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1、第第6 6章章 物体的周期性物体的周期性运动与机械波运动与机械波广广义义振振动动：任任一一物物理理量量( (如如位位移移、电电流等流等) )在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作：物体在一定位置附近作来回往复的运动。来回往复的运动。6-1 简谐振动的概念简谐振动的概念最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移偏离平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）随时间）随时
2、间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。按余弦（或正弦）规律变化的振动。 弹簧振子的振动弹簧振子的振动一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型振动的成因振动的成因b 惯性惯性a 回复力回复力令令 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析-简谐振动的动力学方简谐振动的动力学方程程得得得得即即-简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定解方程解方程设初始条件为设初始条件为:解得解得简谐运动方程简谐运动方程二、简谐振动的运动学方程二、简谐振动的运动学方程简谐运动方程简谐运动方程一、简谐振动的特征量一、简谐振动的特征量图图1 振幅振幅6
3、-2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量2 2 周期、频率周期、频率弹簧振子周期弹簧振子周期 周期周期注意注意图图 频率频率 圆频率圆频率 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的物理性质有关物理性质有关图图频率为频率为例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分周期为周期为大象大象 2530 马马 4050猪猪 6080 兔兔 100松鼠松鼠 380 鲸鲸 8动物的心跳（次动物的心跳（次/分）分） 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220http:/ 相位的意义相位的
4、意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振）物体振动状态（相貌）动状态（相貌）. 物体经一周期的振动，物体经一周期的振动，相位改变相位改变 .3 3 相位相位相位相位 (位相位相)初相位初相位4 4 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对给定振动对给定振动系统，周期由系系统，周期由系统本身性质决定，统本身性质决定，振幅和初相由初振幅和初相由初始条件决定始条件决定. .已知已知 求求讨论讨论图图取取二、二、 旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A ，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针
5、逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量. 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. . 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. . 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：
6、旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V
7、0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：
8、旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V
9、0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题）. .同步同步为其它为其它超前超前落后落后反相反相用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同
10、相同相反相反相例例1：振子的振动周期为：振子的振动周期为12s，振子由平衡位置到正向最大，振子由平衡位置到正向最大位置处所需的最短时间是多少？位置处所需的最短时间是多少？振子经历上述过程的一半路程所需最短振子经历上述过程的一半路程所需最短解：解：时刻旋转矢量与时刻旋转矢量与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为末态旋转矢量与末态旋转矢量与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为0即：即：时间是多少？时间是多少？于是有：于是有：最短时间为：最短时间为：于是于是解得：解得：振子经历上述过程的一半路程时旋转矢量振子经历上述过程的一半路程时旋转矢量与与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为仿例仿例6-4 已知某简谐振动的已知某
11、简谐振动的 速度与时间的关系曲速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。线如图所示，试求其振动方程。解：方法解：方法1设振动方程为设振动方程为故振动方程为故振动方程为方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知toTa vxT/4T/4三、三、谐振动的位移、速度、加速度谐振动的位移、速度、加速度由图可见：由图可见：x t+ o 简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征 （2）简谐运动的动力学描述）简谐运动的动力学描述 （1）物体受线性回复力作用）物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置 （3）简谐运
12、动的运动学描述）简谐运动的运动学描述 （4）加速度与位移成正比而方向相反）加速度与位移成正比而方向相反以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、四、简谐振动的能量简谐振动的能量（1） 动能动能( (以弹簧振子为例以弹簧振子为例) ) O x X（2） 势能势能 线性回线性回复力是复力是保守保守力力，作简谐，作简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒. .O x X（3） 机械能机械能
13、简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守简谐运动能量守恒，振幅不变恒，振幅不变动动能能势势能能情况同动能。情况同动能。机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒 一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动率的简谐振动：两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数6-3 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个同方向同频率简谐运动合成两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动后仍为同频率的简谐运动（1）相位差
14、相位差（2）相位差相位差（3）一般情况一般情况加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差（2）相位差相位差合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动合振动合振动当当 2 1时时, ,两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t*三三 两个相互垂直
15、的两个相互垂直的同频率同频率简谐运动的合成简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）（1） 或或 讨讨论论（2） （3） 讨讨论论 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图*四、四、 垂直方向不同频率垂直方向不同频率可可看看作作两两频频率率相相等等而而 2- 1随随t 缓缓慢慢变变化化合合运运动动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形yxA1A2o o- -A2- -A1简谐振动的合成简谐振动的合成两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形
