控制系统的时域分析

《控制系统的时域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制系统的时域分析（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.1典型输入信号与系统的性能指标典型输入信号与系统的性能指标1、单位阶跃函数输入：、单位阶跃函数输入：非单位阶跃函数输入非单位阶跃函数输入r(t)=b1(t)，则，则其拉氏变换为其拉氏变换为r(t)t10一、典型输入信号一、典型输入信号12、单位斜坡函数输入：、单位斜坡函数输入：非单位斜坡函数输入非单位斜坡函数输入r(t)=bt，其拉氏变换为其拉氏变换为则则r(t)t0r(t)t03、单位抛物线函数输入：、单位抛物线函数输入：拉氏变换为拉氏变换为则则非单位抛物线函数输入非单位抛物线函数输入 ，24、单位脉冲函数输入、单位脉冲函数输入其拉氏变换

2、为其拉氏变换为5、正弦函数、正弦函数：当正弦函数作为输入信号时，可以求：当正弦函数作为输入信号时，可以求得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态正弦输出得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态正弦输出响应，这种响应称为响应，这种响应称为频率响应频率响应。03二、瞬态响应和稳态响应二、瞬态响应和稳态响应v响应：在输入信号作用下，系统的输出。响应：在输入信号作用下，系统的输出。v瞬态响应：系统从初始状态到最终状态瞬态响应：系统从初始状态到最终状态的过渡的过渡(动态）过程。动态）过程。v稳态响应：稳态响应：时，系统的输出。时，系统的输出。三、稳定性和稳态误差三、稳定性和稳态误差4稳定：线性定常系统在受到扰动

3、作用之稳定：线性定常系统在受到扰动作用之后，能返回到原来的平衡状态；后，能返回到原来的平衡状态；稳定稳定不稳定不稳定稳态误差：准确度。是描述系统稳态性能稳态误差：准确度。是描述系统稳态性能的指标，表示系统期望输出与实际输出之间的指标，表示系统期望输出与实际输出之间的误差。的误差。5四、阶跃响应的性能指标四、阶跃响应的性能指标1上升时间上升时间tr2峰值时间峰值时间tp3调节时间调节时间ts:取取5%(或取或取2%)作为误差带作为误差带4超调量超调量%:90%10%无振荡系统无振荡系统trtr65稳态误差稳态误差ess:ess=1-c( )当当c( )=1时时,ess=0这类系统称为无静差系统。

4、这类系统称为无静差系统。超调量超调量%、调节时间、调节时间ts和稳态误差和稳态误差ess这三项指这三项指标分别评价系统单位阶跃响应的标分别评价系统单位阶跃响应的平稳性平稳性、快速性快速性和和稳态精度稳态精度。对单位反馈系统，其对单位反馈系统，其单位阶跃响应的稳态误单位阶跃响应的稳态误差可表示为差可表示为单位反馈系统框图单位反馈系统框图C(s)R(s)E(s)G(s) H(s)73.2线性系统的时域响应及一阶线性系统的时域响应及一阶系统的时域响应系统的时域响应1.1.线性系统的时域响应线性系统的时域响应从从前前面面的的讨讨论论可可知知,描描述述系系统统运运动动规规律律的的高高阶阶微微分分方程为：

5、方程为：在给定系统输入及系统初始条件下在给定系统输入及系统初始条件下, ,求系统的输出求系统的输出 , ,即求解微分方程。即求解微分方程。8在自控理论中求解系统的输出一般用拉普拉斯变在自控理论中求解系统的输出一般用拉普拉斯变换方法，其过程是：换方法，其过程是：举例，系统微分方程表达式为举例，系统微分方程表达式为r(t)为单位阶跃输入，系统初始条件为为单位阶跃输入，系统初始条件为求系统的输出响应求系统的输出响应9得：得：解：解：取拉氏变换，得取拉氏变换，得102. 2. 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应- -R（s）C（s）一阶系统的结构图一阶系统的结构图1）.单位阶跃输入响应单位阶跃输入响

6、应数学模型为一阶微分方数学模型为一阶微分方程的系统程的系统, ,称为一阶系称为一阶系统。典型一阶系统统。典型一阶系统( (惯惯性环节性环节) )的闭环传递函的闭环传递函数为数为:T:系统时间常数系统时间常数11这种指数曲线的特点是：在时间经过这种指数曲线的特点是：在时间经过T后，响应只上后，响应只上升到稳态值的升到稳态值的63.2%，经过，经过3T达到达到95%，经过，经过4T达达到到98%。过渡过程时间（调节时间。过渡过程时间（调节时间ts）一般取）一般取3T（95%）或）或4T（98%）。时间常数）。时间常数T反映了系统的响反映了系统的响应速度，时间常数应速度，时间常数T愈小，则惯性愈小，

7、曲线上升快，愈小，则惯性愈小，曲线上升快，输出响应速度也快。输出响应速度也快。2）.单位脉冲响应单位脉冲响应其响应其响应12特征根的分布与响应速度特征根的分布与响应速度一阶系统的特征根，即一阶系统的特征根，即Ts+1=0的根，为的根，为特征根在特征根在s平面平面离离虚轴越远（虚轴越远（T小），响小），响应速度越快，调节时间也越短，快速应速度越快，调节时间也越短，快速性越好。性越好。13例例1：已知系统框图，求系统的调节时间已知系统框图，求系统的调节时间ts（95%）。）。0.1R(s)C(s)解解:95%14放大系数放大系数K不影响不影响tsts120tC(t)参看示意图参看示意图例例2：已知

8、系统框图，分析如下两种情况。已知系统框图，分析如下两种情况。R(s)C(s)15R(s)C(s)当当r(t)=1时时(1).c(t)随时间线性增加随时间线性增加(2).c(t)随时间按指数一直增加随时间按指数一直增加开环状态开环状态正反馈正反馈163）.单位斜坡响应单位斜坡响应展开成部分分式后求拉氏反变换，得到一阶系统的展开成部分分式后求拉氏反变换，得到一阶系统的单位斜坡响应为单位斜坡响应为系统输出响应的拉氏变换为系统输出响应的拉氏变换为17若以若以c（t）表示单位斜坡响应；）表示单位斜坡响应；h（t）表示单位阶跃响应；）表示单位阶跃响应；g（t）表示单位脉冲响应；）表示单位脉冲响应；则三种输

9、入输出之间的关系有：则三种输入输出之间的关系有：1.输入信号间的关系：输入信号间的关系：2.输出信号之间有与之对应的关系输出信号之间有与之对应的关系: :线性定常系统的重要特性：线性定常系统的重要特性：输入信号导数的响应，等于输入信号导数的响应，等于原信号响应的导数；输入信原信号响应的导数；输入信号积分的响应，等于对原信号积分的响应，等于对原信号响应的积分。号响应的积分。18例例3、巳知某系统在零初始条件下的单位阶、巳知某系统在零初始条件下的单位阶跃响应为：跃响应为：,求系统的脉求系统的脉冲响应冲响应和传递函数和传递函数。解：解：193.3二阶系统的阶跃时域响应二阶系统的阶跃时域响应1、二阶系

10、统的构成及传递函数型式、二阶系统的构成及传递函数型式二阶系统也叫振荡环节，其传递函数分母二阶系统也叫振荡环节，其传递函数分母s的阶次为的阶次为2。其中：其中：为阻尼比为阻尼比为无阻尼自然振荡角频率为无阻尼自然振荡角频率它的闭环传递函数为：它的闭环传递函数为： C(s)典型二阶系统的结构图典型二阶系统的结构图R(s)20第第2章分析讨论过的章分析讨论过的RLC串联电路，机械振动系统都属串联电路，机械振动系统都属于二阶系统，下图是由于二阶系统，下图是由运放器运放器构成的二阶系统。构成的二阶系统。21框图框图设设T1=T2=T22这里这里 n=1/T， = 等效为等效为232、二阶系统的单位阶跃响应

11、分析、二阶系统的单位阶跃响应分析设，设，图中图中:cos = ; :阻阻尼角尼角阻尼线阻尼线阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率二阶系统的闭环极点为二阶系统的闭环极点为(1).欠阻尼情况欠阻尼情况j n n d S1S2衰减系数衰减系数24则系统输出量的拉氏变换为则系统输出量的拉氏变换为Lee t tf(t)(t) = =F(s-(s- ) )25由此可见，系统的暂态分量为振幅随时间按指由此可见，系统的暂态分量为振幅随时间按指数函数衰减的周期函数，其振荡频率为数函数衰减的周期函数，其振荡频率为 d， 越大越大振幅衰减越快。振幅衰减越快。26272).无阻尼无阻尼系统的闭环极点为系统的闭环极点为S平面j

12、jn028单位阶跃响应单位阶跃响应为无阻尼自然振荡频率为无阻尼自然振荡频率系统为一等幅振荡系统为一等幅振荡3). .临界阻尼情况临界阻尼情况 系统有两个相重的实数闭环极点。系统对单系统有两个相重的实数闭环极点。系统对单位阶跃输入的响应为位阶跃输入的响应为: :29系统特点：无超调，也无振荡。系统特点：无超调，也无振荡。C (t)1t0jn0304).过阻尼情况过阻尼情况这时系统有两个不相等的实数极点这时系统有两个不相等的实数极点对单位阶跃响应的对单位阶跃响应的拉氏变换为：拉氏变换为：令则闭环传递函数可写为则闭环传递函数可写为j0S平面-P2-P131c (t)1Ot取拉氏反变换得：取拉氏反变换

13、得：系统不存在稳态误差；系统不存在稳态误差；响应是非振荡的；响应是非振荡的； 过阻尼二阶系统性能指标只有快速性指标过阻尼二阶系统性能指标只有快速性指标ts;ts32当当P2 4P1时，两个指数项中第三项比第二项时，两个指数项中第三项比第二项衰减得快，这是由于一个极点远离虚轴，它的衰减得快，这是由于一个极点远离虚轴，它的影响就很小，可以忽略不计，这时二阶系统近影响就很小，可以忽略不计，这时二阶系统近似于一个惯性环节。似于一个惯性环节。 j 0S平面平面-P2-P1c (t)1Otts其调节时间其调节时间335).负阻尼情况负阻尼情况这时系统的两个极点在这时系统的两个极点在s右半平面，系统不稳定，

14、右半平面，系统不稳定，暂态响应将随时间增长而发散。暂态响应将随时间增长而发散。两个正实数极点两个正实数极点因此，可以看出因此，可以看出当系统闭环极点当系统闭环极点在在s s右半平面时，右半平面时，系统不稳定。系统不稳定。.为两个共轭复数极点为两个共轭复数极点34a.阻尼比阻尼比是二阶系统最重要的特征参数，只要是二阶系统最重要的特征参数，只要知道知道的大小，而不必求解方程，就可知道系统的大小，而不必求解方程，就可知道系统响应的大致情况；响应的大致情况；小结小结:b.阻尼比过大阻尼比过大，系统响应迟钝，调节时间增长，系统响应迟钝，调节时间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振荡加剧，衰减变缓，快速性

15、较差；而阻尼比太小，使振荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也差。因而阻尼比一般取值为：调节时间长，快速性也差。因而阻尼比一般取值为：，此时快速性和平稳性均较好；，此时快速性和平稳性均较好；c.也是系统重要的特征参数。在相同的也是系统重要的特征参数。在相同的下，下，越大，系统振荡角频率越大，系统振荡角频率越大，致使系统的平稳性越大，致使系统的平稳性变差，但调节时间减小。变差，但调节时间减小。d.称为最隹阻尼比称为最隹阻尼比，此时，超调量较小，此时，超调量较小，调节时间调节时间(5%误差带误差带)最短。最短。353 3、欠阻尼二阶系统暂态响应性能指标计算、欠阻尼二阶系统暂态响应性能指标计算1)

16、1) 上升时间上升时间tr令令 得：得：C (t)10.05trtptst0j n n d S1S2362)峰值时间峰值时间tp对对c c(t)(t)求导并令其为求导并令其为0,得到第一次峰值时间为得到第一次峰值时间为系统稳态值系统稳态值c( )=1将将代入输出响应表达式中代入输出响应表达式中3)最大超调量最大超调量 %37超调量完全由超调量完全由 决定，决定，当当时，时，称为最佳阻尼比，此时超调量不超过称为最佳阻尼比，此时超调量不超过5%。4)调节时间调节时间（典型二阶系统框图为单位负反馈）（典型二阶系统框图为单位负反馈）38令其令其c(t)幅值第幅值第一次达到稳态一次达到稳态值的值的95%

17、计算计算,即即c(t)进入进入5%误差带误差带得得:若按若按c(t)幅值幅值达到稳态值的达到稳态值的98%计算。计算。C (t)10.05trtptst039因此因此,加快系统初始响应速度加快系统初始响应速度例：例：系统框图如图所示，其中系统框图如图所示，其中K=100，求系统的，求系统的，、和和(按按95%计算计算)；如果要求系统具有如果要求系统具有 ，应怎样改变，应怎样改变K值？值？减小动态过程时间减小动态过程时间动态平稳性变差动态平稳性变差40则则计算得：计算得：41若要求系统的若要求系统的时，则时，则4 4改善二阶系统动态特性的方法改善二阶系统动态特性的方法1）附加零点的二阶系统附加零

18、点的二阶系统-比例微分控制的比例微分控制的二阶系统二阶系统42图中所示系统的图中所示系统的开环传递函数为开环传递函数为上式表明引入微分控制后，使系统等效阻尼比加大，上式表明引入微分控制后，使系统等效阻尼比加大，从而使阶跃响应超调量减少，改善了系统的平稳性。从而使阶跃响应超调量减少，改善了系统的平稳性。闭环传递函数为闭环传递函数为等效阻尼比为等效阻尼比为43比例一微分控制的波形图比例一微分控制的波形图系统输出量同时受误系统输出量同时受误差信号及其速率的双重差信号及其速率的双重作用。微分控制能在误作用。微分控制能在误差信号的值变得太大之差信号的值变得太大之前就产生一个适当的校前就产生一个适当的校正

19、作用，因此微分控制正作用，因此微分控制是一种具有是一种具有“预见性预见性”的超前控制，可以抑制的超前控制，可以抑制超调量，减小调节时间，超调量，减小调节时间，改善系统动态性能，但改善系统动态性能，但不直接影响稳态误差。不直接影响稳态误差。442）.采用速度微分负反馈改善动态特性采用速度微分负反馈改善动态特性由图可写出系统的闭环传递函数。由图可写出系统的闭环传递函数。等效阻尼比为等效阻尼比为故速度反馈亦使系统的阻尼比增大，振荡倾故速度反馈亦使系统的阻尼比增大，振荡倾向和超调量减小，系统平稳性得到改善。向和超调量减小，系统平稳性得到改善。45例例：引入速度反馈的控制系统的动态结构图如图所引入速度反

20、馈的控制系统的动态结构图如图所示。要求系统的阻尼比示。要求系统的阻尼比 ，试确定反馈系数，试确定反馈系数Kt，并比较，并比较该系统引入速度反馈前后的阶跃响应超调量该系统引入速度反馈前后的阶跃响应超调量 %和调节和调节时间时间ts(5%)。解解：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为46其其今要求今要求 =0.7可求得可求得Kt=0.343系统的系统的 %和和ts分别为分别为:47引入速度反馈前系统的闭环传递函数为引入速度反馈前系统的闭环传递函数为求得：求得： %=60.5%，tS=8.00(s) n仍为仍为由由2n=1 可见引入速度反馈后系统的相对稳定性可见引入速度反馈后系统的相对稳定性和快

21、速性都得到了改善。和快速性都得到了改善。48设设R(s)=1/s，用部分分式法，可将，用部分分式法，可将C(s)分解为分解为3-4高阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应一、高阶系统的瞬态响应一、高阶系统的瞬态响应高阶系统闭环传递函数的一般形式为：高阶系统闭环传递函数的一般形式为：49即高阶系统的响应是由一些简单函数项组成即高阶系统的响应是由一些简单函数项组成(一阶系统和二阶系统的响应函数一阶系统和二阶系统的响应函数)。响应类。响应类型型(指数项、正弦、余弦阻尼项指数项、正弦、余弦阻尼项)由闭环极点由闭环极点决定决定;响应曲线的形状由闭环零点决定。响应曲线的形状由闭环零点决定。50二、高阶系统的简

22、化二、高阶系统的简化1、闭环传递函数的零、极点十分靠近（闭环偶、闭环传递函数的零、极点十分靠近（闭环偶极子）且它们不十分靠近虚轴，可以相互抵消：极子）且它们不十分靠近虚轴，可以相互抵消：称为零、极点对消称为零、极点对消,从而降低了系统的阶次。从而降低了系统的阶次。2、很小，该暂态分量的影响就小，很小，该暂态分量的影响就小，此项可以忽略。此项可以忽略。513、具有一对主导极点，系统可以简化为二阶、具有一对主导极点，系统可以简化为二阶系统。系统。高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其它极高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其它极点实部的点实部的1/5还小，且其附近不存在零点，则可认还小，且其附近不

23、存在零点，则可认为系统的响应主要由该极点决定，这些对系统响为系统的响应主要由该极点决定，这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为主导极点。应起主导作用的闭环极点，称为主导极点。一般说来，主导极点常常是一对共轭复数极点。一般说来，主导极点常常是一对共轭复数极点。523.5控制系统的稳定性与代数判据控制系统的稳定性与代数判据 任何系统，在扰动作用下会偏离原平衡任何系统，在扰动作用下会偏离原平衡状态，产生初始偏差。状态，产生初始偏差。所谓稳定性是指系统所谓稳定性是指系统扰动消失后，经过一定时间后，由初始偏差扰动消失后，经过一定时间后，由初始偏差状态能恢复原平衡状态，则系统是稳定的；状态能恢复原平衡状

24、态，则系统是稳定的；若扰动消失后，系统不能恢复到原平衡状态，若扰动消失后，系统不能恢复到原平衡状态，而偏差越来越大，则系统是不稳定的而偏差越来越大，则系统是不稳定的。显然，。显然，不稳定的系统是不能工作的。所以分析、讨不稳定的系统是不能工作的。所以分析、讨论系统的稳定性，并提出稳定的措施是自控论系统的稳定性，并提出稳定的措施是自控理论的基本任务之一。理论的基本任务之一。1、稳定性的基本概念、稳定性的基本概念53从例子可以看出，一个控制系统是否稳定，不由扰从例子可以看出，一个控制系统是否稳定，不由扰动或输入决定，而是由控制系统自身性能决定的，动或输入决定，而是由控制系统自身性能决定的，是系统自身

25、的一种固有特性。是系统自身的一种固有特性。举例：举例：542 2、线性定常系统稳定的条件、线性定常系统稳定的条件设单输入单输出系统的微分方程描述为设单输入单输出系统的微分方程描述为在零初始条件下，取拉氏变换，得系统传递函数：在零初始条件下，取拉氏变换，得系统传递函数：系统特征方程为：系统特征方程为：55设特征方程有设特征方程有q个实根，个实根，r对共轭复数根对共轭复数根当当r（t）=0,且有短暂扰动输入时且有短暂扰动输入时，其扰动输出响应，其扰动输出响应的一般式为惯性环节响应加振荡环节响应的一般式为惯性环节响应加振荡环节响应。式中系数式中系数、和和均为常数。均为常数。56由上式可以看出，由上式

26、可以看出，线性系统稳定的充分与必要条线性系统稳定的充分与必要条件是件是:它的特征方程式的所有实数根均为负数以及共轭它的特征方程式的所有实数根均为负数以及共轭复数根具有负的实数部份，这时指数项均随时间而衰复数根具有负的实数部份，这时指数项均随时间而衰减到零，即减到零，即系统的闭环极点系统的闭环极点(闭环特征根闭环特征根)均在均在s平面左平面左半部份。半部份。决定系统稳定性的依据是系统特征方程式根的实决定系统稳定性的依据是系统特征方程式根的实数部分是否为负，但要解四阶或更高次的特征方程式数部分是否为负，但要解四阶或更高次的特征方程式是相当困难的。在实际中有多种方法，不求特征方程是相当困难的。在实际

27、中有多种方法，不求特征方程式的根就能判别系统稳定性，它们都是为了说明系统式的根就能判别系统稳定性，它们都是为了说明系统特征方程式的根在根平面上的分布情况。特征方程式的根在根平面上的分布情况。3 3、判别系统稳定性的基本方法、判别系统稳定性的基本方法571)劳斯劳斯赫尔维茨判据（赫尔维茨判据（Routh-Hurrvitz）是一种代数方法判别系统的闭环稳定性。是一种代数方法判别系统的闭环稳定性。常用的方法有：常用的方法有：2)根轨迹法：即图解法，它是根据系统开环根轨迹法：即图解法，它是根据系统开环传递函数的零、极点以某一参数为变量作出系传递函数的零、极点以某一参数为变量作出系统闭环特征根的轨迹。统

28、闭环特征根的轨迹。3)奈魁斯特奈魁斯特(NyquisA)判据与波德判据与波德(Bode)图法，图法，这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法，它可根据开环频率特性确定闭环系统的稳法，它可根据开环频率特性确定闭环系统的稳定性。定性。584.劳斯劳斯赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据 设设 , ,且各项系数均为实数，在判且各项系数均为实数，在判别系统的稳定性时，事先检查一下系统特征别系统的稳定性时，事先检查一下系统特征方程式的系数是否都是正数，方程式的系数是否都是正数，假如有任何系假如有任何系数是负数或等于零（有缺项）则系统是不稳数是负数或等于零（有缺项）则

29、系统是不稳定的。定的。592)按特征方程式列写劳斯行列表按特征方程式列写劳斯行列表劳劳斯斯行行列列表表60表中表中61 在计算上述各元素过程中为了数学上运算简化，在计算上述各元素过程中为了数学上运算简化，可以将某一行所有元素均乘以或除以一个正整数可以将某一行所有元素均乘以或除以一个正整数, ,不不影响稳定性判断。影响稳定性判断。 考虑行列表第一列各元素的符号，考虑行列表第一列各元素的符号，若劳斯行列若劳斯行列表左端第一列各元素均为正数，则特征方程式所有表左端第一列各元素均为正数，则特征方程式所有的根均在的根均在s s左半平面，即系统稳定左半平面，即系统稳定; ;若第一列有负数，若第一列有负数，

30、则系统不稳定则系统不稳定, ,且第一列数符号的改变次数且第一列数符号的改变次数, ,表示出表示出了位于右半了位于右半s s平面根的个数。平面根的个数。试确定系统的稳定性试确定系统的稳定性。例例1:系统特征方程式为系统特征方程式为62解：解：它的所有系数为正实数它的所有系数为正实数,列劳斯行列表如下：列劳斯行列表如下：s41126s3611s2s1s0右端第一列各数均为正实右端第一列各数均为正实数，故系统是稳定的。数，故系统是稳定的。63因此二阶系统稳定的充因此二阶系统稳定的充分必要条件是各项系数分必要条件是各项系数均大于零均大于零。事实上事实上,通过因式分解可将特征方程式写成通过因式分解可将特

31、征方程式写成其根为其根为2，3，其根均在其根均在s左半平面。左半平面。对于二阶系统的稳定性，对于二阶系统的稳定性，其闭环特征方程为其闭环特征方程为二阶系统劳斯表为二阶系统劳斯表为64故故三阶系统稳定三阶系统稳定的充分必要条件是的充分必要条件是特征方程的各特征方程的各项系数均大于零项系数均大于零,且中间两项系数的乘积减去边上两且中间两项系数的乘积减去边上两项系数的乘积要大于零项系数的乘积要大于零。此判据也叫三阶赫尔维茨稳。此判据也叫三阶赫尔维茨稳定判据。定判据。三阶系统三阶系统 的劳斯表为的劳斯表为65例例2.系统框图如图所示，试确定系统稳定的系统框图如图所示，试确定系统稳定的k值范围。值范围。

32、系统的特征方程式为系统的特征方程式为解：解：其闭环传递函数是其闭环传递函数是即即66要使系统稳定，其第一列均要使系统稳定，其第一列均为正数，即为正数，即67劳斯判据的两种特殊情况劳斯判据的两种特殊情况例例3.系统特征方程为系统特征方程为s3+3s 2+s+3=0。试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。由于第一列的元素全部为正，由于第一列的元素全部为正，( 是用来代替正的无穷小是用来代替正的无穷小数数)，所以系统在，所以系统在s s右半平面右半平面没有特征根。而系统又是不没有特征根。而系统又是不稳定的，因此稳定的，因此, ,系统有一对纯系统有一对纯虚根（虚根（ j)j)。 1). . 劳斯表中

33、某一行左边第一个数为零，而该行中其余劳斯表中某一行左边第一个数为零，而该行中其余各元素不全为零或没有。这时已经可以肯定系统不稳各元素不全为零或没有。这时已经可以肯定系统不稳定。如果要确知根的性质，可以用一个很小的正数定。如果要确知根的性质，可以用一个很小的正数 代代替这个为零的元素，并继续完成劳斯表。替这个为零的元素，并继续完成劳斯表。解解:劳斯表为劳斯表为11333(s+3)(s 2+1)=0682）.劳斯行列表中第劳斯行列表中第k行所有数均为零，说明在根平行所有数均为零，说明在根平面内存在着对称于原点的实根，共轭虚根或对称于实面内存在着对称于原点的实根，共轭虚根或对称于实轴的两对共轭复根，

34、在这种情况下可做如下处理：轴的两对共轭复根，在这种情况下可做如下处理：a利用利用k-1行的系数构成辅助多项式；行的系数构成辅助多项式；b求辅助多项式对求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，的导数，将其系数构成新行，以代替全部为零的一行；以代替全部为零的一行；c继续计算劳斯行列表；继续计算劳斯行列表；d对原点对称的根可由辅助方程求得。对原点对称的根可由辅助方程求得。注意：辅助方程的次数通常为偶数且按二次降幂排注意：辅助方程的次数通常为偶数且按二次降幂排列，它表明数值相同但符号相反的根数。列，它表明数值相同但符号相反的根数。69例例4 4. .闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为s61-2-7

35、-4s51-3-4s4s3s2s1s0解解: :试用劳斯表判断系统的稳定性，并分析根的分试用劳斯表判断系统的稳定性，并分析根的分布情况。布情况。F(s)=s4-3s2-4=0F(s)=4s3-6s=04-601-3-4000-1.5-4-16.70-4第第1列数值有一次符号变化，列数值有一次符号变化，故系统不稳定，且有一个故系统不稳定，且有一个根位于右半根位于右半s平面。平面。对称于原点的对称于原点的特征根特征根 2， j(s2+1)(s2-4)=070积分环节的多少决定系统静态、动态特性。积分环节的多少决定系统静态、动态特性。3.6控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差系统按积分环节数分类系统

36、按积分环节数分类:系统总开环增益系统总开环增益(传递函数写成时间常数形式传递函数写成时间常数形式)；设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为式中：式中：v 系统总开环传递函数中串联积分环节数；系统总开环传递函数中串联积分环节数；71v值表示系统开环传递函数中串联积分值表示系统开环传递函数中串联积分环节的个数，也就是开环传递函数在环节的个数，也就是开环传递函数在s平面平面坐标原点处有坐标原点处有v重极点。重极点。当当v=0时，系统称为时，系统称为0型系统型系统当当v=1时，系统称为时，系统称为1型系统型系统当当v=2时，系统称为时，系统称为2型系统型系统 随着开环随着开环v值的增大值的增大,

37、 ,系统闭环的稳态精系统闭环的稳态精度提高，但稳定性却度提高，但稳定性却有变差的趋势。有变差的趋势。72 系统的系统的稳态误差是指稳态误差是指在稳态条件下在稳态条件下(即对于稳定系即对于稳定系统统)，加入给定输入信号后，加入给定输入信号后, ,经过足够长的时间，其经过足够长的时间，其暂暂态过程结束后，稳态响应的期望值与实际值之间的误态过程结束后，稳态响应的期望值与实际值之间的误差差。稳态误差是系统控制精度的一种度量。稳态误差是系统控制精度的一种度量。控制系统的稳态误差有两类，即给定稳态误差和扰控制系统的稳态误差有两类，即给定稳态误差和扰动稳态误差。动稳态误差。从输入端定义从输入端定义:当当H(

38、s)=1时时73这时设扰动这时设扰动N(s)=0其中其中为系统的开环传递函数。为系统的开环传递函数。1、给定稳态误差、给定稳态误差74根据终值定理有根据终值定理有: : 对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。因此计算稳态误差前，首先应判稳。因此计算稳态误差前，首先应判稳。1)阶跃输入阶跃输入: :为位置误差系数。为位置误差系数。定义定义75(2)对于对于1型系统及高于型系统及高于1型的系统型的系统(1)对于对于0型系统型系统2)斜坡输入：斜坡输入：为速度误差系数。为速度误差系数。令令76(1)对于对于0型系统型系统(2)对于对于1型系统型系统(

39、3)对于对于2型系统型系统773)抛物线输入：抛物线输入：为加速度误差系数。为加速度误差系数。令令(1)对于对于0型系统和型系统和1型系统型系统(2)对于对于2型系统型系统78例例1：单位反馈系统的开环传函为单位反馈系统的开环传函为 当输入当输入时，求系统的稳态误差时，求系统的稳态误差79系统为系统为1型系统，不能跟随型系统，不能跟随 的的 分量。分量。系统为系统为2型系统型系统所产生的误差为所产生的误差为0对对对对其其解：解：首先判稳，两系统均稳定。首先判稳，两系统均稳定。80例例2：已知系统框图已知系统框图求：有内环反馈和无内环反馈时位置，速度，求：有内环反馈和无内环反馈时位置，速度，加速

40、度误差系数。加速度误差系数。解：解：1)无内环反馈时无内环反馈时系统不稳定系统不稳定812)有内环后有内环后加入内环后加入内环后 有所有所下降，加速度误差增下降，加速度误差增大，但加入内环后对大，但加入内环后对系统的稳定性起到了系统的稳定性起到了重要作用。重要作用。系统稳定系统稳定82例：例：下图所示为调速系统的方框图，图中下图所示为调速系统的方框图，图中Kh=0.1V/(rad/s)。当输入电压为。当输入电压为10V时，试求时，试求（1）输出的希望值）输出的希望值Cr(rad/s)；（；（2）稳态值）稳态值C( )(rad/s)；（；（3）稳态误差）稳态误差ess(V)，并说明，并说明该系统

41、是有差系统还是无差系统。该系统是有差系统还是无差系统。100Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计83解：解：100Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计84100Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计系统稳定系统稳定85100Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计有差系统有差系统862、扰动稳态误差、扰动稳态误差令令 R（s）= 0= 0EN(s)87H（s）=1设设则扰动误差为则扰动误差为： 扰动扰动也有三种输入，若为单位阶跃扰动，也有三种输入，若

42、为单位阶跃扰动，8889例例3：设系统设系统求：扰动误差。求：扰动误差。解：解：若若 与与 共同作用，则共同作用，则90小结：小结：a、牢记误差的定义，不同的误差定义，其结果、牢记误差的定义，不同的误差定义，其结果可能完全不一样；可能完全不一样；b、系统总误差满足迭加原理；、系统总误差满足迭加原理；c、即使输入和扰动信号形式一样，但引起的稳、即使输入和扰动信号形式一样，但引起的稳态误差可能并不相同；态误差可能并不相同；d、扰动的作用点不同，所产生的稳态误差肯定、扰动的作用点不同，所产生的稳态误差肯定不同。不同。e、一般说来，增大系统的开环增益可减小系统、一般说来，增大系统的开环增益可减小系统的

43、稳态误差，但增大的稳态误差，但增大K值，将使系统的稳定程值，将使系统的稳定程度降低。因此只有兼顾这两方面的要求，适当度降低。因此只有兼顾这两方面的要求，适当选择选择K值。值。913 3改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法 从前面分析可知，为了消除或减小系统的给定从前面分析可知，为了消除或减小系统的给定输入稳态误差，可以增加前向通路积分环节的个数，输入稳态误差，可以增加前向通路积分环节的个数，或增大开环放大系数。或增大开环放大系数。为了减小系统的扰动误差，为了减小系统的扰动误差，应增加应增加E(s)至扰动作用点之间的积分环节个数，或至扰动作用点之间的积分环节个数，或加大开环增益。加大开环

44、增益。但一般系统，串联的积分环节数不但一般系统，串联的积分环节数不能超过两个，开环增益过大会使系统动态性能变坏，能超过两个，开环增益过大会使系统动态性能变坏，甚至造成系统不稳定，为了解决这一问题。可以采甚至造成系统不稳定，为了解决这一问题。可以采用按给定补偿和按扰动补偿的复合控制，从而消除用按给定补偿和按扰动补偿的复合控制，从而消除稳态误差。稳态误差。921).1).按给定输入补偿的复合控制按给定输入补偿的复合控制由图知由图知误差为误差为为使为使ER(s)=0，应保证，应保证1Gr(s)G(s)=0932).2).按扰动补偿的复合控制按扰动补偿的复合控制 设干扰可以直接测量，系统的结构如图所示，设干扰可以直接测量，系统的结构如图所示，其中其中Gn(s)是补偿器的传递函数。仅有扰动作用时是补偿器的传递函数。仅有扰动作用时 r(t)=0系统的输出为系统的输出为：94GnG1G2C(s)N(s)G1-+等效为等效为当当系统的输出完系统的输出完全不受扰动的全不受扰动的影响（双通道影响（双通道原理）。原理）。95本章作业本章作业P703-13-23-33-43-63-7求求 (s)3-83-93-13(2)3-153-183-203-2196