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1、ABPAl数数无无形形时时少少直直观观;形形少少数数时时难难入入微微。 华华罗罗庚庚最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习1中小学ABPAl数数无无形形时时少少直直观观;形形少少数数时时难难入入微微。 华华罗罗庚庚最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结
2、课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习2中小学 在公路在公路l两侧有两村庄，现要在公路两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一旁修建一所候车亭所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭试确定候车亭P的位置。的位置。 中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024温故而知新一温故而知新一最短路径问题最短路径问题最短路径问
3、题最短路径问题范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二ABP 思考：本题运用了思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短.随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索几几 何何 画画 板板巩固练习巩固练习l3中小学 在公路在公路l两侧有两村庄，现要在公路两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一旁修建一所候车亭所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭试确定候车亭P的位置。的位置。 中学数学复习
4、中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024温故而知新一温故而知新一最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二ABP 思考：本题运用了思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短.随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板l4中小学 如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L建建一泵站一泵站P分别向
5、分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站两村庄同时供水，要使泵站P到到A村、村、B村的距离之和最短，确定泵站村的距离之和最短，确定泵站P的位置。的位置。 中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024温故而知新一温故而知新一AP 思考：本题运用了思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短; 轴对称、线段的垂直平轴对称、线段的垂直平分线的性质、分线的性质、 转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知
6、新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板5中小学上次更新: 21 七月 2024随堂练习二随堂练习二中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题1. 架架桥问题：如：如图，A A、B B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现要在河上要在河上 造造一座一座桥MNMN，桥造在何造在何处可使从可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）要与河垂直。）ANM
7、 思考：本题运用了思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短, 图形的平移、图形的平移、 转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板6中小学上次更新: 21 七月 2024随堂练习二随堂练习二中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径
8、问题1. 架架桥问题：如：如图，A A、B B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现要在河上要在河上 造造一座一座桥MNMN，桥造在何造在何处可使从可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）要与河垂直。）ANM 思考：本题运用了思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短, 图形的平移、图形的平移、 转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故
9、而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板7中小学上次更新: 21 七月 20241.如图如图,已知正方形已知正方形ABCD，点，点M为为BC边的中点，边的中点， P为对角线为对角线BD上的一动点，要使上的一动点，要使PM+PC的值最小，的值最小，请确定点请确定点P的位置。的位置。随堂练习三随堂练习三中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题PABCDPM最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例
10、学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板8中小学中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024随堂练习四随堂练习四2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边的中点，边的中点， P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，的值最小， 试确定点试确定点P的位置。的位置。 ABCDPMN
11、P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板9中小学中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024随堂练习二随堂练习二2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边的中点，边的中点， P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使
12、PM+PN的值最小，的值最小， 试确定点试确定点P的位置。的位置。 ABCDPMNP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板10中小学上次更新: 21 七月 2024拓展探索拓展探索中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题1. 如图，点如图，点P在在AOB内部，问如何在射线内部
13、，问如何在射线OA、OB上分别找点上分别找点C、D，使，使PC+CD+DP之和最小？之和最小？ P1P2CD最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板11中小学上次更新: 21 七月 2024中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2. 饮马问题: 如如图牧牧马人从人从A A地出
14、地出发，先到草地，先到草地边某一某一处牧牧马，再到河再到河边饮马，然后回到，然后回到B B处，请画出最短路径。画出最短路径。解：如解：如图所示所示 分分别作出点作出点A关于关于MN的的对称点称点A1, 点点B关于关于l的的对称点称点B1，连接接A1 B1, 与与MN和和l分分别交于点交于点C,D,则线路路ACDB即即为所求。所求。MNlCDA1B1AB拓展探索拓展探索最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二
15、随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板12中小学上次更新: 21 七月 2024中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2. 饮马问题: 如如图牧牧马人从人从A A地出地出发，先到草地，先到草地边某一某一处牧牧马，再到河再到河边饮马，然后回到，然后回到B B处，请画出最短路径。画出最短路径。解：如解：如图所示所示 分分别作出点作出点A关于关于MN的的对称点称点A1, 点点B关于关于l的的对称点称点B1，连接接A1 B1, 与与MN和和l分分别交于点交于点C,D,则线路路ACDB即即为所求。所求。MNl
16、CDA1B1AB拓展探索拓展探索最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板13中小学x上次更新: 21 七月 2024中考链接中考链接中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2. 如图，以矩形如图，以矩形OABC的顶点，的顶点，OA所在的直线为所在的直线为x轴，轴，OC所在的所在
17、的直线为直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4, OC=2,点点E、F分分别是边别是边AB、BC的中点，的中点， 在在x轴、轴、y轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点N、M，使，使得四边形得四边形MNEF的周长最小？如果存在，请在图中确定点的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N的的位置，若不存在，请说明理由。位置，若不存在，请说明理由。 MNE1F1最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温
18、故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板14中小学x上次更新: 21 七月 2024中考链接中考链接中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2. 如图，以矩形如图，以矩形OABC的顶点，的顶点，OA所在的直线为所在的直线为x轴，轴，OC所在的所在的直线为直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4, OC=2,点点E、F分分别是边别是边AB、BC的中点，的中点， 在在x轴、轴、y轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点N、M，使，使得四边形得四边形MNEF的周
19、长最小？如果存在，请在图中确定点的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N的的位置，若不存在，请说明理由。位置，若不存在，请说明理由。 MNE1F1最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板15中小学上次更新: 21 七月 2024课堂小结课堂小结中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短
20、路径问题说说你的收获说说你的收获考察知识点：考察知识点： ；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；数学思想：数学思想： ；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；试题变式背景有试题变式背景有: ;角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。正方形、梯形、坐标轴等。数学模型：数学模型： . 已知直线已知直线 l 和和 l 的同侧两点的同侧两点A、B，在直线上求作点在直线上求作点P，使，使PA+PB最小。最小。 最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温
21、故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板16中小学上次更新: 21 七月 2024课堂小结课堂小结中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题说说你的收获说说你的收获考察知识点：考察知识点： ；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；数学思想：数学思想： ；数形结合思想，化归
22、与转化思想，数学模型思想等；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；试题变式背景有试题变式背景有: ;角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。正方形、梯形、坐标轴等。数学模型：数学模型： . 已知直线已知直线 l 和和 l 的同侧两点的同侧两点A、B，在直线上求作点在直线上求作点P，使，使PA+PB最小。最小。 最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知
23、新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板17中小学中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024巩巩 固固 练练 习习1.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边的中点，边的中点， P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，的值最小， 试确定点试确定点P的位置。的位置。 ABCDPMNP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新
24、一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板18中小学变式（变式（1）中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 20241. 变式（变式（1）. 如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD，M、N分别为分别为 AB、BC边上的点，边上的点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，试确定点的值最小，试确定点P的位置。的位置。P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知
25、新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习巩巩 固固 练练 习习几几 何何 画画 板板19中小学变式（变式（2）中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 20241. 变式（变式（2）. 如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD的边长为的边长为6，面积，面积为为30，BAD=60,点点M为为AB边的中点，点边的中点，点P为对角线为对角线AC上的一动
26、点，要使上的一动点，要使 PM+PB的值最小，试确定点的值最小，试确定点P的位的位置，并求出置，并求出PM+PB的最小值的最小值.P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩巩 固固 练练 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板20中小学变式（变式（3）中学数学复习中学数
27、学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 20241. 变式（变式（3）. 如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边上的点，边上的点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 MPN的周长最小，试确定点的周长最小，试确定点P的位置的位置. P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展
28、探索拓展探索巩巩 固固 练练 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板21中小学中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 20242. 如图，已知点如图，已知点P是直线是直线x=1上的一动点，点上的一动点，点A 的坐标为（的坐标为（0，2），若），若OPA的周长最小的周长最小,试在试在图中确定点图中确定点P的位置。的位置。OP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二
29、温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩巩 固固 练练 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板22中小学中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新: 21 七月 2024随堂练习二随堂练习二3. 如图，点如图，点A、B位于直线位于直线L同侧，定长为同侧，定长为a的线段的线段MN在直线在直线L上滑动，请问当上滑动，请问当MN滑到何处时，折线滑到何处时，折线AMNB长长度最短？。度最短？。 A1NA2M最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板23中小学24中小学
