概率为：区间的概率为：A 为常数为常数（1）画出电子气的速率分布曲线画出电子气的速率分布曲线（2）由）由 定出常数定出常数 A（3）求）求Ovf ( v )解：解：（1）（2）由归一化条件确定常数由归一化条件确定常数A（3）讨论：讨论：1、 用分子数用分子数N，气体分子速率，气体分子速率v和速率分布函数和速率分布函数表示下列各量表示下列各量（1）速率大于）速率大于 的分子数；的分子数； （2）速率
12、大于）速率大于 的那些分子的平均速率；的那些分子的平均速率； （4）分子速率倒数的平均值。）分子速率倒数的平均值。（5）分子平均平动动能。）分子平均平动动能。2、设某种气体的分子速率分布函数为设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在则速率在v1v2区间区间的分子的平均速率为：的分子的平均速率为：（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 的概率。的概率。（A）2000 m/s，1000 m/s（B）1000 m/s，2000 m/s（C）1000 m/s， 1000 m/s （D） 1000 m/s，1000 m/s 3、若气体分子的速率分布曲
13、若气体分子的速率分布曲线如如图所示，所示，图中中A、B两部分的两部分的面积相等，则图中面积相等，则图中 表示（表示（ D ） 4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速率分别为（率分别为（ ）（A）最概然速率）最概然速率 （B）平均速率）平均速率 （C）方均根速率）方均根速率 （D）速率大于和小于）速率大于和小于 的分子各占一半的分子各占一半 5、 下列说法中正确的是（下列说法中正确的是（ ）（A）N个理想气体分子组成的分
14、子束，都以垂直于器壁的个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用小时，不能使用理想气体的压强公式；当理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；很大时就可以使用它； （B） 表示温度表示温度为T的平衡的平衡态下，分子在一个自由度上运下，分子在一个自由度上运动的平均的平均动能；能； （C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足它们的速率满足 ；（D）气体分子的速率等于最概然速率）气体分子的速率等于最概然速率 的概率最大。的概率最大。 6、 某气
15、体分子的速率分布曲线如选某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，图所示， 表示最概然表示最概然速率，速率， 表示速率分布在表示速率分布在 之间的分子数占总分之间的分子数占总分子数的百分率，当温度减低时，则（子数的百分率，当温度减低时，则（ A ） （A） 减小，减小， 也减小也减小（B） 增大，增大， 也增大也增大 （C） 减小，减小， 增大增大（D） 增大，增大， 减小减小7、 设为设为N个（个（N很大）分子组成的系统的速率分布函很大）分子组成的系统的速率分布函数。数。（1）分别写出题图（）分别写出题图（a）、）、(b)中阴影面积对应的数学表达式中阴影面积对应的数学表达式并回答其物理意义；
16、并回答其物理意义； （2）设分子分子质量量为m，试用用 表示以下各量：表示以下各量： 分子动量大小的平均值；分子动量大小的平均值； 分子平动动能的平均值。分子平动动能的平均值。 4.6 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 (了解了解)1、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）年导出）分子动能分子动能上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即 上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，上
17、述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以 表表表表示分子的速度，示分子的速度，示分子的速度，示分子的速度， 分别表示速度沿分别表示速度沿分别表示速度沿分别表示速度沿x x, , , ,y y, , , ,z z的分量，则理论的分量，则理论的分量，则理论的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间表明，平衡态下，在速度分量区间表明，平衡态下，
18、在速度分量区间表明，平衡态下，在速度分量区间 内的分子数内的分子数内的分子数内的分子数d d d dN N与总分子数与总分子数与总分子数与总分子数N N的比率为的比率为的比率为的比率为全全全全“ “速度空间速度空间速度空间速度空间” ”捕捉粒子的概率为捕捉粒子的概率为捕捉粒子的概率为捕捉粒子的概率为1 1 “ “速率区间速率区间速率区间速率区间 v v v v + + v v ” ” 对应对应对应对应“ “速度空间速度空间速度空间速度空间” ”中半径中半径中半径中半径为为为为 v v 、厚度为、厚度为、厚度为、厚度为 d d v v 的的的的“ “球壳球壳球壳球壳” ”，所以粒子在，所以粒子在
19、，所以粒子在，所以粒子在速率区间内的速率区间内的速率区间内的速率区间内的概率为概率为概率为概率为2、玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼分布律 当系统当系统当系统当系统在保守力场中在保守力场中在保守力场中在保守力场中处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于 内，同时速度介于内，同时速度介于内，同时速度介于内，同时速度介于 的分子数为的分子数为的分子数为的分子数为式改写一下式改写一下式改写一下式改写一下式中式中式中式中n n0 0为势能为势能为势能为势能 时单位体积内具有的各种速度的分子总时单位体积内具有的各种速度的分子总时单位体积内具有的各种速度的分子总时单
20、位体积内具有的各种速度的分子总数，上式称为数，上式称为数，上式称为数，上式称为玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律( (又称玻耳兹曼分子按能量分布又称玻耳兹曼分子按能量分布又称玻耳兹曼分子按能量分布又称玻耳兹曼分子按能量分布律律律律) )。式对所有速度积分得体积元式对所有速度积分得体积元式对所有速度积分得体积元式对所有速度积分得体积元 内的总分子数内的总分子数内的总分子数内的总分子数 式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件令令令令 ，式写成式写成式写成式写成称为分子数密度按势能分布的规律称为分子数密度按势能分布的规律重力场中分子数密度按高度分布的规律重力场中分子数密度按高度分布的规律n0 为为 z = 0 处处的分子数密度的分子数密度由理想气体状态方程得：由理想气体状态方程得：理想气体状态方程的另一形式理想气体状态方程的另一形式等温气压公式等温气压公式高度计原理高度计原理课外练习：课外练习：速率分布函数速率分布函数 P 94 96 页页 5，6, 7，8，9， 11，14 ，21， 22第四章作业：第四章作业：P 94 96 页页 1，3, 6， 8，14 ，21
