应力状态的概念

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1、应力状态的概念Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望71 应力状态的概念应力状态的概念7475 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法76 广义胡广义胡克定律克定律77 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能78 强度理论强度理论72 二向应力、三向应力状态的实例二向应力、三向应力状态的实例平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法73 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法7 应力状态的概念应力状态的概念一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压

2、、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、每个面上，应力均布； b、平行面上，应力相同。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。xyz x z y xy五、剪应力互等定理五、剪应力互等定理: : xyz x z y xy zx六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中

3、的A、B、C点的已知单元体。 PPAA x xMPxyzBC x xB xz xy yx课堂练习 用单元体表示圆轴受扭时，轴表面任一点的应力状态。 用单元体表示矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其它各点的应力状态。七、主平面、主应力：七、主平面、主应力：主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小， 1 1 2 2 3 3xyz x y z三个主平面一定互相垂直。三个主平面一定互相垂直。单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的

4、应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态）三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。72 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例pppxlpODAByp xD1、纵向应力yp DzO2、环向应力：外表面内表面 三向应力状态的实例：在滚珠轴承中，轴承外圈在与滚珠接触点处的应力状态为三向应力状态，73 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法 x xy y x y 正应力以拉应力为正，压应力为负； 剪应力 对单元体内任意点的矩为顺时针转

5、向时为正，反之为负； 由 轴逆时针转过 角为正，反之为负。设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力 x xy y y xy x a a a aa a规定：考虑切应力互等和三角变换，得：同理： y xy x a a a aa a x xy y例例1、求图示单元体斜截面上的应力。求图示单元体斜截面上的应力。 解： 解： 二、主应力、主平面二、主应力、主平面 x xy y由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。主平面方位的确定：约定则两个角度中，锐角确定作用的平面。，二、主应力、主平面二、主应力、主平面 x xy

6、y由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。主平面方位的确定：约定则两个角度中，锐角确定作用的平面。，例例2、求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主平面和主应力。平面和主应力。 解：例例3 分析圆轴扭转时的应力状态。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力 xyC yxMCxy 铸铁圆轴扭转破坏现象分析xy 222x yyxminmax + +- - = =）（三、最大切应力三、最大切应力则即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。四、两个互相垂直截面上应力的关系四、两个互相垂直截面上应力的

7、关系互相垂直的两个截面上的正应力之和为一值。 即切应力互等定理。 74 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle）xy x xy yO将上式改写成： 上式中上式中 皆为已知量，故此方程是以皆为已知量，故此方程是以 和和为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由德国工程师德国工程师Otto Mohr提出。提出。 由公式可见，在由公式可见，在 直角坐标系中，应力圆具有直角坐标系中，应力圆具有以下特征：以下特征：（1 1）圆心坐标为）圆心坐标为 圆心必在圆心

8、必在 坐标轴上坐标轴上 （2 2）半径为）半径为 （3）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表单元体中某一相应斜截面上的单元体中某一相应斜截面上的 和和 ，因此应力圆圆，因此应力圆圆周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。 建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内确定点A( x，xy)和点B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆； x xy yn a a a aa aO CA( x , xy)B( y , yx)2a aD

9、( a a , a a) ) CB( y , yx)2a aD( a a , a a) )A( x , xy) x xy yn a a a aa aO CA( x , xy)B( y , yx)2a aD( a a , a a) )三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系 转向相同转向相同单元体上的截单元体上的截面旋转的方向与应力圆圆周上点面旋转的方向与应力圆圆周上点的旋转方向相同。的旋转方向相同。 角度二倍角度二倍单元体上的截面旋单元体上的截面旋转转 角，则应力圆圆周上的点旋角，则应力圆圆周上的点旋转转 角。角。 点面对应点面对应单元体上的截面单元体上的截面与应力圆上的点一一

10、对应。与应力圆上的点一一对应。 四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力OC A( x , xy)B( y , yx)2a a1 12a a0 0 1 3例例4 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB 1 2解：应力坐标系如图AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图 10 2AB解法2解析法：分析建立坐标系如图60xyO 由已知求出 课堂练习：课堂练习： 1、画出单向拉伸、单向压缩应力状态的应力

11、圆。、画出单向拉伸、单向压缩应力状态的应力圆。 2、画出纯剪切应力状态的应力圆。、画出纯剪切应力状态的应力圆。 75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 2 1 31 1、三向应力状态、三向应力状态2 2、三向应力状态分析、三向应力状态分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大切应力为： max 2 1xyz 376 广义胡广义胡克定律克定律一、单向拉伸应力状态下，应力一、单向拉伸应力状态下，应力-应变关系（胡克定律）应变关系（胡克定律）二、纯剪切应力状态下，应力二、纯剪切应力状态下，应力-应变关系

12、应变关系xyz xxyz x y三、复杂应力状态下的应力三、复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系根据叠加原理,得: xyz z y xy x 同理上式称为广义胡克定律主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系四、平面应力状态下的应力四、平面应力状态下的应力-应变关系应变关系: : 1 3 2 x y五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系: 1 3 2a1a2a3 （略去高阶微量）例例5 已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：1=24010-6， 3=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3

13、， 试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处为平面应力状态777 7 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度 2 3 1 2 3 1图图 a m图图 b图图 c m m 1- m 2- m - m 3 体积改变能密度 畸变能密度因为图C的体积应变 则畸变能密度：式中：例例6 证明三个弹性常数 间的关系。纯剪切单元体的应变能密度为：纯剪切单元体应变能密度用主应力表示为： A13一、引子：一、引子：78 强度理论强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP二、二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（f

14、ailure by lost strength）起因”的假说。 材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。 单向应力状态的强度条件是以实验为基础建立的。例轴向拉伸的强度条件： ， 。复杂应力状态下的强度条件不能靠实验来建立强度条件的原因：（1）实验手段的困难，（2）工作量的繁重。三、三、三、三、四个常用强度理论四个常用强度理论四个常用强度理论四个常用强度理论1 1、最大拉应力（第一强度）理论：、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到材料单向拉伸的强度极限时，构件就断了。破坏判据：强度准则：实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 伽利略播下了第一强度理论的种子

15、。 2、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到材料单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。破坏判据：强度准则：实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽。3 3、最大切应力（第三强度）理论：、最大切应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就屈服了。破坏判据：实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 强度准则：杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论。4 4、畸变能密度理论（第四强度）理论

16、：、畸变能密度理论（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时的畸变能密度时，构件就屈服了。 破坏判据： 强度准则： 实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 麦克斯威尔最早提出了畸变能密度理论。综合以上各式，可将四个强度理论的强度条件写成统一的形式：相当应力。 四个强度理论的相当应力： 四、四、四、四、强度理论的应用强度理论的应用强度理论的应用强度理论的应用（一）强度计算的步骤：（一）强度计算的步骤：1、外力分析：确定全部的外力。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画 出其单元体，求主应力。4、

17、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后 进行强度计算。 （二）强度理论的选用原则：依破坏形式而定。（二）强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如拉压，扭转：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 其它应力状态时，使用第三或第四理论。解：危险点A的应力状态如图：例例1 直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, =40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。PPTTAA 例例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 解：由广义虎克定律得:As sx yxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。