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1、第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布n一维离散型一维离散型随机变量及其分布随机变量及其分布n分布函数及连续型随机变量分布函数及连续型随机变量n二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布n随机变量函数的分布随机变量函数的分布 关于随机变量关于随机变量( (及向量及向量) )的研究，是概率论的中心的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随
2、机现象，而随机变量则是一种动态的的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。的理论体系，其基础概念是随机变量。1 1 一维离散型随机变量一维离散型随机变量 一、一维随机变量一、一维随机变量随机变量的概念随机变量的概念 定义定义1.1 1.1 设设U=eU=e是试验的样本是试验的样本空间，如果
3、量空间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单值实上的一个单值实值函数即对于每一个值函数即对于每一个e e U U，有一实数，有一实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件例例1 1 进行进行n n次独立试验，每次试验中事件次独立试验，每次试验中事件A A发生的概率为发生的概率为p p（0p10p1），在这），在
4、这n n次独立试验中事件次独立试验中事件A A发生的次数为随机变发生的次数为随机变量量X(eX(e) )， X(eX(e) )可取可取0 0，1 1，n n。例例2 2 在某段时间内，传呼台接到呼唤次数为随机变量在某段时间内，传呼台接到呼唤次数为随机变量X(eX(e) )， X(eX(e) )可取可取0 0，1 1，n n，。例例3 3 某台设备的寿命某台设备的寿命X(eX(e) )为随机变量为随机变量X(eX(e) )， X(eX(e) )可取可取0 0，1 1，n n，。例例4 4 测量误差测量误差X(eX(e) )为随机变量，为随机变量， X(eX(e) )为全体实数。为全体实数。随机变
5、量的分类：随机变量的分类：随机变量随机变量二、离散型随机变量二、离散型随机变量定义定义1.2 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取且取这些值的概率依次为这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散为离散型随机变量，而称型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 (1) 0pi 1 (i1, 2, ,n) ;(2) 三三几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布1. (0-1)分布分布 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一
6、次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0pN) N) N) n大大,p小小,np=3,用用 =np=3的泊松近似的泊松近似下面给出正式求解过程：下面给出正式求解过程：即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.查书末的泊松分布表得查书末的泊松分布表得N+1 9,即即N 8我们求满足我们求满足的最小的的最小的N.例例8. 8. 进行独立重复试验，每次成功的概率为进行独立重复试验，每次成功的概率为p p，令令X X表示直到出现第表示直到出现第m m次成功为止所进行的试验次次成功为止所进行的试验次数，求数，求X
7、X的分布律。的分布律。解解:m=1时时,m1时时,X的的全部取值为全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次2 分布函数及连续型随机变量一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数 定义定义2.12.1 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P X x. 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a).分布函数的性质
8、分布函数的性质 1、单调不减性：若单调不减性：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、归一归一 性：对任意实数性：对任意实数x，0 F(x) 1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x， 反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质必要性质。一般地一般地，对离散型随机变量对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 解解X012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 2 公
9、共汽车每公共汽车每1010分钟一趟，每位乘客任意时刻到分钟一趟，每位乘客任意时刻到 达汽达汽车站的可能性相同。求乘客候车时间车站的可能性相同。求乘客候车时间X X的分布函数。的分布函数。(1)当x10时，F(x)=1二、连续型随机变量及其分布二、连续型随机变量及其分布定义定义2.2 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数若存在非负函数f(x)0，(- x+ )，使对任意实数使对任意实数x，都有都有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的 概概率率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为X f(x) , (- x+ )密度函
10、数的密度函数的几何意义几何意义为为概率密度函数的性质概率密度函数的性质(1)(2) 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)f(x)是否为某是否为某r.vXr.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. . f (x)xo面积为面积为1（3 3） 对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(x)，(-(- xx ) )，则则PX=PX=b b 0 0。于是。于是(4) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则 故故 X X的密度的密度 f(x)f(x) 在在 x x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与
11、区间长度 之比的极限之比的极限. . 这里，如果把概率理这里，如果把概率理解为质量，解为质量， f (x)f (x)相当于线密度相当于线密度. .三、几个常用的连续型分布三、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布 若Xf(x) 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XUa, b 对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为3. 正态分布正态分布ABA A，B B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X X。X X的的概率密度应该是什么形态？概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态
12、分布正态分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为XN( , 2).若随机变量若随机变量 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；f()maxf(x) .正态分布有两个特性正态分布有两个特性：4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表
13、供一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅读者查阅 (x)(x)的值。的值。(P289(P289附表附表1)1)如，如，若若 X X N N（0 0，1 1）, , （0.5)=0.6915,0.5)=0.6915,P1.32X2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则例例: : 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元件损坏与否是个这种元件，三个元件损坏与否是相互独
14、立的相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时内无一元件损坏的概率小时内无一元件损坏的概率. .解解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,故则YB(3,p)其中 定义定义 3.1设设(X, Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(x, y) R2, 则称则称 F(x,y)=PX x, Y y 为为(X, Y)的的联合分布函数联合分布函数。 3 3 二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布几何意义几何意义：分布函数分布函数F( )表示表示随机点随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：一、二维
15、随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)且(1)归一性归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y10，00，yx时，xytst=s 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)(1)均匀分布均匀分布 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)(X, Y)在区域在区域D D上上( (内内) ) 服从服从均匀分布均匀分布。 易见，若（易见，若
16、（X X，Y Y）在区域在区域D D上上( (内内) ) 服从均匀分布，对服从均匀分布，对D D内任意区域内任意区域G G，有有 其中，其中， 1 1、 2 2为实数，为实数， 1 100、 2 200| | |1|0, 则称则称同理，同理，对固定的对固定的i, pi. 0, 称称为为X xi的的条件下，条件下，Y的条件分布律的条件分布律;连续型随机变量的条件概率密度连续型随机变量的条件概率密度定义定义. . 给定给定y，设对任意固定的正数设对任意固定的正数 0，极限，极限存在，则称此极限为在条件条件下存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数的条件分布函数.记作记作可证当可证当 时时 若
17、记若记 为在为在Y=y条件下条件下X的条件概率密度，当的条件概率密度，当 时，时， . 类似定义，当类似定义，当 时时例例. .已知已知(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 (1)(1)求条件概率密度求条件概率密度(2)(2)求条件概率求条件概率xy1解:=p55三三、随机变量的独立性、随机变量的独立性等价形式等价形式定理定理3.13.1 若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，相互独立，g1(x)与g2(x)是任是任意两个连续函数，则意两个连续函数，则g1(X)与g2(Y)也相互独立。也相互独立。定义定义. . 设设n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn
18、 n) )的分布函数为的分布函数为F F(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n), (X), (X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )的的k k（1 1 kn)kn)维边维边缘分布函数就随之确定，如关于缘分布函数就随之确定，如关于(X(X1,1,X X2 2）的边缘分的边缘分布函数是布函数是F FX1,X2X1,X2（x x1 1,x,x2 2,)=F(x,)=F(x1 1,x,x2,2, , . ) )若若X Xk k 的边缘分布函数为的边缘分布函数为F FXkXk(x(xk k),k),k= =（1,2,1,2,n,n）。）。 n n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变
19、量的边缘分布与独立性则称则称X X1,1,X X2 2,.,.X Xn n 相互独立，或称相互独立，或称(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )是独立的是独立的。 则离散型随机变量则离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。相互独立。 设设X1，X2，Xn为为n 个连续型随机变量，个连续型随机变量，若对任意的若对任意的(x1, x2, , xn) Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立相互独立 定义定义 设设n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X
20、 Xn n) )的分布函数为的分布函数为F FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) )；m m维随机变量维随机变量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的分布函的分布函数为数为F FY Y(y(y1,1,y y2 2, ,y ym m), X), X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m组成的组成的n+mn+m维随机变量（维随机变量（X X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的分布函数的分布函数为为F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn
21、n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m).).如果如果F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m).= F).= FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) ) F FY Y(y(y1,1,y y2 2, ,y ym m) ) 则称则称n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )与与m m维随机变量维随机变量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )独立。独立。4 随机变量函数的分布一、一维随机变量函数及其分布一、一维随机变量函数及其分布 1. 离散型情形离
22、散型情形 设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是也是一个随机变量。求一个随机变量。求Y的的分布律分布律.或或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 2. 2. 连续型情形连续型情形 若若Xf(x), -Xf(x), - x + x0 时时, 注意到注意到 Y=X2 0，故当故当 y 0时，时
23、，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：二、二维随机变量的函数及其分布二、二维随机变量的函数及其分布1. 1. 离散型情形离散型情形 设二维离散型随机变量（X，Y），(X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, 或(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)2. 2. 连续型情形连续型情形 设设(X，Y)为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量，f(x，
24、y)为为(X，Y)的的联合密度，联合密度，z=g(x，y)为二元连续实函数，则为二元连续实函数，则Z=g(X，Y)的密度函数常常用下述方法求得：的密度函数常常用下述方法求得：几个常用函数的密度函数几个常用函数的密度函数 (1)(1)和的分布和的分布 已知已知(X, Y)f(x, y), (x, y) R2, 求求ZXY的密度。的密度。 z x+y=z x+y z 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则ZXY的密度的密度函数函数 例例6. 6. 设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立且均服从标准正态分独立且均服从标准正态分 布，求证：布，求证：Z=X+YZ=X+Y服从服从N N（0 0，2 2）
25、分布。分布。 一般地，设随机变量一般地，设随机变量X X1 1, X, X2 2，., ., X Xn n独立且独立且X Xi i服从正态分布服从正态分布N(N( i i , , i i2 2),i=1,.,n, ),i=1,.,n, 则则 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例7 7 若若X X和和Y Y 独立独立, ,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z Z= =X X+ +Y Y的概率密度的概率密度 . .解解: 由卷积公式由卷积公式也即也即为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示
26、:也即也即于是于是 (2)(2)商的分布商的分布 已知已知(X, Y)f(x, y), (x, y) R2, 求求Z 的密度。的密度。 y G1 0 x G2特别，当特别，当X，Y相互独立时，上式相互独立时，上式可化为可化为 其中其中fX(x), fY(y)分别为分别为X和和Y的密度函数的密度函数。 3 3、极大、极大( (小小) )值的分布值的分布 设设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数分别相互独立，其分布函数分别为为F1(x1),F2(x2), , Fn(xn)，记，记MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，则，M和和N的分布函数分别为：的分布函数分别为： FM(z)F1(z) Fn(z)例例9. 9. 设系统设系统L L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为式分别为(i)(i)串联，串联，(ii)(ii)并联，如图所示设并联，如图所示设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X X与与Y Y，已知它们的概率密度分别为已知它们的概率密度分别为其中其中 00， 0,0,试分别就以上两种联试分别就以上两种联结方式写出结方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度的概率密度小结小结
