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1、 在在许许多多情情况况下下，材材料料力力学学的的初初等等方方法法不不能能提提供供关关于于工工程程结结构构中中应应力力分分布布的的资资料料，于于是是必必须须借重更强有力的弹性理论方法。借重更强有力的弹性理论方法。 1. 梁的载荷附近及支座附近的局部应力；梁的载荷附近及支座附近的局部应力； 2. 各向同阶大小的物体中的应力分布；各向同阶大小的物体中的应力分布； 3. 轴承珠中的应力；轴承珠中的应力； 4. 梁或轴的截面有剧烈变化处的应力；梁或轴的截面有剧烈变化处的应力； 5. 内凹角处有高度的应力集中，裂纹从这里开始；内凹角处有高度的应力集中，裂纹从这里开始； 反复应力（疲劳）更是如此，引起构件的
2、断裂。反复应力（疲劳）更是如此，引起构件的断裂。第一章第一章 绪绪 论论1第一章第一章 绪绪 论论1-1 1-1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定1-4 1-4 弹性力学的发展弹性力学的发展1-1 1-1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容1. 研究内容研究内容材力材力:（内容）（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。 结力结力: （内容）（内容）杆件系统（杆系结构）
3、在外力或温度杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。作用下的应力、变形、位移等变化规律。 （任务）（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力:（内容）（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。变形、位移等分布规律。 （任务）（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 2. 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力：（1）
4、研究对象）研究对象杆件（直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结力：杆件系统（或结构）杆件系统（或结构）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等（2）研究方法）研究方法材力：材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。物理方程三方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，面分析，放弃了材力中的大部分
5、假定放弃了材力中的大部分假定。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学结果弹性力学结果材料力学结果材料力学结果当当l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸弹性力学以微元体为研弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。所得结果更符合实际。（3）数学理论基础）数学理论基础材力、结力材力、结力常微分方程（常微分方程（4阶，一个变量）。阶，一个变量）。弹力弹力偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法数值解法：能量法（变分法）、差分：能量法
6、（变分法）、差分法、有限单元法等。法、有限单元法等。3. 与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。振动理论、有限单元法等课程的基础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；数学弹性力学；应用弹性力学。应用弹性力学。弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。本课程较为完整地表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进行求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。弹性力学是学习塑性力学、断裂力学
7、、有限元方法等课程的基础。小结：小结：1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念： 外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1. 外力外力体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1)体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位： N/m3kN/m3说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁
8、场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。(2)面力面力作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。2. 应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念AQ内力内
9、力(1)物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点内力的面分布集度点内力的面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量切应力切应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各
10、个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。切应力互等定理切应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力拉为正，压为负。拉为正，压为负。切应力切应力坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标负向一致时为正。上，与坐标负向一
11、致时为正。xyzO与材力中切应力与材力中切应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xy规定使得单元体顺时的剪应力规定使得单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须此规定求解问题时必须此规定求解问题xyzO3. 形变形变形变形变物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCA用线（正）应变用线（正）应变度量度量用切应变用切应变度量度量（切应变（切应变两正方向垂直线段夹角两正方向垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的切应
12、变：三个平面内的切应变：(1)一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负；剪应变：剪应变： 以直角以直角变小时为正变小时为正，变大时为负变大时为负；(2)一点应变状态一点应变状态代表一点代表一点P 的的邻域内邻域内线段伸缩与线段间夹角的改变线段伸缩与线段间夹角的改变xyzOPBCA其中其中应变无量纲；应变无量纲；4. 位移位移注：注：一点的位移一点的位移矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即xyzOSwuvP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移分量；分量；v y方向的位移方向的位移分
13、量；分量；w z方向的位移方向的位移分量。分量。量纲：量纲：m 或 mm弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基
14、本假定1. 连续性假定连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。该假定在研究物体的该假定在研究物体的宏观力学特性宏观力学特性时，与工程实际吻合时，与工程实际吻合较好；研究物体的较好；研究物体的微观力学性质微观力学性质时不适用。时不适用。作用：作用：使得使得、u等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。保证保证中极限的存在。中极限的存在。2. 线弹性假定线弹性假定假定物体完全服从虎克（假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，）定律，应力与应变间应力与应变间成线性比例关系成线性比例关系（正负号变化也相同）。（正负
15、号变化也相同）。比例常数比例常数弹性常数（弹性常数（E、）脆性材料脆性材料一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料比例阶段，可视为线弹性的。比例阶段，可视为线弹性的。3. 均匀性假定均匀性假定作用：作用： 可使求解方程线性化可使求解方程线性化假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质的，各部分材料性质相同。相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）等）等不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。4. 各向同性假定各向同性假定假定物体内一点的假定
16、物体内一点的弹性性质弹性性质在所有在所有各个方向都相同各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；金属金属上述假定符合较好；上述假定符合较好；木材、岩石木材、岩石上述假定不符合，称为上述假定不符合，称为各向异性材料各向异性材料；符合上述符合上述4个假定个假定的物体，称为的物体，称为理想弹性体理想弹性体。5. 小变形假定小变形假定假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。位移远远小物体的原来的尺寸。作用：作用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量；可用
17、变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程使求解的方程线性化线性化。附：附： 工程力学问题的建模分析过程工程力学问题的建模分析过程 工程力学问题建立力学模型的过程中，一般作三方面进行简化：结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力及约束条件简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。 在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：线性化 对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。 模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证
18、，一般通过实验验证：直接实验验证 直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型实验 相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相似的。1.4弹性力学的发展弹性力学的发展 系统定量地研究弹性力学始于系统定量地研究弹性力学始于17世纪：欧洲封世纪：欧洲封建社会崩溃，资本主义开始兴起，国际商业和航海建社会崩溃，资本主义开始兴起，国际商业和航海业发展，采矿冶金工业萌芽，这时在造船和城市建业发展，采矿冶金工业萌芽，这时在造船和城市建设上开始应用弹性力学。设上开始应用弹性力学。 发展的过程：和一般科学发展的过程一样发展的过程：和一般科学发展的过程一样 1. 通过实际经验的累积和科学实
19、验的综合，得通过实际经验的累积和科学实验的综合，得到一些基础的原理；到一些基础的原理； 2. 把这些原理作为应用的依据，在生产实践的把这些原理作为应用的依据，在生产实践的过程中推广应用；过程中推广应用； 3. 在应用过程中，又累积了更广泛更深入的经在应用过程中，又累积了更广泛更深入的经验，再结合和学的实验，得到更广泛的原则。验，再结合和学的实验，得到更广泛的原则。 如此实践再实践而使弹性力学发展起来。如此实践再实践而使弹性力学发展起来。 1、发展初期：1678年胡克实验1820年纳维、柯西提出弹性理论的基本问题 还没有成熟的理论，主要是实验工作还没有成熟的理论，主要是实验工作 1678年胡克弹
20、性体的变形与受力之间成比例 1807年杨材料的弹性模量。 1704年约翰伯努利弦的振动方程 1744年丹尼尔伯努利梁的弯曲 1757年欧拉柱的稳定（微弯） 1776年库仑梁的弯曲理论 研究特点：试图用最粗糙的不完备的理论体系来处理一些简单构件的力学问题（材料力学）。 数学简单，易于实用 发展的四个时期发展的四个时期 2、理论基础的建立：1820（纳维、柯西）1855年格林、汤姆孙确定弹性系数是21个纳维（1820）根据分子论的观点，只有1个弹性系数柯西（1820-1822）统计方法，2个弹性系数泊松（+柯西）：一般15个弹性系数，各向同性1个，不符格林（1838）：能量守恒定律21个汤姆孙：热
21、力学第一和第二定律证明21个，各向同性2个 这个时期，弹性力学有了稳固的理论基础，化简为：1. 在指定的边界条件下求解某些微分方程的数学问题 （静力学）2. 在指定的边界条件和起始条件下求解运动方程的数 学问题（振动或动力学） 方程一般是线性的，但未知数很多，求解困难。 3、线性理论的发展时期（约于18541907）：应用到工程问题（飞跃发展时期） 推动了数学分析工作的进展。圣维南（1854）：发表了关于柱体扭转和弯曲的论文（半逆解 法），并提出了圣维南原理；基尔霍夫（1850）：平板的平衡和振动；艾里（1862）：引入应力函数，以求解平面问题；赫兹（1882）：接触问题的应力分布；勒夫（18
22、92）：弹性的数学理论教程，总结以前成果；穆斯赫利什维利：复变函数方法求解弹性力学问题。 能量原理及近似求解方法： 虚功原理；最小势能原理；功的互等定理；最小余能原理 4、非线性弹性力学的发展时期（1907至今）卡门（1907）：提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森(1939):薄壳的非线性稳定问题；莫纳汉和毕奥：大应变问题。 与其他学科结合，产生新的分支 非线性弹性力学、薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等。 弹性力学的近似解法的发展：首先是变分法（能量法）及其应用的迅速发展。 贝蒂（1872）：建立了功的互等定理； 卡斯蒂利亚诺（18731879）：建立最小余能原理； 为了求解变分问题出现： 瑞利里茨法（1877，1908） 伽辽金法（1915） 迈可斯（1932）：差分解法；加权残值法、有限单元法、边界单元法、半解析半数值法 赫林格和瑞斯纳（1914，1950）：两类变量的广义变分原理； 胡海昌（1954）和鹫津久一郎（1955）：三类变量的广义势能原理和广义余能原理。为有限单元法和其他数值方法的进一步发展奠定了基础。 教材与主要参考书教材：弹性力学（上、下册，第5版）徐芝纶 编高等教育出版社参考书：弹性理论铁木辛柯 （Timoshenko）编科学出版社
