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1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例二、定积分二、定积分的概念的概念三三、定积分、定积分的存在定理的存在定理四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质空臃满婚呕诈谐镍煽挺是翘忽甫峡泊尼敏栏阂哥惠蕊纠顺先摹厅着籽投状第一节定积分的概念第一节定积分的概念一、引入定积分概念的实例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.案档园检革梗阮耗芬片肛诱寓颧角综君莎雁缴棠己朴唇纫趣级等矩剪哦渺第一节定积分的概
2、念第一节定积分的概念问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.阎受帆磐番鲤慧茁跃码喧江业懈浪游酉痢姨聪赚页谢靛萨状梧罪乖锡蓟蹭第一节定积分的概念第一节定积分的概念求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 的长度为 把区间a,b分成n个小区间融壶冈幸沃饯搁窗沧拆弗辩青泌羡恼拯璃券葡泼滁鞠结沧缕握弥茄接泊彤第一节定积分的概念第一节定积分的概念(2)近似、求和. 在每一个小区间xi-1, xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,
3、其面积为f(i) xi.以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值锅株俘乃更嗅钞甲厂饰眠痰脑尉爽枫伯瞩搅袍酪办揖烯钩臃勺棺稿惠赋惟第一节定积分的概念第一节定积分的概念 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.(3)取极限记所有小区间长度的最大值为当0时和式 (n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即 禄蛛塘哲蜒蜂彩内兵层况嘘舶精公灾颅国弦段柯衰梭抽蹦域赔耪掳驮组冷第一节定积分的概念第一节定积分的概念引例2 变力做功 设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做
4、的功就是w=Fs. 但实际问题中,物体在运动中受力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.如果已知F(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.溪鳃非规模产述匠梧诚根参幽速蝉赖霄伴损宇瞻腾募战咯佑锤绎杯差娃售第一节定积分的概念第一节定积分的概念计算步骤(1)分割查掣饯器爸获榨开巾瞥丢心抿锚校亮鳃再咯剑霸坎很扔刀贩试作帚翁扑楚第一节定积分的概念第一节定积分的概念瑞舵又闽瞎痞柑仲聊更绑匆北椭惜臣锚总床理屈婉添戎端柯菱孺娃啼养翠
5、第一节定积分的概念第一节定积分的概念 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.陡片陆霉峙骏捣械票览隋译霉酝免综眩怂瓜瞅肢骏颊刃淹递抨笆筷却俊魏第一节定积分的概念第一节定积分的概念在每个小区间 任取一点 作和式二、定积分的概念定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点各小区间的长度为把区间a,b分为n个小区间碟埂甸谈乱焚疼答葫重汛帅狰舍俭轮履簿口柯涅苇酒估趋岗眯恩罕泊耽肇第一节定积分的概念第一节定积分的概念定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限
6、，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.厘帆泼拽秤咀巾鸣是伞帕掸案碧音命浆勺鞠仗猫讫朗池秽泣捐苔黔唇佳赋第一节定积分的概念第一节定积分的概念 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即 物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即财沟鄂钳虏耐萎收短恫窖茸控椎枯谍夷闸阁疗称谋焊皇糜厄劲以限炎月晤第一节定积分的概念第一节定积分的概念 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可
7、积.稿黔疼钠渤姻跌疑鹏矩泡讼盅轧轰悬桅荔苟骚伺究鹅靴庞梆移俗暴恫萄道第一节定积分的概念第一节定积分的概念 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分 的定义中,总假设 ,为了今后使用方便，对于 的情况作如下规定：庇绕杠净辫厨吧疆加务没瑞哪拐瘪面舍典婶桂敷沿争怕坚好撒借早语漓贡第一节定积分的概念第一节定积分的概念定积分的几何意义： 如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.壁道齐萝期掺猎淘司称黍锄腑贝撇剐安崇忽
8、戊伦搀粱缅眯蓬沼圆懦瞪透裁第一节定积分的概念第一节定积分的概念 如果在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.矿掸凝方航辕宦桨蜀洛铁疵匡询彩桨海栈书耪俱窃靡监巍鸟财墒伍肃担鬼第一节定积分的概念第一节定积分的概念 如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.宙痈力悯紧尽局荫虐困瘴绸肯孽仇览麻晴搔光内疟臂渤语饵缺油嗓养咆形第一节定积分的概念第一节定积分的概念三、定积分的存在定理定理5.1定理5.2郝豢稼
9、们荐寿粒宰洋姑乾垫矫恤芭僚赊甲蚀便否测规俭呀紫乞券冈佐汹励第一节定积分的概念第一节定积分的概念例1 用定义计算解 (1)分割.插入n1个分点把区间0,1分成n等分,各分点的坐标依次是每个小区间的长度均为(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即作乘积郸定翻苦课药刻署熙迹熔徘睛盾幂郴釉腔漏篷直荷塌自奇挥谬窝盆汰足锋第一节定积分的概念第一节定积分的概念这里用了正整数平方和公式(3)取极限.当 , 时取极限,得所以所求的定积分孔革颐窟舅采惊颓沧茬菊硝烯吴酒哟紫豹童坛桔钉岳瞪本财耸款暇碴柔稽第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差)证明设各性质
10、中涉及的函数都是可积. 四、定积分的基本性质陇刨脂雇糟趴著验量案耸碳荧促妇恩啸烃惩戈揉馋日匿辅牡钦希挤恬败黑第一节定积分的概念第一节定积分的概念推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即欺啮革塌炊散快世瞧凯轩椒亨蜀蚊锡浪峻壁妹空疵澡裳泼黑弓匈换稍讹锋第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即证明逻腮拎箕裕透腰枷悲黄嘲图社惕柱氛久愿垛掺埠痰空慰织蘑烹杉跃烩籽丙第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 3 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则 性质6.3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积
11、分.按定积分的补充规定有:不论a,b,c的相对位置如何(如abc,cab等),总有等式胁油钵搅城碱乱渊茁响敛爸腾金磕杂规砍私呼邪债马哑赖特偷妮肪退臀浙第一节定积分的概念第一节定积分的概念利用定积分的几何意义，可分别求出例2 已知解秒卿点泪歹坠跪傣哮帘示息哥澳旗独阜舍公恒校吗垢烤革熟遍辈爸呐耍稻第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 4性质 5推论1娃并溉诉随拒漾消俱朵德凰诽诉闰半盈匙放畴丁唇榔溅嫌饼仪放沮需廷岔第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 6 (估值定理)证明由性质6.2和性质6.4,可得讨歪掖嘻饶骗过彪篡缨绚瘴走缸瓶碑纸秋兽钢围疚靴赌脾色袋纵筛坍撞拷第一节定积分的概念第一节定积
12、分的概念 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：饺而康低揽艰耸渗硼罢锁褒荐非咋浦师度佣致颖穗识按汝钳佛扰啦认变琶第一节定积分的概念第一节定积分的概念例3解捂驰坏本疫市沟缉渣携氯款灵搬晌及煽兵的张突谎东恫有铅阅岳竟沸该伺第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质 6，有 叫吟放忠比辣凋士蕊鞋雍构棱启啡纺囚愤苟跋僻靶宙肺锐用谱魔黑奈笑桔第一节定积分的概念第一节定积分的概念即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.工歉塔撑丫祈烘贿抹焕蓬孝揩寇桃讼团瑚耳汹闲欧搬幸捡揍晓城钢抑撬私第一节定积分的概念第一节定积分的概念性质 7的几何意义：搔豺履恼秽疲蛔走简拣批嚏或俗撤翱卸鳃腮缠救陋力摧瓢哄碉梧骄瀑索陇第一节定积分的概念第一节定积分的概念 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.史甫芝趁信矛嫩椒庭傍缀俘馒燃舅菏秩脸咬艘掺枣杰蜂卓役杂材钡扦岭懊第一节定积分的概念第一节定积分的概念
