《智能优化计算华东理工大学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《智能优化计算华东理工大学（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、普通物理专题研究力学部分力学部分一、功和能一、功和能1. 作功和质点的动能定理在牛顿力学范围内，作功与质点的动能增量之间的关系可由牛顿第二定律直接导出。对选定的惯性系，牛顿第二定律可写成： 左边表示作用在质点上的合力的功，作功是用作用在质点上的力与质点位移的标积定义的。因为牛顿第二定律中的 是质点的速度，点乘的位移 必须是质点的位移， 才可以积分。所以功的定义中关于位移的说法，应该是质点的位移，详细例证见下面的讨论。 2. 2. 关于功的定义的讨论关于功的定义的讨论长期以来，不同教材对作功有不同定义，主要区别在于对作功中的位移这个量有不同的说法对作功中的位移这个量有不同的说法。质点位移；物体位
2、移；力的作用点位移。如果讨论的对象是质点，三种说法用于处理具体问题得到的结果是一致的；如果讨论质点组，差别就表现出来了如果讨论质点组，差别就表现出来了。 例：关于人走路关于人走路一种观点：人能够走动是靠地面的摩擦力作用。这种观点认为，从功和能的角度看，人由静止到移动，具有一定的动能，一定是什么力对人作了功。地面对人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力对人作功，获得动能。另一种观点：从普遍的能量转化和守恒定律去分析：人走动时动能的增量是从人的机体内部生物化学能转化而来，人不吃饭则没有能量补充是走不动路的。再说人如果抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩擦力不作功。 两种观点反映出
3、对功的定义的不同理解。第一种观点是用人体位移来定义功，也就是用“物体位移”来定义功。对于一个内部有相对运动的质点组，各对于一个内部有相对运动的质点组，各个质点没有共同的位移，所谓个质点没有共同的位移，所谓物体的位移是指质心的位物体的位移是指质心的位移移。据质心定理： 由质心的位移计算的“功”与质心动能变化关系没有反应出机械能与其他形式能量的转化，说明按此计算功，不能全面和本质反映功能关系，这种定义不足取，还是用质点位移定义功为好。 在分析人走路时，认为地面摩擦力不作功是正确的。这种观点是按质点位移计算功。地面静摩擦力是作用在人脚上，脚没有提起也就没有位移，脚一旦提起，静摩擦力消失，因此也不作功
4、。据功能原理 W非保=E-E0人走动时获得的机械能增量是成对内部非保守力做功的结果。而这些功正是生物化学能转化而来。至于人走动时必须依靠地面的静摩擦力，仅仅是地面的静摩擦力为人的走动提供了条件（地面如果没有静摩擦力，人走动要消耗体内更多能量，若有滑动摩擦力，则需克服滑动摩擦力作功）。 关于用“力的作用点位移力的作用点位移”来计算功也是一个不确切的概念。例： 3.3.功与参照系的关系功与参照系的关系功的定义是作用在质点上的力 与质点位移 的标量积。根据功的定义，并没有提出有关参照系的选择的限制，我们可以在任何一个参照系中去计算功，而不论是否是惯性系，只不过在不同参照系中计算功有不同的结果而已。但
5、由质点动能定理：力 对质点所作的功却必须是在惯性系中进行。 这是因为，在推导动能定理中用到牛顿第二定律，而牛顿第二定律在惯性系中成立。在应用动能定理讨论问题时，必须对同一惯性系去计算功及动能增量。在非惯性系中，作为出发点的牛顿第二定律还要加上惯性力，这时若在非惯性系中运用动能定理求功，需计算惯性力的功。 讨论：不同参照系计算摩擦力作功的争议。当一个物体在地面上滑动时，地面上的观察者认为，摩擦力对物体作了负功。而相对物体静止的车上的观察者认为，物体虽受地面摩擦力的作用，但物体没有位移，摩擦力不作功。两个不同的观察者（参照系）对摩擦力对物体作功得出不同结论，从他们不同的参照系看自然是正确的。但是，
6、当我们从“摩擦生热摩擦生热”这个角度去分析这个例子时，发现出现了矛盾。 摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观察者（参照摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观察者（参照系）都是一样系）都是一样。但按上例中，车上观察者讲，由于摩擦力对物体不作功，物体温度不变。功的定义规定了功在不同的参照系中有不同的结果，即功的计算依赖于参照系的选择。而“摩擦生热摩擦生热”现象告诉我们摩擦力作功不应该依赖于参照系的选择，如何将两者统一起来？当参照系变换到车上以后，摩擦力对物体虽不作功，而作用在地面上的摩擦力的反作用力却由于地面相对于车有位移，对地面作功。这个反作用力的功往往容易被忽略。 问题关键问题关键：在讨论摩
7、擦生热现象时，必须同时考虑摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以这一对作用力与反作用力功之和去量度有多少机械能转化为热运动能量。可以证明，一对滑动摩擦力作功之和是不随参照可以证明，一对滑动摩擦力作功之和是不随参照系变换而变换的系变换而变换的（不论变换到惯性系还是非惯性系）。从物理角度看，正是普遍的能量转化和守恒定律的一种表现：机械能和热运动能量之间的转化与机械能和热运动能量之间的转化与守恒是不依赖参照系的选择的守恒是不依赖参照系的选择的。 结论结论：凡遵从牛顿第三定律的作用力与反作用力作功之凡遵从牛顿第三定律的作用力与反作用力作功之和均与参照系的选择无关。不论选取的参照系是和均与参照系的选择
8、无关。不论选取的参照系是惯性系还是非惯性系，也不论讨论的是摩擦力还惯性系还是非惯性系，也不论讨论的是摩擦力还是其他性质的力，这个结论都是正确的是其他性质的力，这个结论都是正确的。详见后面的证明。详见后面的证明。 4. 4. 作用力与反作用力的功作用力与反作用力的功证明不论参照系怎样变换，作用力与反作用力作功之和与参照系的选择无关。 5.物体系的势能在一般的教科书中讲授势能时，都强调了势能属于物体系的概念，但很少进行深入的讨论。下面以重力势能为例加以讨论：质量为m的质点沿任意路径移动，重力对质点作功为 W=- -(mgh2- -mgh1)重力是保守力，引出势能的概念，保守力作功等于势能增量的负值
9、： W保=-(EP2- -EP1) 并强调重力势能属于地球和质点组成的系统所共有。由此产生疑问：mg是作用在质点m上的重力，这里并没有分析地球的受力和运动，怎么把地球作为研究对象？质点和地球处在不同地位，又有什么根据把作为参考系的地球作为研究对象呢？如果用重力作功的负值定义重力势能增量,重力对质点作功是随参考系的不同选取而变化。例如，以地面为参考系，重力对质点作功为- -(mgh2-mgh1)，重力势能增量为mgh2- -mgh1，如果选取相对于m为静止的参考系，重力对质点不作功，岂不是得出重力势能增量为零的结论？这个结论显然不合理。 如何解释上述疑问？如何解释上述疑问？上述疑问是合理的，问题
10、出在势能建立过程是有漏洞的。在引入保守力这一概念时，不应当说一个力作功与路径无关，而应当说一对作用力与反作用力作功之和与路径无关，只决定于初态和终态的相对位置，具有这种性质的力才是保守力。谈论保守力时，有意义的是保守力作的功，而保而保守力的功总是指一对作用力和反作用力作功之和守力的功总是指一对作用力和反作用力作功之和,这个功之和的负值等于势能的增量这个功之和的负值等于势能的增量。所以相互作用物体都是我们的研究对象相互作用物体都是我们的研究对象。 在引入重力势能时，已经考虑了地球对质点作用力的功和质点对地球反作用力的功，仅仅因为这仅仅因为这对相互作用力的功之和与参考系选择无关对相互作用力的功之和
11、与参考系选择无关，我们在计算这一对相互作用力的功之和时，选用了最方便的办法，选取地球为参考系，这对相互作用力的功之和也表现为重力对质点作功了。即使我们不以地球为参考系，而以任何其他物体为参考系，计算这一对相互作用力的功之和，其结果都是相同的。 因此 W保=- -(mgh2- -mgh1) 及 W保=- -(EP2- -EP1)两式中的保守力作功都应该理解为一对作用力与反作用力作功之和，而h1、h2也应理解为质点与地球之间的相对初态和终态位置。当参考系变时，重力对质点作功随之而变，但一对作用力和反作用力作功之和仍然不变，重力势能的增量仍然由相对位置h2和h1决定，即EP2- -EP1=mgh2-
12、 -mgh1 对所有参考系都相同对所有参考系都相同。 质点动力学研究运动状态变化的原因牛顿定律状态瞬时变化的原因；动量定理经历一段时间状态变化 （原因：力对时间的积累效果）；动能定理经历一个过程状态变化（原因：力对空间的积累效果）刚体动力学研究转动状态变化的原因转动定律状态瞬时变化的原因；角动量定理经历一段时间转动状态变化（原因：力矩对时间的积累效果）转动动能定理经历一个过程转动状态变化（原因：力矩对空间的积累效果） 二、动量守恒、角动量守恒和机械能守恒成立的二、动量守恒、角动量守恒和机械能守恒成立的条件及其应用条件及其应用矢量力学的核心是牛顿的三个运动定律，三个运动定理（动量、角动量、功能）
13、及其在特殊条件下的三个守恒定律以及应用它们分析处理各种力学问题的基本方法。如果力学问题满足三个守恒定律成立的条件，则应用守恒定律处理问题最简单。三个守恒定律无论宏观领域还是微观领域，低速运动还是高速运动都成立。牢牢掌握三个守恒定律很重要，有必要对它们的守恒条件进行深入讨论。 1.1.动量守恒定律成立的条件动量守恒定律成立的条件某一力学系统在某一过程中不受外力作用或所受合外力为零，则该力学系统在该过程中动量守恒。内力不改变系统总动量，内力使系统内各部分之间进内力不改变系统总动量，内力使系统内各部分之间进行动量传递，但总动量保持不变行动量传递，但总动量保持不变。如原子核自裂变、炮弹自爆、太阳聚变反
14、应、用自己的手拉自己的头发等等，系统内各部分动量都发生了变化，但总动量保持不变。在应用动量守恒定律时，首先要确定力学系统在什么过程中所受合外力为零。所取系统不同，合外力计算结所取系统不同，合外力计算结果不同果不同。力学系统在运动过程中往往改变空间的物质分布，在某过程中合外力为零，动量守恒，在这过程之后，合外力不一定为零，动量不一定守恒。 力和动量都是矢量，力学系统动量守恒时，三个独立方向上分力之和分别为零，三个独立方向上动量分量保持不变。取相互作用前、后两个“极限”状态列方程；注意守恒定率中各质点相对运动同时性运动同时性。 某力学系统合外力不为零，该系统动量不守恒，若在某一方向上外力的分力之和
15、为零，则该力学系统在该方向上动量守恒。内力外力，系统动量近似守恒。例如：人跳高或跳远或跳水，起跳后到落地前忽略空气阻力不计，所受合外力只有重力，竖直向下，动量不守恒，但水平方向外力分量之和始终为零，所以水平方向动量守恒。人在空中挺胸、收腹、曲腿、伸脚等都是在内力作用内力作用下，不改变人体的总动量。重力的持续作用改变人的总动量重力的持续作用改变人的总动量。 2. 角动量守恒定律成立的条件某一力学系统在某过程中不受外力矩作用或所受和外力矩为零，该力学系统在该过程中转动状态不变，即角动量守恒。角动量是描述力学系统转动状态的物理量。保持转动状态不变是物体的固有属性，叫做物体的转动惯性。低速运动情况下，
16、用转动惯量描述。 转动状态与外力矩无关，力矩是改变物体转动状态的力矩是改变物体转动状态的（物理量）原因（物理量）原因。没有外力矩作用，物体转动状态不变。同理，内力矩不改变力学系统的总角动量内力矩不改变力学系统的总角动量。原子核自裂变、炮弹自爆、太阳聚变反应、人拉自己的头发均不改变各力学系统自身的总角动量。力矩和角动量都是轴矢量。同一力对不同定点力矩不同，质元的同一动量对不同的同一力对不同定点力矩不同，质元的同一动量对不同的定点角动量也不同。因此定点角动量也不同。因此力矩和角动量只有相对某一定力矩和角动量只有相对某一定点或轴才有确切的物理意义点或轴才有确切的物理意义。 力学系统相对某一定点角动量
17、守恒时，则相对该定点的外力矩在三个独立方向分量之和分别为零，相对该定点的角动量在上述三个方向分量之和分别为常矢量。在定轴转动的情况下，通常叫定轴角动量守恒，相对定轴合力矩为零，则该力学系统相对该轴角动量守恒。角动量守恒需指明哪个力学系统在什么过程对哪一点或对某一轴的角动量守恒，力学系统取的不同，过程不同,相对的点和轴取的不同，合外力矩计算结果就不同。 合外力矩不为零，则力学系统的角动量不守恒。例如：人跳高、跳远、跳水起跳后到落地前对定点的合力矩都不为零（有重力矩有重力矩）。因此人对定点的角动量都不守恒。但是，忽略空气阻力不计，人对其质心的角动量守恒（重力矩为零重力矩为零）。要改变人自转的角速度
18、，在不受外力矩作用下，必须改要改变人自转的角速度，在不受外力矩作用下，必须改变人对其质心的转动惯量变人对其质心的转动惯量。对质心，转动惯量减小（人卷缩，各部分靠近质心），则自转角速度增大。宇宙飞船在空间飞行时，要使飞船获得某方向上的角动量，可使喷出的气体具有等量反向的角动量。若使飞船停止，也可产生相反方向的角动量。（例如物理学上册，p152,4-21,p154,4-32） 3.3.机械能守恒定律成立的条件机械能守恒定律成立的条件某力学系统在某力学系统在某过程某过程中，外力作功和内耗散力的功的总中，外力作功和内耗散力的功的总和等于零，则该力学系统的机械能守恒和等于零，则该力学系统的机械能守恒。中
19、等物理学关于机械能守恒定律有以下三中表述中等物理学关于机械能守恒定律有以下三中表述：力学系统只有动能和势能之间相互转化,机械能守恒。没有摩擦力和介质阻力存在（或作功），力学系统只有动能和势能之间相互转化，机械能守恒。只有重力和弹力作功，力学系统只有动能和势能之间相互转化，机械能守恒。以上三种表述是否科学？中学物理不讲授保守力和耗散力，机械能守恒定律如何表述才比较科学？（讨论） 三种表述的共同点：强调没有耗散力存在或没有耗散力作功，除动能和势能以外没有其它形式的能量转化。这些都不是机械能守恒的必备条件。较为科学的表述应该是：较为科学的表述应该是：“外力的功与内耗散力功的总外力的功与内耗散力功的总
20、和为零，系统的机械能守恒。和为零，系统的机械能守恒。”内力虽有耗散力，耗散内力也作功，只要外力的功与耗散力的功总和为零，即机械能的耗损被外力的功及时补偿，力学系统的机械能仍然守恒。例如：稳态的强迫简谐振动，阻尼力所耗散的机械能由例如：稳态的强迫简谐振动，阻尼力所耗散的机械能由周期性强迫力做功补偿，系统机械能不随时间变化，保周期性强迫力做功补偿，系统机械能不随时间变化，保持不变。持不变。 中学物理不讲保守力和耗散力，可表述为：“力做功的力做功的总效果使力学系统只有净动能和势能之间相互转化，系总效果使力学系统只有净动能和势能之间相互转化，系统的机械能守恒统的机械能守恒”（大学物理88年7期）强调力
21、作功是必要的，因机械能守恒是功能原理特殊条件下的结果。功能原理是动能定理的另一种表述形式，即 系统增加的动能是由势能转化而来的，因势能减少了（增加的净动能=减少的净势能）。“净”能量代数和，并不排除机械能与其他形式能量的转化。机械能守恒不允许有其他形式能量参与转化。机械能守恒不允许有其他形式能量参与转化。 由功能原理可知机械能守恒条件大致有以下几种说法机械能守恒条件大致有以下几种说法：Wi外+Wi内耗=0，则Eki+ Epi=恒量，系统的一切外力和非保守内力作功之和为零，则系统机械能守恒。Wi外=0，Wi内耗=0，则Eki+ Epi=恒量，系统只有保守力作功，外力和非保守内力不作功，系统的机械
22、能守恒。第一种说法不严格：对于某一过程，如果Wi外+Wi内耗=0，只能说明系统在过程的始末两个状态机械能相等，而不能确定在过程的每一时刻的机械能是守恒的。第二种说法条件是过于苛刻，它只能是充分条件，而非必要条件。 科学严格的表述应该是第一种说法加上限制条件：即，在任一微小的过程中Wi外+Wi内耗=0，或：只有当Wi外+Wi内耗=0对于过程的每一时刻均成立，系统的机械能守恒。机械能守恒的充分条件应写成微分形式：dW外+dW内耗=0，（W外= Wi外）由功能原理求微分可得： 即系统的机械能守恒的充要条件是：在研究的整个过程中，外力和非保守内力的功率在研究的整个过程中，外力和非保守内力的功率代数和为
23、零。（每个时刻的功）代数和为零。（每个时刻的功）上述守恒条件在理论上式严格的，正确的，但实实际中很难找到这一过程，自始至终每一微小过程际中很难找到这一过程，自始至终每一微小过程外力作功与非保守力作功之和恰巧为零外力作功与非保守力作功之和恰巧为零。正是由于这种考虑，大多数教材将条件表述得苛刻一些大多数教材将条件表述得苛刻一些, ,只有保守力作功这样更符合实际只有保守力作功这样更符合实际。再看W外+W耗=0，虽然在整个过程中不一定每个时刻系统的机械能守恒，但始末两个状态机械能相等，说成守恒也未必不可以。 常说用能量观点处理力学问题方便之处就在于不考虑过程的中间状态。如果一个力学系统发生一个复杂的力
24、学过程而很难用牛顿定律求解，若知过程中满足W外+W耗=0条件，则可以不管系统中间状态多么复杂（如弹性碰撞、稳定的强迫振动），其过程始末两状态的机械能必守恒，这正是用机械能守恒处理问题的简捷之处。 4.三个守恒定律的综合应用应用三个守恒定律处理力学问题最简便，关键在于选择适当的力学系统，使其满足守恒定律成立的条件，按三个守恒定律建立方程组求解。例题例题1 1：质量为2m、长为L的均匀细杆静止放在光滑的水平面上，质量为m，水平初速为v0的小球垂直于细杆对其一端进行完全弹性碰撞。如图，求：碰撞后小球的速度，细杆转动角速度及质心的速度。 解：取细杆与球组成一力学系统。该系统在水平方向无外力，竖直方向受
25、重力和支持力大小相等方向相反，合外力为零，合外力矩为零，系统在水平方向运动，无外力作功，内力无耗散力。所以该系统动量守恒、角动量守恒、机械能守恒。设碰撞后球速度v，杆质心平动速度vc，杆绕质心轴转动角速度 球与杆的质心平动动量守恒：（杆随质心平动）系统相对通过杆质心且垂直水平面轴角动量守恒：系统机械能守恒（杆作平面运动，随质心平动和绕通过质心轴转动） 由(1)(2)(3)解得碰撞后讨论上述结果：碰撞后小球的速度与细杆的质心速度相等，细杆同时还要绕质心轴转动，必与小球进行第二次完全弹性碰撞。 例题2：质量为M,长为L的细杆，在光滑水平面上，质点质量为m，以v0初速度与杆发生完全非弹性碰撞，求碰后
26、杆的运动。 解：在如图所示坐标下，碰撞系统质心位置碰撞前后系统动量守恒所以杆质心平动速度系统对质心轴转动角动量守恒：杆绕质心轴角速度 例题例题3 3如图所示：在光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k，它的一端固定，另一端系一质量为m的滑块，最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至l 时，求滑块的速度大小及方向（速度和弹簧线之间的夹角） 分析：将整个运动分两段考虑：子弹和滑块碰撞过程。因滑块所系的是轻弹簧，又处在自然长状态，因此子弹与滑块碰撞可视为质点系的完全非弹性碰撞过程。沿子弹运动方向外力为
27、零，碰撞过程动量守恒。子弹与滑块碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，滑块在受指向固定点的弹力的作用下作弧线运动，该力属于有心力不产生力矩，因而滑块在运动过程中满足角动量守恒；与此同时，对滑块、弹簧所组成的系统没有外力和内耗散力作功，机械能守恒，有： 解得 例题例题4 4质量为M的物块焊接上一个进度系数为k 的水平带钩的轻弹簧，置于光滑水平面上，质量为m的小球以水平初速度v0 接近静止的弹簧并与弹簧碰撞后钩连在一起。设碰撞是完全弹性碰撞，求弹簧最大压缩量及小球与弹簧和物块组成系统相对振动的频率。 解：当小球与弹簧碰撞并钩连在一起，将压缩弹簧，弹簧内有弹性力，物块加速运动，小球减速运动，由于开
28、始小球速度大于物块速度，弹簧继续被压缩，弹力增大，加速度增大，M速度增大，m速度减小，且要 vmvM，弹簧被压缩直到二者速度相等，弹簧被压缩到最大量。此过程系统在水平方向无外力作用，动量守恒，又因为无内耗散力作用，机械能守恒。 分析系统的运动过程：球碰弹簧后压缩弹簧直到最大量 xm，二者此时有共同速度，由于继续运动，弹簧开始伸长，M加速，m减速；经自然长度时，受力为零，二者以原速度继续运动，由M 速度大，m速度小，继续伸长弹簧，这时的弹力作用反向，使M 减速，m加速，当二者速度不等时，弹簧继续伸长，直到二者等速，伸长到最大量，再运动；由于m加速，M减速，弹簧被压缩，直到压缩到最大。振动振幅为最
29、大压缩量或伸长量 xm 图 练习题1光滑桌面上，一根劲度系数为 k 的轻弹簧两端联结质量为m 的滑块A和B。如果滑块被水平飞来的质量为 m/4,速度为 v0 的子弹射中，并停留其中。试求运动方程中弹簧的最大压缩量。 解：（1）子弹射入滑块过程：动量守恒，机械能不守恒（2）弹簧被压缩过程：A、B速度相等，压缩量最大，动量守恒，机械能守恒可对全过程应用动量守恒，但能量守恒只能对第二过程。 练习练习2 2质量为m，长为L的匀质细杆竖直立于光滑的水平面上，无初速倾倒在光滑的水平面上，求：(1)杆在倾倒过程中的角速度和质心速度的大小;(2)杆和水平面接触点的速度大小；(3)杆落地时，上述各量的大小。 解
30、：设杆为刚体，刚体上各质元之间的距离不变，刚体内力作功为零，只有重力作功，细杆倾倒过程机械能守恒。设任一时刻细杆与竖直线的夹角为，初始时刻势能为零，则（细杆作平面运动）细杆在水平方向无外力作用，水平方向动量守恒，细杆质心在初始时刻水平速度分量为零，在运动过程中始终为零（质心速度竖直向下，质心轨迹为竖直向下直线），细杆触地点A速度水平向左，由质心速度和端点 A绕质心转动的速度（垂直杆）合成： 练习3如图，两个物块通过一根绳子跨过固定的滑轮联结在一起，忽略滑轮和绳子的质量，即不考虑滑轮的转动。已知：Mm,M静止在桌面上，抬高m使其自由下落h距离后，绳才被拉紧，求此时两物体的速度及M所能上升的最大高
31、度。 解：m下落：机械能守恒mgh=1/2mv20绳子拉紧瞬间：系统动量守恒：mv0=(m+M)vM与m以共同速度v运动至M上升最高点：系统机械能守恒：1/2(m+M)v2+mgh1=MgH+mgh2,(h1-h2=H) 练习4 如图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k） 分析: 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一,因为它与过程的细节无关，也常常与特定力的细节无关。因为它与过程的细节无关，也常常与特定力的细节无
32、关。“守恒守恒”则意味着在条件满足的前提下，过程中任何时则意味着在条件满足的前提下，过程中任何时刻守恒量不变在具体应用时，必须恰当地选取研究对刻守恒量不变在具体应用时，必须恰当地选取研究对象（系统），注意守恒定律成立的条件象（系统），注意守恒定律成立的条件 该题可用机械能守恒定律来解决选取两块板、弹簧和地球为系统，该系统在外界所施压力撤除后（取作状态1），直到B板刚被提起（取作状态2） ，在这一过程中，系统不受外力作用，而内力中又只有保守力（重力和弹力）作功，支持力不作功，因此，满足机械能守恒的条件只需取状态 1 和状态 2 ，运用机械能守恒定律列出方程，并结合这两状态下受力的平衡，便可将所需
33、压力求出 解：选取如图所示坐标，取原点O处为重力势能和弹性势能零点。作各状态下物体的受力图，对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有 F1=P1+F-（1）当外力撤除后，按分析中所选的系统，由机械能守恒定律可得式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移因为F1=ky1，F2=ky2及P1 = m1g ，上式可写为 由式（1）、（2）可得 F =P1 + F2- (3) 当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力 F2=P2，且F2=F2 由式（3）可得 F=P1+P2=(m1+m2)g 应注意，势能的零点位置是可以任意选取的为计算方便起见，通常取弹簧原长时的弹性势能为零点，也同时为重力势能的零
34、点. 练习5如图所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始的角速度为0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（假设环内壁光滑） 分析虽然小球在环中作圆周运动，但由于环的转动，使球的运动规律复杂化了由于应用守恒定律是解决力学问题最直接而又简便的方法，故以环和小球组成的转动系统来分析在小球下滑的过程中在小球下滑的过程中，重力是系统仅有的外力，由于它与转轴平行，不产生外力矩，因此，该系统对轴的角动量守恒，若以小球位于点A、B处为初、末两状态，由角动量守恒定律可解得小球在点B时环的
35、角速度B 在进一步求解小球在点在进一步求解小球在点B B处相对环的速度处相对环的速度vB时时，如果仍取上述系统，则因重力（属外力）对系统要作功而使系统的机械能不守恒；若改取小球与地球为系统，也因环对小球的作用力在转动过程中作功，而使系统的机械能守恒仍不能成立；只有取环、小球与地球为系统时，系统才不受外力作用，而重力为保守内力，环与球的相互作用力虽不属保守内力，但这一对力所作功的总和为零，因此系统的机械能守恒，根据两守恒定律可解所需的结果。但必须注意：在计算系统的动能时，既有环的转动动能，又有小球对地的动能（它可视为小球随环一起转动的转动动能 与小球相对于环运动的动能 解：以环和小球为转动系统，由系统的角动量守恒有取环、小球与地球为系统时，由系统的机械能守恒可得由式（1）、（2）可解得小球在B点时，环的角速度与小球相对于环的线速度分别为小球在 C 点时，由于总的转动惯量不变，用同样的方法可得环的角速度和小球相对于环的速度分别为
